Pole trójkąta w układzie współrzędnych

W postaci kierunkowej $y=ax+b$ współczynnik kierunkowy to liczba przy $x$:

$$a=3$$

Liczba $-2$ to wyraz wolny $b$ (miejsce przecięcia z osią OY).

Odpowiedź: B. $3$.

Krok 1 — zapisujemy postać kierunkową z $a=2$:

$$y=2x+b$$

Krok 2 — podstawiamy punkt $P$:

$$5=2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=3$$

$$y=2x+3$$

Sprawdzenie: $2\cdot1+3=5$ ✔

Odpowiedź: $y=2x+3$.

1. $d=\frac{|9-16+12|}{\sqrt{9+16}}=\frac55=1$.

Odpowiedź: $1$

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Podstawiamy $A=3$, $B=4$, $C=-19$, $P=(1,\,1)$:

$$d=\frac{|3\cdot1+4\cdot1-19|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-12|}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4$$

Uwaga: prosta musi być w postaci ogólnej (z zerem po prawej) — inaczej wzór da zły wynik.

Odpowiedź: $d=2{,}4$.

1. $\vec{AB}=[4,1]$, $\vec{AC}=[1,3]$: $P=\frac12|4\cdot3-1\cdot1|=\frac{11}2$.

Odpowiedź: $\tfrac{11}{2}$

Warunek prostopadłości: $a_1\cdot a_2=-1$. Dla $a_1=2$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Reguła: współczynnik prostej prostopadłej to odwrotność ze zmienionym znakiem.

Odpowiedź: A. $-\frac12$.

1. $k:\ y=2x+3$, więc $l:\ y=-\frac12x+b$; $1=-2+b \Rightarrow b=3$.
2. $2x+3=-\frac12x+3 \Rightarrow x=0$, punkt $(0,3)$.
3. $d=\frac{|8-1+3|}{\sqrt5}=\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5$ (= odległość $P$ od $(0,3)$ ✓).

Odpowiedź: $l:\ y=-\tfrac12x+3$; $(0,3)$; $d=2\sqrt5$

Metoda podstawy i wysokości. Bok $AB$ jest poziomy, więc łatwo go zmierzyć:

$$a=|AB|=5-1=4$$

Wysokość to pionowa odległość $C$ od prostej $y=1$:

$$h=6-1=5$$

Pole:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{4\cdot5}{2}=10$$

Odpowiedź: $P=10$.

1. Prosta przez $P$ prostopadła do $y=x+1$: $y=-x+5$.
2. Przecięcie: $x+1=-x+5 \Rightarrow x=2$, $S=(2,3)$ — środek $PP^\prime$.
3. $P^\prime=2S-P=(4-5,\ 6-0)=(-1,6)$.

Odpowiedź: $P^\prime=(-1,6)$

Równanie okręgu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ ma środek $S=(a,\,b)$.

Uwaga na znaki: $(x-3)$ daje $a=3$; $(y+1)=(y-(-1))$ daje $b=-1$.

Promień: $r^2=16$, więc $r=4$.

Odpowiedź: C. $S=(3,\,-1)$, $r=4$.

1. $M=(6,2)$, $AM:\ y=\frac13x$. $BD:\ y=-\frac23x+4$.
2. $\frac13x=-\frac23x+4 \Rightarrow x=4$, $y=\frac43$.
3. Pole $ABP=\frac12\cdot6\cdot\frac43=4$.

Odpowiedź: $P=\left(4,\tfrac43\right)$, pole $4$

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{7-1}{4-2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $A$:

$$1=3\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=-5$$

$$y=3x-5$$

Sprawdzenie dla $B$: $3\cdot4-5=7$ ✔

Odpowiedź: $y=3x-5$.

1. Prosta $AB$: $x+3y-1=0$.
2. $h_C=\frac{|2+15-1|}{\sqrt{10}}=\frac{16}{\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}5$.
3. $|AB|=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$, $P=\frac12\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{16}{\sqrt{10}}=16$ (kontrola: $\frac12|6\cdot4-(-2)\cdot4|=16$ ✓).

Odpowiedź: $h_C=\tfrac{8\sqrt{10}}{5}$, $P=16$

Podstawiamy do wzoru $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$:

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Uwaga: po prawej stronie stoi kwadrat promienia, czyli $25$, a nie $5$.

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-3)^2=25$.

1. $C$ leży na symetralnej $AB$: środek $(2,3)$, $a_{AB}=\frac13$, symetralna $y=-3x+9$.
2. $x-3=-3x+9 \Rightarrow x=3$, $C=(3,0)$.
3. Kontrola: $|AC|^2=16+4=20=|BC|^2=4+16$ ✓.
4. $\vec{AB}=[6,2]$, $\vec{AC}=[4,-2]$: $P=\frac12|6\cdot(-2)-2\cdot4|=10$.

Odpowiedź: $C=(3,0)$, $P=10$

Oba współczynniki kierunkowe są równe ($a=2$), więc proste są równoległe. Różne wyrazy wolne ($3$ i $-4$) oznaczają, że się nie pokrywają.

Odpowiedź: D. równoległe i różne.

1. $\vec{AB}=[3,4]$, $|AB|=5$. Wektor prostopadły: $[-4,3]$ (długość $5$).
2. $\vec{AC}=\pm2\cdot[-4,3]$: $C=(1-8,\ 2+6)=(-7,8)$ lub $C=(9,-4)$.
3. $P=\frac12\cdot5\cdot10=25$.

Odpowiedź: $C=(-7,8)$ lub $C=(9,-4)$; $P=25$

Przecięcie z osią OY: tam $x=0$, więc $y=0+1=1$ — punkt $(0,\,1)$.

Przecięcie z osią OX: tam $y=0$, więc:

$$0=x+1 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

punkt $(-1,\,0)$.

Zapamiętaj: na osi OY zeruje się $x$, na osi OX zeruje się $y$.

Odpowiedź: z OY w $(0,\,1)$, z OX w $(-1,\,0)$.

1. $\operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{2-(-3)}{1+2\cdot(-3)}\right|=\left|\frac{5}{-5}\right|=1 \Rightarrow \varphi=45^\circ$.

Odpowiedź: $45^\circ$

Podstawiamy współrzędne do lewej strony równania:

$$1^2+2^2=1+4=5$$

Wynik równy prawej stronie, więc punkt leży na okręgu.

Reguła: wynik mniejszy niż $r^2$ oznaczałby wnętrze, większy — zewnętrze.

Odpowiedź: B. tak.

1. $S=\left(\frac{0+8+2}3,\frac{0+0+6}3\right)=\left(\frac{10}3,2\right)$.
2. $O$: symetralna $AB$ to $x=4$; symetralna $AC$: przez $(1,3)$, prostopadła do $[2,6]$: $y-3=-\frac13(x-1)$. Dla $x=4$: $y=2$. $O=(4,2)$.
3. $H$: wysokość z $C$ to $x=2$; wysokość z $A$ prostopadła do $BC$ ($a_{BC}=-1$): $y=x$. $H=(2,2)$.
4. Wszystkie trzy punkty mają $y=2$ — leżą na prostej $y=2$. $\blacksquare$

Odpowiedź: $S=\left(\tfrac{10}3,2\right)$, $O=(4,2)$, $H=(2,2)$ — prosta $y=2$

Krok 1 — współczynnik prostej prostopadłej. Dla $a_1=\frac12$:

$$\frac12\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $P=(0,\,4)$ leży na osi OY, więc $b=4$.

$$y=-2x+4$$

Odpowiedź: $y=-2x+4$.

Ze wzoru na odległość punktu od prostej, dla $A=1$, $B=1$, $C=-6$, $P=(0,\,0)$:

$$d=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$$

Przybliżenie: $3\sqrt2\approx4{,}24$.

Odpowiedź: $d=3\sqrt2\approx4{,}24$.

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców:

$$S=\left(\frac{-2+6}{2},\ \frac{4+(-2)}{2}\right)=(2,\,1)$$

Odpowiedź: A. $(2,\,1)$.

Krok 1 — długości boków. Trójkąt jest prostokątny (przyprostokątne leżą na osiach):

$$|AB|=6,\qquad |AC|=8,\qquad |BC|=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24$$

Krok 3 — obwód:

$$O=6+8+10=24$$

Krok 4 — promień okręgu wpisanego ze wzoru $r=\frac{P}{p}$, gdzie $p=\frac{O}{2}=12$:

$$r=\frac{24}{12}=2$$

Odpowiedź: $P=24$, $O=24$, $r=2$.

Na osi OX zeruje się $y$:

$$0=-x+5 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Punkt przecięcia to $(5,\,0)$.

Uwaga: odpowiedź A ($0,\,5$) to punkt przecięcia z osią OY, nie OX.

Odpowiedź: C. $(5,\,0)$.

Prosta jest styczna, gdy jej odległość od środka okręgu równa się promieniowi.

Krok 1 — środek i promień. Okrąg ma środek $S=(0,\,0)$ i $r=\sqrt2$.

Krok 2 — prosta w postaci ogólnej: $x-y+1=0$, czyli $A=1$, $B=-1$, $C=1$.

Krok 3 — odległość środka od prostej:

$$d=\frac{|1\cdot0-1\cdot0+1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Krok 4 — porównanie. $d=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71$, a $r=\sqrt2\approx1{,}41$. Ponieważ $dnie jest styczna — jest sieczną (przecina okrąg w dwóch punktach).

Odpowiedź: nie, prosta jest sieczną, bo $d

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{2+6}{2},\ \frac{1+5}{2}\right)=(4,\,3)$$

Krok 2 — współczynnik odcinka $AB$:

$$a_{AB}=\frac{5-1}{6-2}=1$$

Krok 3 — współczynnik symetralnej (prostopadła do $AB$):

$$a=-1$$

Krok 4 — wyraz wolny z warunku, że symetralna przechodzi przez środek $S$:

$$3=-1\cdot4+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

$$y=-x+7$$

Odpowiedź: $y=-x+7$.

Wzór na pole trójkąta o dowolnych wierzchołkach:

$$P=\frac12\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|$$

Krok 1 — wektory od $A$:

$$\vec{AB}=[3,\,1],\qquad \vec{AC}=[1,\,4]$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$P=\frac12\left|3\cdot4-1\cdot1\right|=\frac12\left|12-1\right|=\frac{11}{2}=5{,}5$$

Odpowiedź: $P=5{,}5$.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu $A$:

$$r=|SA|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — równanie okręgu:

$$(x-1)^2+(y-2)^2=25$$

Krok 3 — sprawdzamy punkt $B=(-2,\,2)$:

$$(-2-1)^2+(2-2)^2=9+0=9$$

Wynik $9\neq25$, więc punkt $B$ nie leży na okręgu (leży wewnątrz, bo $9<25$).

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y-2)^2=25$; punkt $B$ nie leży na okręgu.

1. Krok 1. Układ współrzędnych.

   $A=(0,0)$, $B=(a,0)$, $C=(a,a)$, $D=(0,a)$. Środki: $K=\left(\tfrac{a}{2},0\right)$, $L=\left(a,\tfrac{a}{2}\right)$.

2. Krok 2. Punkt $M$ z warunku $DK\perp KM$.

   $\vec{KD}=\left(-\tfrac{a}{2},a\right)$. Niech $M=(a,m)$, wtedy $\vec{KM}=\left(\tfrac{a}{2},m\right)$. Z $\vec{KD}\cdot\vec{KM}=0$: $-\tfrac{a^{2}}{4}+am=0\Rightarrow m=\tfrac{a}{4}$, więc $M=\left(a,\tfrac{a}{4}\right)$.

3. Krok 3. Proste i punkty $P$, $Q$.

   $AL:\ y=\tfrac12 x$; $\ DK:\ y=a-2x$; $\ DM:\ y=a-\tfrac34 x$.

   $$P=AL\cap DK:\ \tfrac12 x=a-2x\Rightarrow x=\tfrac{2a}{5}\Rightarrow P=\left(\tfrac{2a}{5},\tfrac{a}{5}\right).$$ $$Q=AL\cap DM:\ \tfrac12 x=a-\tfrac34 x\Rightarrow x=\tfrac{4a}{5}\Rightarrow Q=\left(\tfrac{4a}{5},\tfrac{2a}{5}\right).$$
4. Krok 4. Długość $|PQ|$. $$|PQ|=\sqrt{\left(\tfrac{2a}{5}\right)^{2}+\left(\tfrac{a}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{4a^{2}}{25}+\tfrac{a^{2}}{25}}=\sqrt{\tfrac{5a^{2}}{25}}=\frac{a}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\,a.\ \blacksquare$$

1. Krok 1. Układ współrzędnych.

   Przyjmijmy $A=(0,0)$, $B=(a,0)$, $C=(a,a)$, $D=(0,a)$. Wtedy $E$ (środek $CD$) $=\left(\tfrac{a}{2},a\right)$.

   Proste: $AC:\ y=x$; $\ AE:\ y=2x$; $\ BD:\ x+y=a$.

2. Krok 2. Punkty przecięcia $F$ i $G$. $$G=AC\cap BD:\ x+x=a\Rightarrow G=\left(\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right).$$ $$F=AE\cap BD:\ x+2x=a\Rightarrow F=\left(\tfrac{a}{3},\tfrac{2a}{3}\right).$$
3. Krok 3. Pole trójkąta $AGF$. $$P_{AGF}=\tfrac12\left|x_{G}y_{F}-x_{F}y_{G}\right|=\tfrac12\left|\tfrac{a}{2}\cdot\tfrac{2a}{3}-\tfrac{a}{3}\cdot\tfrac{a}{2}\right|=\tfrac12\left|\tfrac{a^{2}}{3}-\tfrac{a^{2}}{6}\right|=\frac{a^{2}}{12}.$$
4. Krok 4. Pole całego trójkąta $ACE$ i figury $CEFG$.

   Podstawa $CE=\tfrac{a}{2}$ (odcinek poziomy), wysokość z $A$ do prostej $y=a$ równa $a$:

   $$P_{ACE}=\tfrac12\cdot\tfrac{a}{2}\cdot a=\frac{a^{2}}{4}.$$ $$P_{CEFG}=P_{ACE}-P_{AGF}=\frac{a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{12}=\frac{a^{2}}{6}.$$
5. Odpowiedź. $P_{AGF}=\dfrac{a^{2}}{12}$, $\ P_{CEFG}=\dfrac{a^{2}}{6}$.

Bok: $|KL|=\sqrt{(-1+7)^{2}+(4+2)^{2}}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, więc $|KL|^{2}=72$.

Pole trójkąta równobocznego: $P=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{72\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}$.

Odpowiedź: D.