Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(|AD|=2\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(\alpha\), taką, że \(tg\alpha=2\). Przekątna \(BD\) i prosta przechodząca przez wierzchołek \(C\) prostopadła do \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).





Oblicz długość odcinka \(|CE|\).

Odpowiedź:      

\(|CE|=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Na początek oznaczmy kąt \(BDA\) jako \(\alpha\) (zgodnie z treścią zadania) oraz \(ABD\) jako \(\beta\). W tym momencie powinniśmy dostrzec, że kąt \(DBC\) jest kątem naprzemianległym do kąta \(ABD\), zatem on też będzie mieć miarę \(\beta\). W tym momencie widzimy, że trójkąty \(ABD\) oraz \(DEC\) mają już dwa kąty o jednakowej mierze (kąt \(\beta\) oraz kąt prosty). To z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie kąt \(ECD\) musi mieć miarę \(\alpha\), a więc trójkąty \(ABD\) oraz \(DEC\) są trójkątami podobnymi (cecha kąt-kąt-kąt). Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(CD\). Z treści zadania wiemy, że \(|AD|=2\). Wiemy też, że \(tg\alpha=2\). Skoro tak, to korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że: $$tg\alpha=\frac{|AB|}{|AD|} \           ,\ 2=\frac{|AB|}{2} \           ,\ |AB|=4$$ Wyszło nam, że \(|AB|=4\), a skoro figura \(ABCD\) jest prostokątem to i analogicznie \(|CD|=4\). Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BD\). Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABD\). Znamy długości przyprostokątnych tego trójkąta, zatem do wyznaczenia przeciwprostokątnej \(BD\) możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa: $$2^2+4^2=|BD|^2 \           ,\ 4+16=|BD|^2 \           ,\ |BD|^2=20 \           ,\ |BD|=\sqrt{20} \quad\lor\quad |BD|=-\sqrt{20}$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BD|=\sqrt{20}\). Teoretycznie moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka (otrzymując postać \(|BD|=2\sqrt{5})\), ale na tym etapie nie jest to konieczne. Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(CE\). Ustaliliśmy już, że trójkąty \(ABD\) oraz \(DEC\) są trójkątami podobnymi. Skoro tak, to: $$\frac{|AD|}{|BD|}=\frac{|CE|}{|CD|} \           ,\ \frac{2}{\sqrt{20}}=\frac{|CE|}{4} \           ,\ |CE|=\frac{8}{\sqrt{20}} \           ,\ |CE|=\frac{8}{2\sqrt{5}} \           ,\ |CE|=\frac{4}{\sqrt{5}} \           ,\ |CE|=\frac{4\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \           ,\ |CE|=\frac{4\sqrt{5}}{5}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania