Rozwiąż nierówność \((2x-5)(3-x)\gt-66\).

Odpowiedź:      

\(x\in\left(-3;8\frac{1}{2}\right)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej. Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem: $$(2x-5)(3-x) \gt -66 \           ,\ 6x-2x^2-15+5x \gt -66 \           ,\ 6x-2x^2-15+5x+66 \gt 0 \           ,\ -2x^2+11x+51\gt0$$ Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych. Teraz zgodnie z zasadami rozwiązywania nierówności szukamy miejsc zerowych, czyli przyrównujemy wartość \(-2x^2+11x+51\) do zera. Mamy więc do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej \(-2x^2+11x+51=0\), które rozwiążemy klasycznie obliczając deltę: Współczynniki: \(a=-2,\;b=11,\;c=51\) $$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot(-2)\cdot51=121-(-408)=121+408=529 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{529}=23$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-23}{2\cdot(-2)}=\frac{-34}{-4}=8\frac{1}{2} \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+23}{2\cdot(-2)}=\frac{12}{-4}=-3$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. Rysujemy oś, zaznaczamy wyznaczone miejsce zerowe i szkicujemy parabolę: Krok 4. Odczytanie rozwiązania. Interesują nas wartości większe od zera, zatem patrzymy się na to co jest nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem nierówności jest przedział. $$x\in\left(-3;8\frac{1}{2}\right)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania