Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt3x^2-6x\).

Odpowiedź:      

\(x\in(0;2)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę i uproszczenie nierówności. Aby móc rozwiązać nierówność kwadratową za pomocą np. metodą delty musimy doprowadzić ją do ogólnej postaci typu \(ax^2+bx+c\), gdzie po prawej stronie takiej nierówności znajdzie się liczba \(0\). Krótko mówiąc - musimy przenieść wartość z prawej strony nierówności na lewą. Bardzo często o tym zapominamy, bo zazwyczaj na maturze nierówności są zapisane już w pożądanej postaci. Zatem: $$2x^2-4x\gt3x^2-6x \           ,\ 2x^2-4x-3x^2+6x\gt0 \           ,\ -x^2+2x\gt0$$ Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności. Miejsca zerowe naszej nierówności możemy obliczyć za pomocą metody delty. Trzeba tylko pamiętać, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\). Jednak ta nierówność jest na tyle prosta, że przy wyznaczaniu miejsc zerowych możemy posłużyć się postacią iloczynową, wtedy: $$-x^2+2x=0 \           ,\ -x(x-2)=0 \           ,\ -x=0 \quad\lor\quad x-2=0 \           ,\ x=0 \quad\lor\quad x=2$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) stoi znak minusa. Po naniesieniu miejsc zerowych wyliczonych w drugim kroku otrzymamy: Kropki przy \(x=0\) oraz \(x=2\) muszą być niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\). Teraz musimy odczytać z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie (czyli kiedy wykres jest nad osią). Widzimy wyraźnie, że wartości dodatnie funkcja przyjmuje dla \(x\in(0;2)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania