Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(10n^2+30n+8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).

Odpowiedź:      

Udowodniono wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Rozwiązanie:      
Kluczem do sukcesu będzie rozbicie liczby \(8\) na sumę \(5+3\). To pozwoli nam wyłączyć wspólny czynnik równy \(5\) z podanego wyrażenia. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco: $$10n^2+30n+8= \           ,\ =10n^2+30n+5+3= \           ,\ =5\cdot(2n^2+6n+1)+3$$ Wartość \(2n^2+6n+1\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą, ponieważ mamy tutaj same liczby naturalne, które są do siebie dodawane. To oznacza, że dzieląc liczbę \(10n^2+30n+8\) przez \(5\) otrzymamy właśnie \(2n^2+6n+1\), a stojąca na końcu liczba \(3\) to reszta z tego dzielenia, co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania