Równania trygonometryczne (1)

To wartość z tablicy kątów szczególnych, którą warto pamiętać:

$$\sin 30^\circ=\frac12$$

Pełny zestaw dla $30^\circ$: $\sin 30^\circ=\frac12$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$.

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Sinus zeruje się w punktach, gdzie wykres przecina oś:

$$x=0,\quad x=\pi \quad (\text{w } \langle0,\ 2\pi))$$

Ogólnie: $\sin x=0$ dla $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Odpowiedź: B. $x=0$ i $x=\pi$.

Zamiany dokonujemy przez mnożenie przez $\frac{\pi}{180^\circ}$:

$$60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{60\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$$

Warto zapamiętać podstawowe zamiany: $180^\circ=\pi$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $30^\circ=\frac{\pi}{6}$.

Odpowiedź: $\frac{\pi}{3}$.

Cosinus osiąga wartość $1$ tylko na początku okresu:

$$x=0$$

Dlaczego tylko jeden punkt: $\cos x=1$ zachodzi dla $x=2k\pi$, a w przedziale $\langle0,\ 2\pi)$ mieści się jedynie $x=0$.

Odpowiedź: $x=0$.

W drugą stronę mnożymy przez $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3\cdot180^\circ}{4}=\frac{540^\circ}{4}=135^\circ$$

Symbol $\pi$ się skraca, więc zostaje sam rachunek na liczbach.

Odpowiedź: $135^\circ$.

Sinus osiąga maksimum $1$ w:

$$x=\frac{\pi}{2}$$

Interpretacja: to najwyższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{2}$.

Na okręgu jednostkowym cosinus to współrzędna pozioma punktu. Dla kąta $90^\circ$ punkt leży na samej górze osi OY, więc jego współrzędna pozioma to zero:

$$\cos 90^\circ=0$$

Dla porównania: $\sin 90^\circ=1$ (współrzędna pionowa jest maksymalna).

Odpowiedź: A. $0$.

Cosinus przyjmuje wartości tylko z przedziału $\langle-1,\ 1\rangle$:

$$-1\le\cos x\le1$$

Ponieważ $2>1$, równanie nie ma rozwiązań.

Zawsze sprawdzaj zakres: zanim rozwiążesz równanie trygonometryczne, upewnij się, że wartość mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Korzystamy z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Rozpoznanie: to klasyczny trójkąt $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac45$.

Tangens jest zerem tam, gdzie sinus jest zerem (a cosinus różny od zera):

$$x=0,\quad x=\pi$$

Ogólnie: $\operatorname{tg}x=0$ dla $x=k\pi$.

Odpowiedź: $x=0$ oraz $x=\pi$.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Dzielenie ułamków: mnożymy przez odwrotność mianownika, a piątki się skracają.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

Wartość $\frac12$ sinus osiąga dwukrotnie w jednym okresie — raz w pierwszej, raz w drugiej ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{5\pi}{6}$$

Zasada: dla wartości z wnętrza $(-1,\ 1)$ sinus daje zwykle dwa rozwiązania na okres.

Odpowiedź: A. $2$.

Znak funkcji zależy od położenia punktu na okręgu jednostkowym:

• $\sin\alpha>0$ — punkt nad osią OX (ćwiartki I i II)
• $\cos\alpha<0$ — punkt na lewo od osi OY (ćwiartki II i III)

Oba warunki spełnia jednocześnie tylko ćwiartka II.

Pomocna reguła (kolejność znaków sinusa/cosinusa/tangensa po ćwiartkach): „wszystkie dodatnie” w I, „sinus” w II, „tangens” w III, „cosinus” w IV.

Odpowiedź: C. druga.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość $\frac{\sqrt3}{2}$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$ (czyli $60^\circ$).

Krok 2 — druga ćwiartka. Sinus jest dodatni także w drugiej ćwiartce, gdzie kąt to $\pi-\frac{\pi}{3}$:

$$x=\frac{\pi}{3} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{2\pi}{3}$$

Kontrola: $\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{3}$ lub $x=\frac{2\pi}{3}$.

Krok 1 — zapisujemy kąt jako $180^\circ$ minus kąt ostry:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny. Sinus dla kąta w drugiej ćwiartce jest dodatni i zachodzi $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$:

$$\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac12$$

Kontrola znaku: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość bezwzględna $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$.

Krok 2 — ćwiartki. Cosinus jest ujemny w drugiej i trzeciej ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

Kontrola: $\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{2\pi}{3}$ lub $x=\frac{4\pi}{3}$.

Funkcja sinus powtarza swoje wartości co pełny obrót:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Najmniejszą taką dodatnią liczbą jest $2\pi$, więc okres podstawowy to $2\pi$.

Uwaga na jednostki: w miary łukowej okres to $2\pi$, a nie $360$ — odpowiedź C myli radiany ze stopniami.

Dla porównania: tangens ma okres $\pi$.

Odpowiedź: D. $2\pi$.

Sinus zeruje się co pół okresu, w każdej wielokrotności $\pi$:

$$x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

Uwaga: odpowiedź B ($2k\pi$) obejmuje tylko $0,\ 2\pi,\ 4\pi,\dots$ — pomija $\pi,\ 3\pi,\dots$, gdzie sinus też jest zerem.

Odpowiedź: D. $x=k\pi$.

To bezpośrednie zastosowanie jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Tożsamość ta zachodzi dla dowolnego kąta, więc:

$$\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ=1$$

Kluczowa obserwacja: nie trzeba znać wartości $\sin 40^\circ$ ani $\cos 40^\circ$ — wynik jest $1$ niezależnie od kąta.

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — izolujemy sinus:

$$2\sin x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac12$$

Krok 2 — rozwiązania. Wartość $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{6}$, a sinus jest dodatni w I i II ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}$$

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{5\pi}{6}$.

Dla kąta $45^\circ$ sinus i cosinus są równe:

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Zatem ich iloraz wynosi:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=1$$

Interpretacja: w trójkącie prostokątnym równoramiennym obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$.

Odpowiedź: B. $1$.

Sinus osiąga minimum $-1$ w:

$$x=\frac{3\pi}{2}$$

Interpretacja: to najniższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: B. $x=\frac{3\pi}{2}$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wiemy, że $\sin 30^\circ=\frac12$.

Krok 2 — szukamy wszystkich rozwiązań w zadanym przedziale. Sinus jest dodatni w ćwiartkach I i II, więc drugie rozwiązanie to:

$$180^\circ-30^\circ=150^\circ$$

Krok 3 — zestawiamy:

$$x=30^\circ \quad \text{lub} \quad x=150^\circ$$

Częsty błąd: podanie tylko $30^\circ$. Równanie z sinusem ma zwykle dwa rozwiązania na pełnym okręgu.

Odpowiedź: $x=30^\circ$ lub $x=150^\circ$.

Krok 1 — pierwiastkujemy obie strony. Uwaga na oba znaki:

$$\cos x=\frac12 \quad\text{lub}\quad \cos x=-\frac12$$

Krok 2 — dla $\cos x=\frac12$:

$$x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\frac{5\pi}{3}$$

Krok 3 — dla $\cos x=-\frac12$:

$$x=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\frac{4\pi}{3}$$

Częsty błąd: pominięcie ujemnego pierwiastka. Z $\cos^2 x=\frac14$ wynikają cztery rozwiązania, nie dwa.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}$.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$

Krok 2 — wyciągamy pierwiastek, dobierając znak.

$$\sin\alpha=\pm\frac{5}{13}$$

Krok 3 — ustalamy znak. W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, więc:

$$\sin\alpha=\frac{5}{13}$$

Kluczowa uwaga: jedynka daje wartość bezwzględną — znak rozstrzyga informacja o ćwiartce. Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.

Krok 1 — iloczyn jest zerem, gdy zeruje się czynnik:

$$\sin x=0 \quad\text{lub}\quad \cos x=0$$

Krok 2 — dla $\sin x=0$:

$$x=0,\qquad x=\pi$$

Krok 3 — dla $\cos x=0$:

$$x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2}$$

Uwaga: zamiast mnożyć przez... lepiej rozłożyć na czynniki. Można też zauważyć, że $\sin x\cos x=\frac12\sin2x=0$, co daje ten sam zbiór.

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Na okręgu jednostkowym kąt $180^\circ$ wskazuje punkt $(-1,\,0)$ — skrajnie po lewej stronie osi OX.

Cosinus to współrzędna pozioma tego punktu:

$$\cos 180^\circ=-1$$

Dla porządku: $\sin 180^\circ=0$ (współrzędna pionowa).

Odpowiedź: A. $-1$.

Tangens ma okres $\pi$, więc $\operatorname{tg}x=1$ powtarza się co $\pi$:

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}$$

Uwaga na okres. Tangens ma okres $\pi$ (nie $2\pi$ jak sinus i cosinus), dlatego oba rozwiązania różnią się o $\pi$.

Odpowiedź: A. $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{5\pi}{4}$.

Krok 1 — rozpoznajemy tangens:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha$$

Krok 2 — mnożymy, cosinus się skraca:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, bo dzielimy przez cosinus.

Odpowiedź: $\sin\alpha$.

Krok 1 — izolujemy cosinus:

$$2\cos x=-\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Krok 2 — kąt podstawowy $\frac{\pi}{6}$, cosinus ujemny w II i III ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$

Kontrola: $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{5\pi}{6}$ lub $x=\frac{7\pi}{6}$.

Sposób 1 — podstawiamy wartości z tablicy:

$$\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\frac12=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$$

Sposób 2 — wzór na sinus sumy kątów:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)$$

$$=\sin(60^\circ+30^\circ)=\sin 90^\circ=1$$

Drugi sposób jest szybszy — warto rozpoznawać wzory na funkcje sumy kątów.

Odpowiedź: $1$.

Cosinus osiąga $1$ raz na okres $2\pi$. W przedziale o długości $4\pi$ mieszczą się dwa okresy:

$$x=0 \quad\text{oraz}\quad x=2\pi$$

Uwaga na przedział: $4\pi$ jest wyłączone (nawias otwarty), więc go nie liczymy.

Odpowiedź: C. $2$.

Sinus jako współrzędna punktu na okręgu jednostkowym przyjmuje wszystkie wartości od $-1$ do $1$ włącznie:

$$-1\le\sin x\le 1$$

Skrajne wartości są osiągane: $\sin 90^\circ=1$ i $\sin 270^\circ=-1$, dlatego przedział jest domknięty (to odróżnia odpowiedź C od D).

Odpowiedź: C. $\langle -1,\,1\rangle$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=\sin x$, gdzie $t\in\langle-1,\ 1\rangle$:

$$2t^2+t-1=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=1+8=9,\qquad t=\frac{-1\pm3}{4}$$

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-1$$

Krok 3 — wracamy do $x$ dla $\sin x=\frac12$:

$$x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}$$

Krok 4 — dla $\sin x=-1$:

$$x=\frac{3\pi}{2}$$

Uwaga. Oba pierwiastki $t$ mieszczą się w $\langle-1,\ 1\rangle$, więc żadnego nie odrzucamy. Gdyby któryś wypadł poza ten zakres, nie dałby rozwiązań.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Krok 1 — wyznaczamy cosinus:

$$2\cos x=1 \quad\Rightarrow\quad \cos x=\frac12$$

Krok 2 — kąt podstawowy. Wiemy, że $\cos 60^\circ=\frac12$.

Krok 3 — wszystkie rozwiązania. Cosinus jest dodatni w ćwiartkach I i IV, więc drugie rozwiązanie to:

$$360^\circ-60^\circ=300^\circ$$

Krok 4 — zestawiamy:

$$x=60^\circ \quad \text{lub} \quad x=300^\circ$$

Uwaga: dla cosinusa drugie rozwiązanie leży w ćwiartce IV ($360^\circ-\alpha$), inaczej niż dla sinusa ($180^\circ-\alpha$).

Odpowiedź: $x=60^\circ$ lub $x=300^\circ$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ 2\pi)$, to $u\in\langle0,\ 4\pi)$.

Krok 2 — rozwiązujemy $\cos u=\frac12$. Kąt podstawowy $\frac{\pi}{3}$, cosinus dodatni w I i IV ćwiartce, i powtarzamy co $2\pi$:

$$u=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{11\pi}{3}$$

Krok 3 — wracamy do $x=\frac{u}{2}$:

$$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$

Klucz do zadania. Skoro argumentem jest $2x$, trzeba rozpatrzyć przedział dwukrotnie dłuższy — stąd cztery rozwiązania, a nie dwa.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}$.

Sposób z trójkątem prostokątnym. Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przy kącie. Skoro $\tg\alpha=\frac21$, przyjmijmy bok naprzeciw $=2$, bok przy kącie $=1$.

Krok 1 — przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$$

Krok 2 — odczytujemy funkcje:

$$\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$$

Sprawdzenie jedynką: $\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}$.

Krok 1 — dzielimy przez $\cos x$. Najpierw sprawdzamy, czy $\cos x=0$ może dać rozwiązanie: wtedy $\sin x=0$, ale sinus i cosinus nie zerują się jednocześnie, więc bezpiecznie dzielimy:

$$\frac{\sin x}{\cos x}=1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}x=1$$

Krok 2 — rozwiązania $\operatorname{tg}x=1$ (okres $\pi$):

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{5\pi}{4}$$

Kontrola. W $\frac{\pi}{4}$: $\sin=\cos=\frac{\sqrt2}{2}$ ✔ W $\frac{5\pi}{4}$: oba równe $-\frac{\sqrt2}{2}$ ✔

Interpretacja geometryczna. Sinus równa się cosinusowi tam, gdzie wykresy się przecinają — na przekątnych, pod kątem $45^\circ$ do osi.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{4}$ lub $x=\frac{5\pi}{4}$.

Krok 1 — przekształcamy licznik. Z jedynki trygonometrycznej wynika:

$$1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy do wyrażenia:

$$\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}$$

Krok 3 — skracamy (możemy, bo $\sin\alpha\neq0$):

$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha$$

Otrzymaliśmy prawą stronę, co kończy dowód.

Uwaga: założenie $\sin\alpha\neq0$ jest konieczne — bez niego nie wolno byłoby ani dzielić, ani skracać.

Odpowiedź: wyrażenie upraszcza się do $\sin\alpha$, co należało wykazać.

Sposób 1 — szacowanie grube. Sinus i cosinus nie przekraczają $1$, więc ich suma nie przekracza $2$:

$$\sin x+\cos x\le1+1=2<3$$

Lewa strona nigdy nie osiąga $3$, więc równanie jest sprzeczne. $\qquad ∎$

Sposób 2 — dokładne oszacowanie. Korzystając z tożsamości:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Ponieważ sinus mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$, cała suma należy do $\langle-\sqrt2,\ \sqrt2\rangle$. Skoro $\sqrt2\approx1{,}41<3$, wartość $3$ jest nieosiągalna.

Wniosek dodatkowy. Drugi sposób daje więcej: pokazuje, że największa możliwa wartość wyrażenia to $\sqrt2$, a nie $2$ — pierwsze oszacowanie było poprawne, ale zawyżone.

Rozwiązanie

1. $3\cos^2x-3\sin^2x=3\cos2x$, więc równanie to $3\cos2x+\sqrt3\sin2x=0$.
2. Dzieląc przez $\cos2x$: $3+\sqrt3\,\mathrm{tg}\,2x=0\Rightarrow\mathrm{tg}\,2x=-\sqrt3\Rightarrow 2x=-\tfrac{\pi}{3}+k\pi$.
3. $x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{2}$. W przedziale $[-\pi,\pi]$: $x\in\left\{-\tfrac{2\pi}{3},-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{6}\right\}$.

Odpowiedź: $x\in\left\{-\tfrac{2\pi}{3},\,-\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{5\pi}{6}\right\}$.

1. Krok 1. Zamiana iloczynu na sumę.

   Korzystamy ze wzoru $2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)$:

   $$4\sin(4x)\cos(6x)=2\big[\sin(10x)+\sin(-2x)\big]=2\sin(10x)-2\sin(2x).$$
2. Krok 2. Uproszczenie równania. $$2\sin(10x)-2\sin(2x)=2\sin(10x)+1\ \Rightarrow\ -2\sin(2x)=1\ \Rightarrow\ \sin(2x)=-\tfrac{1}{2}.$$
3. Krok 3. Rozwiązanie równania $\sin(2x)=-\tfrac12$. $$2x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\lor\quad 2x=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.$$
4. Krok 4. Odpowiedź. $$x=-\frac{\pi}{12}+k\pi\quad\lor\quad x=\frac{7\pi}{12}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$$