Rozwiąż równanie:

$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0$$

Odpowiedź:      

\(x=-\frac{1}{4}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń. Mamy równanie, w którym niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku ułamka. Zanim więc zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać stosowne założenia, ponieważ wartość mianownika nie może być równa \(0\) (gdyż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\)). Skoro tak, to: $$(2x-10)(x+3)\neq0$$ Mamy postać iloczynową równania kwadratowego, zatem każdy z nawiasów musi być różny od zera, czyli: $$2x-10\neq0 \quad\lor\quad x+3\neq0 \           ,\ 2x\neq10 \quad\lor\quad x\neq-3 \           ,\ x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-3$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Aby rozwiązać podane równanie, musimy obydwie strony pomnożyć przez wartość w mianowniku, zatem: $$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot(2x-10)(x+3) \           ,\ (4x+1)(x-5)=0$$ Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera: $$4x+1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \           ,\ 4x=-1 \quad\lor\quad x=5 \           ,\ x=-\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=5$$ Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników. Na koniec musimy zweryfikować otrzymane wyniki z zapisanymi założeniami. Widzimy, że rozwiązanie \(x=5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości mianownik był równy \(0\). Skoro tak, to jedynym rozwiązaniem tego zadania będzie \(x=-\frac{1}{4}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania