Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(n^2+2023\) jest podzielna przez \(8\).

Odpowiedź:      

Udowodniono, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia i wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Rozwiązanie:      
Jeżeli przyjmiemy, że \(k\) jest liczbą całkowitą, to liczbę nieparzystą możemy zapisać jako \(2k+1\). Podstawiając teraz tę wartość pod \(n\), otrzymamy: $$(2k+1)^2+2023= \           ,\ =4k^2+4k+1+2023= \           ,\ =4k^2+4k+2024= \           ,\ =4k(k+1)+2024$$ Przeanalizujmy teraz podaną sytuację, zaczynając od wyrażenia \(k(k+1)\). Jeżeli \(k\) jest całkowitą liczbą parzystą, to \(k+1\) jest liczbą nieparzystą, a iloczyn liczby parzystej i nieparzystej daje wynik parzysty. Analogicznie, gdy \(k\) jest liczbą nieparzystą, to \(k+1\) będzie parzyste, czyli tutaj także iloczyn tych dwóch liczb będzie parzysty. Możemy więc powiedzieć, że mnożymy \(4\) przez liczbę, która jest na pewno parzysta, a do tego dodajemy \(2024\), które możemy rozpisać jako \(8\cdot253\). Pomnożenie \(4\) przez liczbę parzystą zawsze daje wynik podzielny przez \(8\), zatem liczba \(4k(k+1)+2024\) jest tak naprawdę sumą dwóch liczb podzielnych przez \(8\), co sprawia, że cała liczba też jest podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania