Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R}\) liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\) są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba \(x\) jest wymierna dla:

A. \(a=5\)

B. \(a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

C. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3\)

D. \(a=6\)

E. \(a=-2\sqrt{6}+12,5\)

F. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}\)

G. \(a=-\sqrt{6}\)

Odpowiedź:      

C oraz E

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(x\). Spróbujmy obliczyć wartość liczby \(x\) wykonując występujące w niej potęgowanie. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że: $$x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 \           ,\ x=a-(\sqrt{3})^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 \           ,\ x=a-(3-2\sqrt{6}+2) \           ,\ x=a-(5-2\sqrt{6}) \           ,\ x=a-5+2\sqrt{6}$$ Krok 2. Ustalenie, kiedy liczba \(x\) jest wymierna. Musimy się teraz zastanowić, kiedy \(a-5+2\sqrt{6}\) da wynik wymierny. Aby tak się stało, to w wartości liczby \(a\) musi się pojawić \(-2\sqrt{6}\) (wtedy te pierwiastki się "zniosą") i w zapisie tej liczby nie mogą nam oczywiście pojawić się inne nowe pierwiastki. Od razu możemy stwierdzić, że poprawna jest odpowiedź E, czyli \(a=-2\sqrt{6}+12,5\), bowiem to jest dokładnie to, czego szukamy. Musimy jeszcze wybrać drugą odpowiedź. Na pewno nie będzie to A, B, D oraz G (bo brakuje tu wartości \(-2\sqrt{6}\)). Do rozpatrzenia zostaje nam C oraz F. Rozpiszmy sobie każdy z tych wariantów: Odp. C. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3=2-2\sqrt{6}+3+0,3=5,3-2\sqrt{6}\) Ta odpowiedź nam pasuje. Odp. F. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}=2-2\sqrt{6}+3-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}\) Ta odpowiedź nam nie pasuje, bo jest tutaj \(-4\sqrt{6}\). Podsumowując, pasującymi odpowiedziami będą C oraz E.

Teoria:      
W trakcie opracowania