Wzór funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej (o ile istnieje).



Zadanie 1.

Dana jest funkcja kwadratowa \(y=f(x)\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.





Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji \(f\).



Funkcja kwadratowa \(y=f(x)\) jest określona wzorem:

A. \(y=-(x+5)^2-6\)

B. \(y=-(x+5)^2+6\)

C. \(y=-(x-5)^2-6\)

D. \(y=-(x-5)^2+6\)



Zadanie 2.

Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej \(y=g(x)\) należy punkt o współrzędnych \(P=(2,-6)\). Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu \(x=3\), a jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest \(x_{1}=1\).



Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y=g(x)\) w postaci iloczynowej.

Odpowiedź:      

1. B
2. \(y=2(x-1)(x-5)\)

Rozwiązanie:      
Zadanie 1. Musimy podać wzór funkcji w postaci kanonicznej, czyli postaci typu \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(-5;6)\), czyli \(p=-5\) oraz \(q=6\). Skoro tak, to wzorem naszej funkcji będzie: $$y=a(x-(-5))^2+6 \           ,\ y=a(x+5)^2+6$$ Teoretycznie powinniśmy jeszcze wyznaczyć wartość współczynnika \(a\), choć widzimy, że w każdej z proponowanych odpowiedzi jest on równy -1. Ujemna wartość współczynnika \(a\) jest jak najbardziej w porządku, ponieważ ramiona paraboli są skierowane do dołu. Stąd też odpowiedzią do tego zadania będzie \(y=-(x+5)^2+6\). Zadanie 2. Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji. Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że miejsca zerowe są oddalone od osi symetrii o jednakową liczbę jednostek. Mówiąc bardzo obrazowo, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco: Z rysunku pomocniczego wynika wprost, że miejscami zerowymi są \(x=1\) oraz \(x=5\). Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej. Znajomość miejsc zerowych pozwala nam zapisać wzór funkcji w postaci iloczynowej, zatem: $$y=a(x-1)(x-5)$$ Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Poznamy go, podstawiając do wyznaczonej przed chwilą postaci współrzędne punktu \(P=(2;-6)\), zatem: $$-6=a(2-1)(2-5) \           ,\ -6=a\cdot1\cdot(-3) \           ,\ -3a=-6 \           ,\ a=2$$ To oznacza, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie \(y=2(x-1)(x-5)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania