Suma i różnica sinusów, suma i różnica cosinusów

Wzór na sumę sinusów zamienia sumę na iloczyn:

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Zapamiętaj: „suma sinusów — sinus półsumy razy cosinus półróżnicy".

Odpowiedź: B.

Krok 1 — wzór na sumę sinusów:

$$\sin70^\circ+\sin10^\circ=2\sin\frac{70^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ-10^\circ}{2}$$

Krok 2 — obliczamy kąty:

$$=2\sin40^\circ\cos30^\circ$$

Odpowiedź: $2\sin40^\circ\cos30^\circ$.

1. $\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

Różnica cosinusów ma charakterystyczny znak minus:

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Uwaga: to jedyny z czterech wzorów z minusem z przodu.

Odpowiedź: A.

1. $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-\frac29=\frac79$.

Odpowiedź: $\tfrac79$

Odejmujemy pełny obrót $360^\circ$:

$$450^\circ-360^\circ=90^\circ$$

Interpretacja: obrót o $450^\circ$ to jeden pełny obrót plus $90^\circ$ — kończy się w tym samym miejscu co $90^\circ$.

Odpowiedź: $90^\circ$.

1. $\sin^215^\circ=\frac{1-\cos30^\circ}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{2}=\frac{2-\sqrt3}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{2-\sqrt3}{4}$

Suma cosinusów to iloczyn dwóch cosinusów:

$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Odpowiedź: C.

1. $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-1=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

$$\cos50^\circ+\cos10^\circ=2\cos\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-10^\circ}{2}=2\cos30^\circ\cos20^\circ$$

Odpowiedź: $2\cos30^\circ\cos20^\circ$.

1. $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$, $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ (przy czym $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$).
2. $\frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Krok 1 — wzór na sumę sinusów:

$$\sin75^\circ+\sin15^\circ=2\sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\cos\frac{75^\circ-15^\circ}{2}$$

Krok 2 — obliczamy kąty:

$$=2\sin45^\circ\cos30^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{2}$$

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6}{2}\approx1{,}22$.

1. $\sin2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=\frac45$, $\cos2\alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=-\frac35$.
2. Kontrola: w III ćwiartce $\sin\alpha=-\frac2{\sqrt5}$, $\cos\alpha=-\frac1{\sqrt5}$, więc $\sin2\alpha=2\cdot\frac2{5}=\frac45$ ✓.

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\tfrac45$, $\cos2\alpha=-\tfrac35$

Wzór na różnicę sinusów:

$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Podstawiamy:

$$\sin40^\circ-\sin20^\circ=2\cos30^\circ\sin10^\circ$$

Uwaga na kolejność: w różnicy sinusów cosinus jest z półsumy, a sinus z półróżnicy — odwrotnie niż w sumie.

Odpowiedź: $2\cos30^\circ\sin10^\circ$.

1. $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$.
2. $=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x=2\sin x(1-\sin^2x)+\sin x-2\sin^3x$.
3. $=3\sin x-4\sin^3x$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Dodajemy pełny obrót:

$$-30^\circ+360^\circ=330^\circ$$

Interpretacja: obrót o $30^\circ$ w przeciwną stronę kończy się w tym samym miejscu co obrót o $330^\circ$ zgodnie z ruchem.

Odpowiedź: D. $330^\circ$.

1. $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2=2\cos60^\circ\sin45^\circ=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt2}{2}$

Krok 1 — suma cosinusów:

$$\cos75^\circ+\cos15^\circ=2\cos45^\circ\cos30^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{2}$$

Ciekawostka: $\cos75^\circ+\cos15^\circ$ i $\sin75^\circ+\sin15^\circ$ dają tę samą wartość $\frac{\sqrt6}{2}$.

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6}{2}$.

1. $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos2\alpha\cdot1$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

$$720^\circ=2\cdot360^\circ$$

To dwa pełne obroty — koniec w położeniu wyjściowym ($0^\circ$).

Odpowiedź: A. dwóm pełnym obrotom.

1. $\cos\alpha=\frac45$, $\sin\beta=\frac{12}{13}$ (kąty ostre).
2. $\sin(\alpha+\beta)=\frac35\cdot\frac5{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$.
3. $\cos(\alpha-\beta)=\frac45\cdot\frac5{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}$.

Odpowiedź: $\sin(\alpha+\beta)=\tfrac{63}{65}$, $\cos(\alpha-\beta)=\tfrac{56}{65}$

Krok 1 — zamieniamy sumy na iloczyny:

$$\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}$$

Krok 2 — skracamy wspólne czynniki ($2$ i $\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$):

$$\frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}=\operatorname{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}$$

Elegancki wynik. Zamiana sum na iloczyny pozwoliła skrócić ułamek do jednego tangensa.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Wzór na różnicę cosinusów:

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Podstawiamy:

$$\cos20^\circ-\cos80^\circ=-2\sin50^\circ\sin(-30^\circ)$$

Upraszczamy ($\sin(-30^\circ)=-\sin30^\circ$):

$$=-2\sin50^\circ\cdot(-\tfrac12)=\sin50^\circ$$

Odpowiedź: $\sin50^\circ$.

Dla małych kątów sinus jest bliski zeru:

$$\sin1^\circ\approx0{,}0175$$

Przybliżenie dla małych kątów: $\sin x\approx x$ (w radianach) — dla bardzo małych argumentów.

Odpowiedź: B. bliska $0$.

Krok 1 — suma sinusów:

$$\sin3x+\sin x=2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}=2\sin2x\cos x$$

Krok 2 — równanie:

$$2\sin2x\cos x=0$$

Krok 3 — iloczyn zerowy:

$$\sin2x=0 \quad\text{lub}\quad \cos x=0$$

$$2x=k\pi \ \Rightarrow\ x=\frac{k\pi}{2},\qquad x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

Wniosek: rozwiązania $\cos x=0$ zawierają się już w $x=\frac{k\pi}{2}$, więc pełny zbiór to $x=\frac{k\pi}{2}$.

Odpowiedź: $x=\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.

$$390^\circ-360^\circ=30^\circ$$

Kąty różniące się o pełny obrót mają to samo ramię końcowe, więc te same wartości funkcji trygonometrycznych.

Odpowiedź: C. $30^\circ$.

Krok 1 — lewa strona przez wzór na sumę sinusów:

$$\sin50^\circ+\sin10^\circ=2\sin\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-10^\circ}{2}$$

Krok 2 — obliczamy kąty:

$$=2\sin30^\circ\cos20^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy $\sin30^\circ=\frac12$:

$$=2\cdot\frac12\cdot\cos20^\circ=\cos20^\circ \qquad ∎$$

Klucz do dowodu. Pojawienie się $\sin30^\circ=\frac12$ skróciło mnożnik $2$ — dlatego dobór kątów o półsumie $30^\circ$ dawał ładny wynik.

Sprawdzenie numeryczne: $0{,}766+0{,}174\approx0{,}940$, a $\cos20^\circ\approx0{,}940$ ✔

Krok 1 — różnica cosinusów:

$$\cos5x-\cos x=-2\sin\frac{5x+x}{2}\sin\frac{5x-x}{2}=-2\sin3x\sin2x$$

Krok 2 — równanie:

$$-2\sin3x\sin2x=0$$

Krok 3 — iloczyn zerowy:

$$\sin3x=0 \quad\text{lub}\quad \sin2x=0$$

Krok 4 — rozwiązania:

$$3x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{3},\qquad 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}$$

Odpowiedź: $x=\frac{k\pi}{3}$ lub $x=\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Krok 1 — licznik przez różnicę sinusów:

$$\sin3x-\sin x=2\cos2x\sin x$$

Krok 2 — mianownik przez sumę cosinusów:

$$\cos3x+\cos x=2\cos2x\cos x$$

Krok 3 — dzielimy i skracamy ($2\cos2x$):

$$\frac{2\cos2x\sin x}{2\cos2x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg}x$$

Metoda. Zamiana sum i różnic na iloczyny to standardowy sposób na upraszczanie takich ułamków — wspólne czynniki się skracają.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}x$.

Krok 1 — pomysł. Oznaczmy $p=\frac{\alpha+\beta}{2}$ i $q=\frac{\alpha-\beta}{2}$. Wtedy $\alpha=p+q$ oraz $\beta=p-q$.

Krok 2 — rozpisujemy oba sinusy wzorami na sumę i różnicę:

$$\sin\alpha=\sin(p+q)=\sin p\cos q+\cos p\sin q$$

$$\sin\beta=\sin(p-q)=\sin p\cos q-\cos p\sin q$$

Krok 3 — dodajemy stronami. Składniki $\cos p\sin q$ się znoszą:

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin p\cos q$$

Krok 4 — wracamy do $\alpha$, $\beta$:

$$=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \qquad ∎$$

Uwaga. Analogicznie, odejmując te równania, otrzymamy wzór na różnicę sinusów — wszystkie cztery wzory pochodzą z tego samego podstawienia.

Sprawdzenie dla $\alpha=\beta$: lewa strona $2\sin\alpha$, prawa $2\sin\alpha\cos0=2\sin\alpha$ ✔

1. Krok 1. Przekształcenie lewej strony (różnica sinusów). $$\sin 4x-\sin 2x=2\cos 3x\,\sin x.$$
2. Krok 2. Przekształcenie prawej strony.

   Ze wzoru $\cos 3x=\cos x\,(4\cos^{2}x-3)$ mamy, dla $\cos x\neq 0$, $\;4\cos^{2}x-3=\dfrac{\cos 3x}{\cos x}$.

3. Krok 3. Równanie iloczynowe.

   Mnożąc równanie przez $\cos x$ (i sprawdzając osobno, że $\cos x=0$ nie daje rozwiązań):

   $$2\cos 3x\,\sin x\cos x=\cos 3x\ \Rightarrow\ \cos 3x\,(\underbrace{2\sin x\cos x}_{\sin 2x}-1)=0\ \Rightarrow\ \cos 3x\,(\sin 2x-1)=0.$$
4. Krok 4. Rozwiązania.

   $\cos 3x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{3}$. W $\langle 0,2\pi\rangle$ (odrzucając $\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}$, dla których $\cos x=0$): $\ x\in\left\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{7\pi}{6},\tfrac{11\pi}{6}\right\}$.

   $\sin 2x=1\Rightarrow 2x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi$: $\ x\in\left\{\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\right\}$.

5. Odpowiedź. $x\in\left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{11\pi}{6}\right\}.$

1. Krok 1. Zamiana iloczynu na sumę.

   Korzystamy ze wzoru $2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$:

   $$4\sin(4x)\cos(6x)=2\big[\sin(10x)+\sin(-2x)\big]=2\sin(10x)-2\sin(2x).$$
2. Krok 2. Uproszczenie równania. $$2\sin(10x)-2\sin(2x)=2\sin(10x)+1\ \Rightarrow\ -2\sin(2x)=1\ \Rightarrow\ \sin(2x)=-\tfrac{1}{2}.$$
3. Krok 3. Rozwiązanie równania $\sin(2x)=-\tfrac12$. $$2x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\lor\quad 2x=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$
4. Krok 4. Odpowiedź. $$x=-\frac{\pi}{12}+k\pi\quad\lor\quad x=\frac{7\pi}{12}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$