Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

Odpowiedź:      

Udowodniono wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Rozwiązanie:      
Kluczem do rozwiązania tego typu zadań jest umiejętne wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias. Haczyk polega na tym, że aby tego dokonać, musimy liczbę \(7\) rozbić na sumę \(5+2\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację: $$20n^2+30n+7=20n^2+30n+5+2=5\cdot(4n^2+6n+1)+2$$ Mówiąc wprost - otrzymany zapis mówi nam, że nasza liczba dzieli się przez \(5\), dając wynik równy \(4n^2+6n+1\) i resztę równą \(2\). Warto też dodać, że wartość \(4n^2+6n+1\) jest na pewno liczbą naturalną, ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, a suma liczb naturalnych daje na pewno liczbę naturalną.

Teoria:      
W trakcie opracowania