Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\) jest równe:
A. \([3-(x-2y)]^2\)
B. \([3+(x-2y)]^2\)
C. \([3-(x+2y)]^2\)
D. \([3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]\)
E. \([3-(x+2y)]\cdot[3+(x+2y)]\)
F. \(-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]\)
Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę \(1040 zł\). Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach \(20 zł\), \(50 zł\) oraz \(100 zł\). Banknotów \(100\)-złotowych było dwa razy więcej niż \(50\)-złotowych, a banknotów \(20\)-złotowych było o \(2\) mniej niż \(50\)-złotowych.
Niech \(x\) oznacza liczbę banknotów \(50\)-złotowych, a \(y\) – liczbę banknotów \(20\)-złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej dla każdego \(x\in\langle-5, 4)\). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
Zadanie 1. Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji \(f\).
$$.....................$$
Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są: punkt \(A=(8, 11)\) oraz okrąg o równaniu \((x-3)^2+(y+1)^2=25\).
Odległość punktu \(A\) od środka tego okręgu jest równa:
Basen ma długość \(25 m\). W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa \(1,2 m\). Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.
Głębokość \(y\) basenu zmienia się wraz z odległością \(x\) od brzegu w sposób opisany funkcją:
$$y=\begin{cases} ax+b\quad \text{ dla }\quad 0\le x\le15 m \ ,\
0,18x-0,9\quad \text{ dla }\quad 15 m\le x\le25 m
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x-1)^2+2\).
Zadanie 1. Wykresem funkcji \(f\) jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne:
A. \((1, 2)\)
B. \((-1, 2)\)
C. \((1, -2)\)
D. \((-1, -2)\)
Zadanie 2. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A. \((-\infty,2\rangle\)
B. \((-\infty,2)\)
C. \((2;+\infty)\)
D. \(\langle2;+\infty)\)
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu \((a_{n})\) jest:
A. \(\dfrac{7^{49}}{3}\)
B. \(\dfrac{7^{50}}{3}\)
C. \(\dfrac{7^{51}}{3}\)
D. \(\dfrac{7^{52}}{3}\)
Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny.
2.
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=3x+b\), przechodząca przez punkt \(A=(-1, 3)\). Współczynnik \(b\) w równaniu tej prostej jest równy:
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3n-1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg \((a_{n})\) jest:
A. rosnący,
B. malejący,
C. stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
1. \(a_{n+1}-a_{n}=-1\)
2. \(a_{n+1}-a_{n}=0\)
3. \(a_{n+1}-a_{n}=3\)
Zadanie 2. Najmniejszą
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są:
• prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+5\)
• prosta \(l\) o równaniu \(y-1=-2x\)
Proste \(k\) i \(l\):
W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(4:5\). Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:
Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ABO\) ma miarę \(40°\), a kąt \(OBC\) ma miarę \(10°\) (zobacz rysunek).
Miara kąta \(ACO\) jest równa:
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(4\), a bok \(BC\) ma długość \(4,6\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(D\) takim, że \(|AD|=3,2\) (zobacz rysunek).
Odcinek \(CD\) ma długość:
Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
• przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x)=251x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x)=x^2+21x+170\).
Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\)
Firma \(F\) zatrudnia \(160\) osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \(F\), którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
Zadanie 1. Średnia miesięczna płaca brutto w firmie \(F\) jest równa:
A. \(4 593,75 zł\)
B. \(4 800,00 zł\)
C. \(5 360,00
Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość \(10\sqrt{3}\), a każda jego krawędź boczna ma długość \(15\). Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).
Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ:
A. \(\begin{cases}
(\alpha+\beta)+\beta=90° \ ,\
\alpha+\beta=2\alpha-\beta
\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}
(\alpha+\beta)+\beta=180°
Dany jest wielomian \(W(x)=3x^3+kx^2-12x-7k+12\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba \((-2)\) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Liczba \(k\) jest równa:
Spośród rysunków A–D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:
$$|x+1|\le2$$
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zadanie 1.
Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(x-2)\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku:
A.
Dana jest funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=ax+b\) gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji \(f\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok.
Współczynniki \(a\) i \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:
Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny \(P\) swojego produktu na liczbę \(Q\) kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o \(1\) jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o \(3\) jednostki. Ponadto przy cenie równej \(5\) jednostek liczba kupujących jest równa \(12\) jednostek.
Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór:
Czas \(T\) półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa \(m\) leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą:
$$m(t)=m_{0}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$
gdzie:
\(m_{0}\) – masa przyjętej dawki leku
\(T\) – czas półtrwania leku
\(t\) – czas liczony od
Klient wpłacił do banku \(20 000 zł\) na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(3\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po \(2\) latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa:
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=-3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Liczby \(2, (-1), (-4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu \((a_{n})\).\((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej \(5\).
Liczby \(2, (-1), (-4)\)
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=6\), \(|BC|=5\), \(|AC|=10\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Cosinus kąta \(ABC\) jest równy \((-0,65)\).Trójkąt \(ABC\) jest rozwartokątny.
Cosinus kąta \(ABC\) jest równy \((-0,65)\).
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest okrąg o środku \(S=(2,-5)\) i promieniu \(r=3\). Równanie tego okręgu ma postać:
Odcinki \(AD\) i \(BC\) przecinają się w punkcie \(O\). W trójkątach \(ABO\) i \(ODC\) zachodzą związki: \(|AO|=5\), \(|BO|=3\), \(|OC|=10\), \(|\sphericalangle OAB|=|\sphericalangle OCD|\) (zobacz rysunek).
Oblicz długość boku \(OD\) trójkąta \(ODC\). Zapisz obliczenia.
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-3x+1\).
Zadanie 1.
Jedną z prostych równoległych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu:
A. \(y=3x+2\)
B. \(y=-3x+2\)
C. \(y=\frac{1}{3}x+1\)
D. \(y=-\frac{1}{3}x+1\)
Zadanie 2.
Jedną z prostych prostopadłych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu:
E. \(y=\frac{1}{3}x+2\)
F. \(y=-\frac{1}{3}x+2\)
G. \(y=3x+1\)
H.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest kwadrat \(ABCD\). Wierzchołki \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,5)\) są końcami przekątnej tego kwadratu. Długość przekątnej kwadratu \(ABCD\) jest równa:
Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(r=8\) (zobacz rysunek). Cięciwa \(AC\) ma długość \(8\sqrt{3}\).
Miara kąta \(BAC\) jest równa:
Dane są dwa trójkąty podobne \(ABC\) i \(KLM\) o polach równych – odpowiednio – \(P\) oraz \(2P\). Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(x\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Obwód trójkąta \(KLM\) jest równy:
A. \(\sqrt{2}\cdot x\),
B. \(2x\),
ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy
1. kwadratowi stosunku pól tych trójkątów.
2.
Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(O\). Proste \(k\) i \(l\) są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – \(A\) i \(B\). Te proste przecinają się w punkcie \(S\) i tworzą kąt o mierze \(76°\) (zobacz rysunek).
Miara kąta \(OBA\) jest równa:
Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt \(ABCD\), w którym bok \(BC\) odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna AC tego prostokąta ma długość \(16\) i tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze \(30°\) (zobacz rysunek).
Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny \(ABCS\) o podstawie \(ABC\). Punkty \(D\), \(E\) i \(F\) są środkami – odpowiednio – krawędzi bocznych \(AS\), \(BS\) i \(CS\) (zobacz rysunek).
Stosunek objętości ostrosłupa \(DEFS\) do objętości ostrosłupa \(ABCS\) jest równy:
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) (zobacz rysunek obok). Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt \(\alpha\) pomiędzy ścianą boczną \(ACFD\) i przekątną \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tego graniastosłupa?
W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od \(1000\) do \(9999\). Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej \(3\), jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.
Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30°\). Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości \(x\) boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
W pewnej grupie \(100\) uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.
Zadanie 1.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli
Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi \(3\%\) w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.
Po \(10\) latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu
Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\), takie, że iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x+y}{x}\). Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.
Dane są liczby 𝑎\(a=\sqrt{5}-2\) oraz \(b=\sqrt{5}+2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\) dla podanych \(a\) i \(b\).
Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R}\) liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\) są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba \(x\) jest wymierna dla:
A. \(a=5\)
B. \(a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
C. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3\)
D. \(a=6\)
E.
Pensja pana \(X\) jest o \(50\%\) wyższa od średniej krajowej, a pensja pana \(Y\) jest o \(40\%\) niższa od średniej krajowej.
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.
1. Pensja pana \(X\) jest wyższa od pensji pana \(Y\):
A. o \(40\%\) pensji pana \(Y\).
B. o \(90\%\) pensji pana \(Y\).
C. o \(150\%\) pensji pana \(Y\).
D. o \(275\%\) pensji pana \(Y\).
2. Pensja pana \(Y\) jest niższa od
Na wykresie przedstawiono zależność \(log\;K(t)\), gdzie \(K(t)\) jest liczbą bakterii w próbce po czasie \(t\) wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili\(t=0\) rozpoczęcia obserwacji. Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili\(t=0\), liczba \(K\) bakterii była równa:
Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:
$$a\neq0, b\neq0 \text{ oraz } a^3+b^3=(a+b)^3$$
Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki.
Dane jest wyrażenie \(W(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)\)
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\).Wyrażenie \(W(x)\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\dfrac{2x}{x^2-1}\).
Wartość wyrażenia \(W(x)\)
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że obie są niepodzielne przez \(3\).
Udowodnij, że liczba 𝒂\(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).
Dany jest wielomian \(W(x)=3x^3+mx^2+3x-2\), gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej \(W(x)=(x+2)Q(x)\), gdzie \(Q(x)\) jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznacz wielomian \(Q(x)\) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu \(W(x)\).
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^3-b-5\sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=\sqrt{2}+1\).
Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy:
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x^2+bx-5\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(b\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Funkcja \(f\):
A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,
B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,
C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,
ponieważ
1. \(b^2+60\gt0\)
2. \(b^2+60=0\)
3.
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok. Ta funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\in\langle-5,8\rangle\).
Zadanie 1.
Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór rozwiązań nierówności: \(f(x)\gt2\)
$$...................$$
Zadanie 2.
Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej maksymalny przedział lub maksymalne przedziały,
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok.
Ta funkcja jest określona dla \(x\in\langle−3, 5\rangle\). Funkcje \(g\) oraz \(h\) są określone za pomocą funkcji \(f\) następująco:
$$y=g(x)=f(x+2) \quad\quad\quad y=h(x)=f(-x)$$
Na rysunkach A-F przedstawiono wykresy różnych funkcji - w tym wykresy funkcji \(g\) oraz \(h\). Każdej z funkcji \(y=g(x)\)
Wzór funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej (o ile istnieje).
Zadanie 1.
Dana jest funkcja kwadratowa \(y=f(x)\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji \(f\).
Funkcja
Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości \(x_{k}=7,01m\), licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie \(x_{0}=0\), \(y_{0}=2,50m\). Środek piłki podczas rzutu poruszał
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem rekurencyjnym: \(\begin{cases}a_{1}=-2 \\ a_{n+1}=n\cdot a_{n}+4 \end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\).
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem ogólnym: \(a_{n}=4n-9\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Wykaż, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=n^2-n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) jest
A. rosnący,
B. malejący,
C. stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
1. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą ujemną
2. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest równa zero
3. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą dodatnią
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\).
Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę - tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_{0}=0\), wyraża się zależnością wykładniczą:
$$N(t)=N_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$
gdzie
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10m\) (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\) metrów, przy czym szerokości
Dany jest kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(sin\alpha=\frac{4}{5}\) oraz \(90°\lt\alpha\lt180°\).
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\)Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(|tg\alpha|=\frac{3}{4}\)
Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie
W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB|=12\), \(|BC|=8\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle ABC|=60°\).
Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka \(A\).
Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków \(AB\) i \(AC\) są równe odpowiednio \(|AB|=3r\) oraz \(|AC|=\sqrt{3}r\).
Oblicz miary wszystkich kątów trójkąta \(ABC\).
Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą \(k\) a cięciwą \(AB\) jest równa \(50°\). Punkt \(C\) leży na okręgu. Kąt \(\sphericalangle BCA\) jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej.
Miara kąta \(\sphericalangle BCA\) jest równa:
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=5\), \(|BC|=\sqrt{21}\), \(|AC|=4\). Dwusieczna kąta \(\sphericalangle CAB\) przecina bok \(BC\) w punkcie \(D\) (zobacz rysunek poniżej).
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź \(A\), \(B\) albo \(C\) oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Długość odcinka \(BD\) jest równa:
A. \(|BD|=\frac{1}{2}\sqrt{21}\)
B. \(|BD|=\frac{5}{9}\sqrt{21}\)
C. \(|BD|=\frac{4}{5}\sqrt{21}\)
ponieważ z
Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\), taki, że \(|AD|=\frac{1}{4}|AB|\), a na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|BE|=\frac{1}{5}|BC|\) (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\).
Oblicz pole trójkąta \(DBE\).
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.
Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(A\). Niech każdy z boków tego trójkąta: \(CA\), \(AB\), \(BC\) będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: \(CAW_{1}\), \(ABW_{2}\), \(CBW_{3}\). Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio
Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(|AD|=2\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(\alpha\), taką, że \(tg\alpha=2\). Przekątna \(BD\) i prosta przechodząca przez wierzchołek \(C\) prostopadła do \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka \(|CE|\).
Trzy różne punkty \(A\), \(B\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu. Styczne \(k\) i \(l\) do tego okręgu, odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\), przecinają się w punkcie \(C\) (zobacz rysunek poniżej).
Wykaż, że trójkąty \(ACB\) i \(ASD\) są podobne.
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB|=4\), \(|BC|=5\), \(|AC|=6\). Na tym trójkącie opisano okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(R\).
Oblicz promień \(R\) okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\).
Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(A\). Proste \(m\), \(n\) i \(s\) są do siebie równoległe i przecinają obie proste \(k\) i \(l\) w punktach \(B, C, D, E, F, G\) (zobacz rysunek poniżej), w taki sposób, że:
$$|BC|=30, |CD|=20, |GF|=21$$
Oblicz długość odcinka \(FE\).
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest okrąg \(O\) określony równaniem:
$$(x-2)^2+(y+3)^2=16$$
Zadanie 1.
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-G.
1. Środek \(S\) okręgu \(O\) ma współrzędne:
A. \(S=(2,-3)\)
B. \(S=(-2,-3)\)
C. \(S=(-2,3)\)
D. \(S=(-2,3)\)
2. Promień \(r\) okręgu \(O\) jest równy:
E. \(r=16\)
F. \(r=4\)
G. \(r=5\)
Zadanie
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S=(3,-4)\) i prosta \(k\) o równaniu \(2x-y-11=0\).
Okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).
Zadanie 1.
Wyznacz i zapisz równanie okręgu \(O\).
Zadanie 2.
Oblicz współrzędne punktu \(P\), w którym okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\).
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są punkty \(A=(1,2)\) oraz \(B=(3,7)\). Punkty \(A_{0}\) oraz\(B_{0}\) są odpowiednio obrazami punktów \(A\) i \(B\) w symetrii środkowej o środku w punkcie \(O=(0,0)\).
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A_{0}\) i \(B_{0}\) jest równy:
Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym prostokąty \(ABCD\) i \(EFGH\) są jego postawami. Odcinek \(BH\) jest przekątną tego prostopadłościanu.
Zadanie 1.
Na którym rysunku prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt \(\alpha\) pomiędzy przekątną \(BH\) prostopadłościanu a jego ścianą boczną \(ADHE\)? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A.
B.
C.
D.
Zadanie 2.
W prostopadłościanie
