Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3n-1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).



Zadanie 1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.



Ciąg \((a_{n})\) jest:



A. rosnący,

B. malejący,

C. stały,



ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)



1. \(a_{n+1}-a_{n}=-1\)

2. \(a_{n+1}-a_{n}=0\)

3. \(a_{n+1}-a_{n}=3\)



Zadanie 2. Najmniejszą wartością \(n\), dla której wyraz \((a_{n})\) jest większy od \(25\), jest:

A. \(8\)

B. \(9\)

C. \(7\)

D. \(26\)



Zadanie 3. Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \(a_{n}\) jest równa \(57\) dla \(n\) równego:

A. \(6\)

B. \(23\)

C. \(5\)

D. \(11\)

Odpowiedź:      

1. A., ponieważ 3.
2. B
3. A

Rozwiązanie:      
Odpowiedź 1. Już po samym wzorze widać, że jest to ciąg rosnący, ponieważ mamy klasyczny wzór ciągu arytmetycznego, a liczba stojąca przed \(n\) to różnica ciągu, czyli tutaj \(r=3\). Możemy jednak standardowo ustalić monotoniczność, tak jak jest to wskazane w sugerowanych odpowiedziach, czyli obliczając różnicę \(a_{n+1}-a_{n}\). Skoro tak, to: $$a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)-1-(3n-1)=3n+3-1-3n+1=3$$ Otrzymaliśmy dodatni wynik, a to oznacza, że ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_{n}=3\). Odpowiedź 2. Chcemy sprawdzić kiedy wartość wyrazów tego ciągu jest większa od \(25\), czyli musimy sprawdzić kiedy \(3n-1\) jest większe od \(25\). Zatem: $$3n-1\gt25 \           ,\ 3n\gt26 \           ,\ n\gt8\frac{2}{3}$$ W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a najmniejszą liczbą naturalną od \(8\frac{2}{3}\) jest \(9\). Odpowiedź 3. Krok 1. Podstawienie danych do wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wiemy już, że nasz ciąg jest arytmetyczny, a skoro tak, to możemy w tym zadaniu skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$ Do tego wzoru potrzebujemy podstawić \(r\) i ustaliliśmy już, że \(r=3\). Oprócz tego musimy obliczyć jeszcze \(a_{1}\), zatem podstawiając do wzoru \(n=1\), otrzymamy: $$a_{1}=3\cdot1-1 \           ,\ a_{1}=3-1 \           ,\ a_{1}=2$$ To oznacza, że: $$57=\frac{2\cdot2+(n-1)\cdot3}{2}\cdot n \           ,\ 57=\frac{4+3n-3}{2}\cdot n \           ,\ 57=\frac{3n+1}{2}\cdot n \           ,\ 114=(3n+1)\cdot n \           ,\ 114=3n^2+n \           ,\ 3n^2+n-114=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta: Współczynniki: \(a=3,\;b=1,\;c=-114\) $$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-114)=1-(-1368) \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{1369}=37$$ $$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-37}{2\cdot3}=\frac{-38}{6}=-6\frac{1}{3} \           ,\ n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+37}{2\cdot3}=\frac{36}{6}=6$$ W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem zostaje nam jedynie \(n=6\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.

Teoria:      
W trakcie opracowania