Wzory redukcyjne

1. $\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

1. $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-\frac29=\frac79$.

Odpowiedź: $\tfrac79$

1. $\sin^215^\circ=\frac{1-\cos30^\circ}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{2}=\frac{2-\sqrt3}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{2-\sqrt3}{4}$

1. $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-1=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$, $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ (przy czym $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$).
2. $\frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\sin2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=\frac45$, $\cos2\alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=-\frac35$.
2. Kontrola: w III ćwiartce $\sin\alpha=-\frac2{\sqrt5}$, $\cos\alpha=-\frac1{\sqrt5}$, więc $\sin2\alpha=2\cdot\frac2{5}=\frac45$ ✓.

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\tfrac45$, $\cos2\alpha=-\tfrac35$

1. $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$.
2. $=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x=2\sin x(1-\sin^2x)+\sin x-2\sin^3x$.
3. $=3\sin x-4\sin^3x$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2=2\cos60^\circ\sin45^\circ=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt2}{2}$

1. $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos2\alpha\cdot1$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\cos\alpha=\frac45$, $\sin\beta=\frac{12}{13}$ (kąty ostre).
2. $\sin(\alpha+\beta)=\frac35\cdot\frac5{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$.
3. $\cos(\alpha-\beta)=\frac45\cdot\frac5{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}$.

Odpowiedź: $\sin(\alpha+\beta)=\tfrac{63}{65}$, $\cos(\alpha-\beta)=\tfrac{56}{65}$

To podstawowy wzór redukcyjny — kąty $\alpha$ i $90^\circ-\alpha$ dopełniają się do kąta prostego:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Skąd to wynika: w trójkącie prostokątnym oba kąty ostre dopełniają się do $90^\circ$, a sinus jednego jest cosinusem drugiego.

Sprawdzenie: $\sin60^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: B. $\cos\alpha$.

Krok 1 — zapisujemy kąt w dogodnej postaci:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$$

Kontrola ćwiartką: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny ✔

Odpowiedź: $-\frac12$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$135^\circ=180^\circ-45^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\operatorname{tg}\left(180^\circ-\alpha\right)=-\operatorname{tg}\alpha$$

$$\operatorname{tg}135^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce tangens jest ujemny, bo sinus jest dodatni, a cosinus ujemny ✔

Odpowiedź: B. $-1$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$210^\circ=180^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — wzory redukcyjne dla trzeciej ćwiartki:

$$\sin\left(180^\circ+\alpha\right)=-\sin\alpha,\qquad \cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\sin210^\circ=-\frac12,\qquad \cos210^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Kontrola ćwiartką: w trzeciej ćwiartce obie funkcje są ujemne ✔

Odpowiedź: $-\frac12$ oraz $-\frac{\sqrt3}{2}$.

Krok 1 — redukujemy licznik:

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

Krok 2 — redukujemy mianownik:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 3 — składamy:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, czyli $\alpha\neq90^\circ+k\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha$.

Krok 1 — redukujemy każdy czynnik osobno:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin\alpha\cdot\sin\alpha+\left(-\cos\alpha\right)\cdot\cos\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha$$

Krok 3 — rozpoznajemy wzór:

$$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)=-\cos2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=45^\circ$: wyrażenie wyjściowe daje $\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=0$, a $-\cos90^\circ=0$ ✔

Odpowiedź: $-\cos2\alpha$.

Krok 1 — rozpisujemy lewą stronę. Pierwszy składnik:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — dodajemy. Składniki z $\cos\alpha\sin\beta$ mają przeciwne znaki i się redukują:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=2\sin\alpha\cos\beta \qquad ∎$$

Do czego to służy. Wzór czytany od prawej do lewej zamienia iloczyn na sumę — a sumy łatwiej się całkuje i rozwiązuje w równaniach trygonometrycznych. Analogicznie odejmowanie tych wzorów daje $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$.

Sprawdzenie dla $\alpha=60^\circ$, $\beta=30^\circ$: lewa strona to $\sin90^\circ+\sin30^\circ=1+\frac12=\frac32$, prawa $2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ ✔