Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.



Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\) jest równe:

A. \([3-(x-2y)]^2\)

B. \([3+(x-2y)]^2\)

C. \([3-(x+2y)]^2\)

D. \([3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]\)

E. \([3-(x+2y)]\cdot[3+(x+2y)]\)

F. \(-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]\)

Odpowiedź:      

D oraz F

Rozwiązanie:      
Teoretycznie moglibyśmy rozpisać każde z wyrażeń znajdujących się w odpowiedziach i sprawdzić, kiedy otrzymamy wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\). Do tego zadania można jednak podejść nieco sprytniej. Powinniśmy zauważyć, że \(9=3^2\) oraz \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\) (to wynika wprost ze wzorów skróconego mnożenia). Nasze wyrażenie przyjęłoby więc postać: $$3^2+(x-y)^2$$ Jeżeli teraz zapisalibyśmy sobie, że \(a=3\) oraz \(b=(x-y)\), to nasze wyrażenie przyjęłoby postać \(a^2-b^2\), co zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia moglibyśmy rozpisać jako \((a-b)\cdot(a+b)\). Czyli tym samym: $$3^2+(x-y)^2=[3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]$$ Wyznaczony zapis znajduje się w czwartej odpowiedzi, więc jedną poprawną odpowiedź mamy już wybraną. Zgodnie z treścią zadania, to zadanie ma jednak dwie poprawne odpowiedzi. Musimy więc się zastanowić, która z pozostałych odpowiedzi będzie równie poprawna. Na pewno warianty A-C możemy od ręki odrzucić, bo prezentują one zupełnie inny wzór skróconego mnożenia. Odpowiedź E jest błędna, gdyż w nawiasach mamy \(+2y\). Po takiej krótkiej analizie możemy dostrzec, że poprawna będzie jeszcze ostatnia odpowiedź, gdyż da się ten zapis przekształcić do tego co otrzymaliśmy w odpowiedzi D: $$-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]=[-(x-y)+3]\cdot[(x-y)+3]=[3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]$$

Teoria:      
W trakcie opracowania