Ciąg arytmetyczny (2)

Różnica to wyraz następny minus poprzedni:

$$r=11-7=4$$

Sprawdzenie: $15-11=4$ oraz $19-15=4$ ✔ Różnica musi być ta sama dla każdej pary sąsiednich wyrazów.

Odpowiedź: C. $r=4$.

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Odpowiedź: B.

Wzór na wyraz ogólny:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

$$a_{20}=3+19\cdot5=3+95=98$$

Uwaga: mnożymy przez $n-1$, bo od pierwszego do dwudziestego wyrazu wykonujemy $19$ kroków.

Odpowiedź: $a_{20}=98$.

$$a_5=a_1+4r=3+4\cdot4=3+16=19$$

Odpowiedź: $a_5=19$.

1. $a_5=3\cdot5-2=13$.

Odpowiedź: A

1. $3n-7\lt 0 \Rightarrow n\lt \frac73$, czyli $n\in\{1,2\}$.

Odpowiedź: $2$

Krok 1 — dane: $a_1=2$, $r=3$.

Krok 2 — dziesiąty wyraz:

$$a_{10}=2+9\cdot3=29$$

Krok 3 — suma:

$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot10=\frac{2+29}{2}\cdot10=155$$

Odpowiedź: $S_{10}=155$.

Różnica to $a_2-a_1$:

$$r=17-20=-3$$

Odpowiedź: $r=-3$ (ciąg malejący).

1. $a_{10}=a_1+9r=4-27=-23$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — policzone $a_1+10r$; D — dodatnia różnica.

1. Liczby $14,21,\dots,98$ — ciąg arytmetyczny, $r=7$, $n=13$.
2. $S=\frac{14+98}{2}\cdot13=728$.

Odpowiedź: $728$

Własność środkowego wyrazu:

$$x=\frac{5+17}{2}=\frac{22}{2}=11$$

Sprawdzenie: $11-5=6$ oraz $17-11=6$ ✔

Uwaga: $\sqrt{85}\approx9{,}22$ to średnia geometryczna — pasowałaby do ciągu geometrycznego, nie arytmetycznego.

Odpowiedź: B. $x=11$.

W ciągu arytmetycznym $a_{n+1}-a_n=r=\text{const}$.

Odpowiedź: A.

1. $a_7-a_3=4r=12 \Rightarrow r=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — różnica wyrazów, a nie ciągu (od $a_3$ do $a_7$ są $4$ kroki).

1. $2a_1+5r=17$. Oznaczmy $s=a_1+\frac52r=\frac{17}2$; wtedy $a_3=s-\frac r2$, $a_4=s+\frac r2$.
2. $a_3a_4=s^2-\frac{r^2}4=\frac{289}4-\frac{r^2}{4}=70 \Rightarrow r^2=9$.
3. $r=3$: $a_1=1$; $r=-3$: $a_1=16$.

Odpowiedź: $a_1=1,\ r=3$ lub $a_1=16,\ r=-3$

To ciąg arytmetyczny o $a_1=1$, $a_{100}=100$:

$$S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot100=50{,}5\cdot100=5050$$

Historia. Ten sam trik — parowanie skrajnych wyrazów — przypisuje się młodemu Gaussowi.

Odpowiedź: $5050$.

Krok 1 — wzór na $a_{10}$:

$$a_{10}=a_1+9r$$

Krok 2 — podstawiamy i rozwiązujemy:

$$41=5+9r \quad\Rightarrow\quad 9r=36 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Odpowiedź: $r=4$.

1. $4r=14-2=12 \Rightarrow r=3$.
2. $a_9=a_1+8r=2+24=26$ (albo: $a_9=a_5+4r=14+12$).

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pomnożono $a_5\cdot2$; C — dodano jeden raz $r$ zamiast czterech.

1. $x=a$, $y=a+r$, $z=a+4r$ ($r\ne0$, bo ciąg rosnący).
2. $(a+r)^2=a(a+4r) \Rightarrow r^2=2ar \Rightarrow r=2a$.
3. Wtedy $(x,y,z)=(a,3a,9a)$, suma $13a=39 \Rightarrow a=3$.
4. $(3,9,27)$ — rosnący, $q=3$ ✓.

Odpowiedź: $x=3,\ y=9,\ z=27$

Krok 1 — warunek:

$$20+(n-1)(-3)<0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$20-3n+3<0 \quad\Rightarrow\quad 23<3n \quad\Rightarrow\quad n>7\tfrac23$$

Krok 3 — najmniejsza liczba naturalna: $n=8$.

Sprawdzenie: $a_7=20-18=2>0$, ale $a_8=20-21=-1<0$ ✔

Odpowiedź: A. ósmy.

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Odpowiedź: C.

1. $2\cdot5=(x-1)+(2x+3) \Rightarrow 10=3x+2 \Rightarrow x=\tfrac83$.
2. Sprawdzenie: $\left(\tfrac53,\ 5,\ \tfrac{25}3\right)$, różnica $\tfrac{10}3$ ✓.

Odpowiedź: A

1. $(2+r)^2=2(2+4r) \Rightarrow r^2-4r=0$, $r\ne0 \Rightarrow r=4$.
2. $a_n=4n-2$, $S_n=\frac{2+4n-2}{2}n=2n^2$.
3. $2n^2=200 \Rightarrow n=10$.

Odpowiedź: $r=4$, $n=10$

Krok 1 — od trzeciego do siódmego wyrazu są cztery kroki:

$$a_7=a_3+4r \quad\Rightarrow\quad 26=10+4r$$

Krok 2 — różnica:

$$4r=16 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 3 — pierwszy wyraz:

$$a_1=a_3-2r=10-8=2$$

Sprawdzenie: ciąg to $2$, $6$, $10$, $14$, $18$, $22$, $26$ ✔

Odpowiedź: $a_1=2$, $r=4$.

Krok 1 — dziesiąty wyraz:

$$a_{10}=2+9\cdot3=29$$

Krok 2 — suma:

$$S_{10}=\frac{2+29}{2}\cdot10=\frac{31}{2}\cdot10=155$$

Odpowiedź: $S_{10}=155$.

1. $S_{20}=\dfrac{2\cdot3+19\cdot2}{2}\cdot20=\dfrac{44}{2}\cdot20=440$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to $a_{21}$; D — pominięte dzielenie przez $2$.

1. Arytmetyczny: $2(b+6)=a+1+c+3 \Rightarrow a+c=2b+8$.
2. Z sumą: $3b+8=26 \Rightarrow b=6$, $a+c=20$.
3. Geometryczny: $ac=36$. $a,c$ — pierwiastki $t^2-20t+36=0$: $2$ i $18$.
4. $(2,6,18)$ → $(3,12,21)$ ✓; $(18,6,2)$ → $(19,12,5)$ ✓.

Odpowiedź: $(2,6,18)$ lub $(18,6,2)$

Krok 1 — pierwsza i ostatnia taka liczba:

$$14,\ 21,\ \dots,\ 98$$

Krok 2 — ile ich jest:

$$98=14+(n-1)\cdot7 \quad\Rightarrow\quad 84=7(n-1) \quad\Rightarrow\quad n=13$$

Krok 3 — suma:

$$S_{13}=\frac{14+98}{2}\cdot13=56\cdot13=728$$

Odpowiedź: $728$.

Krok 1 — to ciąg arytmetyczny $a_1=1$, $a_{100}=100$, $r=1$.

Krok 2 — suma:

$$S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot100=\frac{101}{2}\cdot100=5050$$

Ciekawostka. Ten sam rachunek wykonał w pamięci młody Gauss, parując liczby $1{+}100=101$, $2{+}99=101$, ... — $50$ par po $101$.

Odpowiedź: $5050$.

1. To ciąg arytmetyczny o $a_1=3$ i $r=4$.
2. $a_{10}=3+9\cdot4=39$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — policzone $a_{11}$.

1. $a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{2n+5}-\frac{n+1}{2n+3}=\frac{(n+2)(2n+3)-(n+1)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)}$.
2. Licznik: $2n^2+7n+6-(2n^2+7n+5)=1$.
3. $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(2n+5)(2n+3)}\gt 0$ — ciąg rosnący.

Odpowiedź: ciąg rosnący

Krok 1 — dziesiąty wyraz:

$$a_{10}=1+9\cdot2=19$$

Krok 2 — suma:

$$S_{10}=\frac{1+19}{2}\cdot10=100$$

Ładna własność: to suma kolejnych liczb nieparzystych $1+3+5+\dots+19$, a taka suma zawsze równa się $n^2$ — tutaj $10^2=100$.

Odpowiedź: D. $100$.

W ciągu D różnica jest stała: $10-7=3$, $13-10=3$, $16-13=3$.

(Ciąg A jest geometryczny, C to kwadraty.)

Odpowiedź: D. $7,10,13,16$.

1. 1. $a_{n+1}-a_n=2(n+1)+7-2n-7=2$ — stała różnica, prawda.
2. 2. $2n+7=100 \Rightarrow n=46{,}5\notin\mathbb N$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $a_n=a_1+2\cdot1+2\cdot2+\dots+2(n-1)=2+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=n^2-n+2$.
2. $a_{10}=100-10+2=92$.

Odpowiedź: $a_n=n^2-n+2$, $a_{10}=92$

Krok 1 — dane: $a_1=3$, $r=4$.

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n=\frac{6+4(n-1)}{2}\cdot n$$

Krok 3 — równanie:

$$\frac{4n+2}{2}\cdot n=210 \quad\Rightarrow\quad (2n+1)n=210$$

$$2n^2+n-210=0$$

Krok 4 — rozwiązanie:

$$\Delta=1+1680=1681,\qquad \sqrt{\Delta}=41$$

$$n=\frac{-1+41}{4}=10$$

Drugi pierwiastek jest ujemny, więc go odrzucamy.

Sprawdzenie: $a_{10}=39$, a $S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot10=210$ ✔

Odpowiedź: $10$ wyrazów.

Własność ciągu arytmetycznego: każdy wyraz (poza skrajnymi) jest średnią arytmetyczną sąsiadów:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{8+14}{2}=11$$

Odpowiedź: $a_2=11$.

1. Raty tworzą ciąg arytmetyczny: $r=-20$, $n=16$, $S_{16}=7200$.
2. $S_{16}=\dfrac{2a_1+15\cdot(-20)}{2}\cdot16=8(2a_1-300)=7200$.
3. $2a_1-300=900 \Rightarrow a_1=600$ zł. (Ostatnia rata: $600-300=300$ zł.)

Odpowiedź: $600$ zł

1. Wpłata z początku roku $k$ rośnie przez $11-k$ lat: $1000\cdot1{,}05^{11-k}$.
2. Suma: $1000(1{,}05+1{,}05^2+\dots+1{,}05^{10})=1000\cdot1{,}05\cdot\frac{1{,}05^{10}-1}{0{,}05}$.
3. $1{,}05^{10}\approx1{,}628895$, więc $\approx1000\cdot1{,}05\cdot12{,}5779=13\,206{,}79$ zł.

Odpowiedź: $13\,206{,}79$ zł

Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie $r$:

$$a_{n+1}-a_n=r$$

Ciąg maleje, gdy ta różnica jest ujemna, czyli gdy $r<0$.

Pierwszy wyraz nie ma znaczenia — ciąg $-5$, $-2$, $1$, $4$ zaczyna się od liczby ujemnej, a mimo to rośnie.

Odpowiedź: B. $r<0$.

Między $a_3$ a $a_5$ są dwie różnice:

$$a_5-a_3=2r \quad\Rightarrow\quad 16-10=2r \quad\Rightarrow\quad r=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

1. Warunek: $2(m^2+1)=(5m+4)+(4-m) \Rightarrow 2m^2+2=4m+8 \Rightarrow m^2-2m-3=0$.
2. $(m-3)(m+1)=0 \Rightarrow m=3$ lub $m=-1$.
3. $m=3$: ciąg $(19,\ 10,\ 1)$ — malejący, odrzucamy.
4. $m=-1$: ciąg $(-1,\ 2,\ 5)$ — rosnący ✓.

Odpowiedź: $m=-1$

1. $a_1a_2a_3=a_2^3=216 \Rightarrow a_2=6$.
2. $a_1+a_3=15$, $a_1a_3=a_2^2=36$ — pierwiastki $t^2-15t+36=0$: $3$ i $12$.
3. $(3,6,12)$, $q=2$ lub $(12,6,3)$, $q=\frac12$.

Odpowiedź: $(3,6,12)$ lub $(12,6,3)$

Krok 1 — zapisujemy oba wyrazy przez $a_3$:

$$a_1=a_3-2r,\qquad a_5=a_3+2r$$

Krok 2 — dodajemy. Składniki z $r$ się znoszą:

$$a_1+a_5=2a_3=16$$

Krok 3 — wynik:

$$a_3=8$$

Warto zapamiętać. W ciągu arytmetycznym wyrazy równo oddalone od danego wyrazu sumują się do jego podwojonej wartości — to bardzo częsty motyw w zadaniach.

Odpowiedź: $a_3=8$.

$$a_{100}=a_1+99r=1+99\cdot2=1+198=199$$

Odpowiedź: $a_{100}=199$.

Krok 1 — dane: $a_1=18$, $r=2$, $n=25$.

Krok 2 — ostatni rząd:

$$a_{25}=18+24\cdot2=66$$

Krok 3 — suma:

$$S_{25}=\frac{18+66}{2}\cdot25=42\cdot25=1050$$

Odpowiedź: $1050$ miejsc.

Krok 1 — szukamy $n$, dla którego $a_n<0$:

$$100+(n-1)(-7)<0$$

$$100-7(n-1)<0 \quad\Rightarrow\quad 7(n-1)>100 \quad\Rightarrow\quad n-1>14{,}28...$$

Krok 2 — najmniejsze całkowite: $n-1\ge15$, więc $n=16$.

Sprawdzenie: $a_{16}=100-7\cdot15=100-105=-5<0$, a $a_{15}=100-98=2>0$ ✔

Odpowiedź: szesnasty wyraz ($a_{16}=-5$).

Sumę liczymy jako liczbę wyrazów razy ich średnia:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Skąd to się bierze: parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd. — każda para ma tę samą sumę $a_1+a_n$.

Uwaga: odpowiedź D to wzór na wyraz ogólny, nie na sumę.

Odpowiedź: C. $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

$$S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Odpowiedź: A. $\frac{n(n+1)}{2}$.

Krok 1 — ile jest składników:

$$n=\frac{200}{2}=100$$

Krok 2 — suma:

$$S=\frac{2+200}{2}\cdot100=101\cdot100=10\,100$$

Odpowiedź: $10\,100$.

Krok 1 — układ z dwóch wyrazów:

$$a_4=a_1+3r=13,\qquad a_9=a_1+8r=33$$

Krok 2 — odejmujemy stronami:

$$5r=20 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 3 — wyznaczamy $a_1$:

$$a_1=13-3\cdot4=1$$

Sprawdzenie: $a_9=1+8\cdot4=33$ ✔

Odpowiedź: $a_1=1$, $r=4$.

Liczymy różnicę kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_n=\bigl[4(n+1)-1\bigr]-(4n-1)=4$$

Reguła. Gdy wzór ma postać $a_n=pn+q$, ciąg jest arytmetyczny, a różnica to współczynnik $p$ przy $n$.

Sprawdzenie: $3$, $7$, $11$, $15$ ✔

Odpowiedź: A. $r=4$.

Środkowy wyraz jest średnią sąsiadów: $8=\frac{x+14}{2}$:

$$16=x+14 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1 — sprytny zapis. Oznaczmy wyrazy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy suma nie zależy od $r$:

$$(a-r)+a+(a+r)=3a=30 \quad\Rightarrow\quad a=10$$

Krok 2 — iloczyn:

$$(10-r)\cdot10\cdot(10+r)=840$$

$$10\left(100-r^2\right)=840 \quad\Rightarrow\quad 100-r^2=84$$

Krok 3 — różnica:

$$r^2=16 \quad\Rightarrow\quad r=4 \ \text{lub}\ r=-4$$

Krok 4 — wyrazy. Oba przypadki dają ten sam zestaw liczb, tylko w odwrotnej kolejności:

$$6,\ 10,\ 14 \qquad\text{lub}\qquad 14,\ 10,\ 6$$

Sprawdzenie: $6+10+14=30$ ✔ oraz $6\cdot10\cdot14=840$ ✔

Odpowiedź: $6$, $10$, $14$.

Krok 1 — pierwszy wyraz to $S_1$:

$$a_1=S_1=1^2+2\cdot1=3$$

Krok 2 — $a_2=S_2-S_1$:

$$S_2=2^2+2\cdot2=8,\qquad a_2=8-3=5$$

Uwaga. Ogólnie $a_n=S_n-S_{n-1}$ — to sposób odzyskania wyrazów ciągu z wzoru na sumę.

Odpowiedź: $a_1=3$, $a_2=5$.

Krok 1 — różnica. Od piątego do dwunastego wyrazu jest siedem kroków:

$$41=13+7r \quad\Rightarrow\quad 7r=28 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 2 — pierwszy wyraz:

$$a_1=a_5-4r=13-16=-3$$

Krok 3 — dwudziesty wyraz:

$$a_{20}=-3+19\cdot4=73$$

Krok 4 — suma:

$$S_{20}=\frac{-3+73}{2}\cdot20=35\cdot20=700$$

Kontrola: średni wyraz wynosi $35$, a dwadzieścia takich wyrazów daje $700$ ✔

Odpowiedź: $S_{20}=700$.

Krok 1 — model. Liczby miejsc tworzą ciąg arytmetyczny $a_1=18$, $r=2$.

Krok 2 — ostatni rząd:

$$a_{15}=18+14\cdot2=18+28=46$$

Krok 3 — suma miejsc:

$$S_{15}=\frac{18+46}{2}\cdot15=32\cdot15=480$$

Odpowiedź: $480$ miejsc.

Krok 1 — dane: $a_1=40$, $r=6$.

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S_n=\frac{2\cdot40+(n-1)\cdot6}{2}\cdot n=\frac{74+6n}{2}\cdot n=(37+3n)n$$

Krok 3 — równanie:

$$3n^2+37n-700=0$$

Krok 4 — wyróżnik:

$$\Delta=1369+8400=9769,\qquad \sqrt{\Delta}\approx98{,}84$$

$$n=\frac{-37+98{,}84}{6}\approx10{,}3$$

Krok 5 — interpretacja. Po $10$ dniach mamy $(37+30)\cdot10=670$ płytek — jeszcze za mało. Jedenastego dnia robotnik ułoży $a_{11}=40+60=100$ płytek, więc próg $700$ zostanie przekroczony w trakcie jedenastego dnia.

Odpowiedź: potrzeba $11$ dni pracy.

Krok 1 — to ciąg arytmetyczny $10,15,20,\dots,95$, gdzie $a_1=10$, $r=5$, $a_n=95$.

Krok 2 — liczba wyrazów:

$$95=10+(n-1)\cdot5 \quad\Rightarrow\quad 85=5(n-1) \quad\Rightarrow\quad n=18$$

Krok 3 — suma:

$$S_{18}=\frac{10+95}{2}\cdot18=\frac{105}{2}\cdot18=945$$

Odpowiedź: $945$.

Krok 1 — opis ciągu. Kolejne liczby nieparzyste to ciąg arytmetyczny:

$$a_1=1,\qquad r=2,\qquad a_n=1+(n-1)\cdot2=2n-1$$

Krok 2 — podstawiamy do wzoru na sumę:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{1+(2n-1)}{2}\cdot n$$

Krok 3 — upraszczamy:

$$S_n=\frac{2n}{2}\cdot n=n\cdot n=n^2 \qquad ∎$$

Interpretacja geometryczna. Kwadrat $n\times n$ można rozłożyć na „kątowniki” o $1$, $3$, $5$, … kwadracików — stąd bierze się ta równość.

Sprawdzenie: $1+3+5+7=16=4^2$ ✔

Krok 1 — definicja stałej różnicy. Skoro to ciąg arytmetyczny, różnice kolejnych wyrazów są równe:

$$b-a=c-b$$

Krok 2 — przenosimy wyrazy. Dodajemy $b$ i $a$ do obu stron:

$$b+b=c+a$$

$$2b=a+c \qquad ∎$$

Wniosek. Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów: $b=\frac{a+c}{2}$. To najczęściej używana własność ciągu arytmetycznego.

Sprawdzenie dla $2,5,8$: $2\cdot5=10=2+8$ ✔