Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\), takie, że iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x+y}{x}\). Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.

Odpowiedź:      

\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Rozwiązanie:      
Zwróćmy uwagę, że \(\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}\). Znamy wartość \(\frac{x}{y}\), a widzimy, że potrzebujemy jej odwrotności, czyli \(\frac{y}{x}\). Odwrotnością ułamka \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) jest oczywiście \(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\). Skoro tak, to całość obliczeń będzie wyglądać następująco: $$\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt{5}}$$ Aby móc kontynuować obliczenia, musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. W tym celu musimy pomnożyć licznik oraz mianownik ułamka przez \(1-\sqrt{5}\), dzięki czemu będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), zatem: $$1+\frac{2\cdot(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})\cdot(1-\sqrt{5})}=1+\frac{2-2\sqrt{5}}{1-5}=1+\frac{2-2\sqrt{5}}{-4}= \           ,\ =1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{2}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania