Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).



Zadanie 1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu \((a_{n})\) jest:

A. \(\dfrac{7^{49}}{3}\)

B. \(\dfrac{7^{50}}{3}\)

C. \(\dfrac{7^{51}}{3}\)

D. \(\dfrac{7^{52}}{3}\)



Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1. Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny.

2. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa \(20\).

Odpowiedź:      

1. A
2. Prawda oraz Fałsz

Rozwiązanie:      
Odpowiedź 1. Wartość pięćdziesiątego wyrazu możemy obliczyć podstawiając do wzoru ciągu \(n=50\), zatem: $$a_{50}=\frac{7^{50}}{21}$$ Takiej odpowiedzi jednak nie mamy wśród proponowanych. Musimy więc jeszcze przekształcić podany zapis. Patrząc na odpowiedzi widzimy, że dążymy do tego, aby w mianowniku ułamka znalazła się liczba \(3\), zatem: $$a_{50}=\frac{7\cdot7^{49}}{7\cdot3} \           ,\ a_{50}=\frac{7^{49}}{3}$$ Odpowiedź 2. Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Już po samym wzorze widać wyraźnie, że jest to ciąg geometryczny, ale, jeśli chcemy się dokładnie upewnić, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczyć wartość \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\), zatem: $$\frac{\frac{7^{n+1}}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{\frac{7^{n}\cdot7}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{7^{n}\cdot7}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7$$ Otrzymany wynik oznacza, że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=7\). Zdanie jest więc prawdą. Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania. W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu, czyli: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$ Ustaliliśmy już, że \(q=7\), więc obliczmy jeszcze wartość \(a_{1}\), zatem: $$a_{1}=\frac{7^1}{21} \           ,\ a_{1}=\frac{7}{21} \           ,\ a_{1}=\frac{1}{3}$$ Skoro tak, to suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu będzie równa: $$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-7^3}{1-7} \           ,\ S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-343}{-6} \           ,\ S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6} \           ,\ S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6} \           ,\ S_{3}=\frac{1}{3}\cdot57 \           ,\ S_{3}=19$$ Zdanie jest więc fałszem.

Teoria:      
W trakcie opracowania