Ciąg geometryczny (2)

Iloraz to stosunek wyrazu następnego do poprzedniego:

$$q=\frac{6}{2}=3$$

Sprawdzenie: $\frac{18}{6}=3$ oraz $\frac{54}{18}=3$ ✔ Iloraz musi być ten sam dla każdej kolejnej pary.

Odpowiedź: C. $q=3$.

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Odpowiedź: B.

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny:

$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$$

$$a_5=5\cdot2^{4}=5\cdot16=80$$

Uwaga na wykładnik: to $n-1$, a nie $n$ — pierwszy wyraz nie jest jeszcze mnożony przez $q$.

Odpowiedź: $a_5=80$.

$$a_4=a_1\cdot q^3=2\cdot3^3=2\cdot27=54$$

Odpowiedź: $a_4=54$.

Wzór na sumę:

$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1}$$

$$S_7=1\cdot\frac{2^{7}-1}{2-1}=\frac{128-1}{1}=127$$

Sprawdzenie: $1+2+4+8+16+32+64=127$ ✔

Odpowiedź: $S_7=127$.

Iloraz to stosunek kolejnych wyrazów:

$$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3$$

Odpowiedź: $q=3$.

Własność środkowego wyrazu:

$$x^2=4\cdot25=100$$

$$x=10 \quad\text{lub}\quad x=-10$$

Dodatnia wartość to $10$.

Uwaga: $14{,}5$ to średnia arytmetyczna liczb $4$ i $25$ — byłaby poprawna dla ciągu arytmetycznego, nie geometrycznego.

Odpowiedź: B. $x=10$.

W ciągu geometrycznym $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q=\text{const}$.

Odpowiedź: A.

Wzór na procent składany:

$$K_n=K_0(1+p)^n$$

$$K_2=1000\cdot1{,}05^{2}=1000\cdot1{,}1025=1102{,}50\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $1102{,}50$ zł.

Każdy kolejny wyraz to poprzedni razy $q=2$:

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\dots$$

Odpowiedź: $6$, $12$, $24$.

Wypisujemy kolejne wyrazy:

$$8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \tfrac12,\ \dots$$

Rachunkowo:

$$8\cdot\left(\tfrac12\right)^{n-1}=1 \quad\Rightarrow\quad \left(\tfrac12\right)^{n-1}=\tfrac18 \quad\Rightarrow\quad n-1=3$$

$$n=4$$

Odpowiedź: A. czwarty.

W ciągu C iloraz jest stały: $6:2=3$, $18:6=3$, $54:18=3$.

(Ciągi A i B są arytmetyczne.)

Odpowiedź: C. $2,6,18,54$.

Krok 1 — relacja między wyrazami:

$$a_4=a_2\cdot q^{2}$$

Krok 2 — wyznaczamy $q$:

$$q^{2}=\frac{108}{12}=9 \quad\Rightarrow\quad q=3 \ \ (q>0)$$

Krok 3 — pierwszy wyraz:

$$a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{12}{3}=4$$

Sprawdzenie: ciąg to $4$, $12$, $36$, $108$ ✔

Odpowiedź: $a_1=4$, $q=3$.

$$a_3=a_1\cdot q^2=4\cdot\left(\tfrac12\right)^2=4\cdot\tfrac14=1$$

Odpowiedź: $a_3=1$.

Krok 1 — iloraz:

$$q=\frac{-6}{3}=-2$$

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S_6=3\cdot\frac{(-2)^{6}-1}{-2-1}=3\cdot\frac{64-1}{-3}=3\cdot(-21)=-63$$

Sprawdzenie: $3-6+12-24+48-96=-63$ ✔

Uwaga: potęga parzysta liczby ujemnej jest dodatnia — $(-2)^6=64$, a nie $-64$.

Odpowiedź: $S_6=-63$.

Własność ciągu geometrycznego: kwadrat środkowego wyrazu = iloczyn sąsiadów:

$$b^2=4\cdot9=36 \quad\Rightarrow\quad b=6$$

(bierzemy wartość dodatnią)

Odpowiedź: $b=6$.

Podstawiamy do wzoru na procent składany:

$$K_3=2000\cdot1{,}1^{3}=2000\cdot1{,}331=2662\ \text{zł}$$

Skąd różnica względem $2600$ zł. Procent prosty dałby $3\cdot200=600$ zł odsetek. Przy składanym odsetki same procentują, stąd dodatkowe $62$ zł.

Odpowiedź: D. $2662$ zł.

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}$$

Odpowiedź: D.

Krok 1 — iloraz i warunek zbieżności:

$$q=\frac12,\qquad |q|<1 \ \ ✔$$

Krok 2 — wzór na sumę szeregu:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\tfrac12}=\frac{8}{\tfrac12}=16$$

Interpretacja: mimo nieskończenie wielu składników suma jest skończona — kolejne wyrazy maleją dostatecznie szybko.

Odpowiedź: $S=16$.

Wzór na sumę:

$$S_5=1\cdot\frac{1-2^5}{1-2}=\frac{1-32}{-1}=\frac{-31}{-1}=31$$

Sprawdzenie: $1+2+4+8+16=31$ ✔

Odpowiedź: $S_5=31$.

Suma szeregu istnieje tylko wtedy, gdy kolejne wyrazy dążą do zera, czyli gdy:

$$|q|<1$$

Dlaczego nie $q=1$: wtedy wszystkie wyrazy są równe $a_1$ i suma rośnie bez ograniczeń (o ile $a_1\neq0$).

Odpowiedź: B. $|q|<1$.

Między $a_2$ a $a_4$ są dwa mnożenia przez $q$:

$$\frac{a_4}{a_2}=q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2=\frac{54}{6}=9 \quad\Rightarrow\quad q=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

Krok 1 — warunek:

$$1000\cdot1{,}2^{\,n}>2000 \quad\Rightarrow\quad 1{,}2^{\,n}>2$$

Krok 2 — sprawdzamy kolejne potęgi:

$$1{,}2^{3}=1{,}728,\qquad 1{,}2^{4}=2{,}0736$$

Krok 3 — wniosek: warunek spełniony po raz pierwszy dla $n=4$.

Sprawdzenie: $1000\cdot2{,}0736=2073{,}60$ zł $>2000$ zł ✔, a po trzech latach było $1728$ zł, czyli za mało.

Odpowiedź: po $4$ latach.

$$a_6=1\cdot10^{5}=100\,000$$

Odpowiedź: $a_6=100\,000$.

Krok 1 — zapisujemy wyrazy przez środkowy:

$$\frac{a_2}{q},\qquad a_2,\qquad a_2q$$

Krok 2 — iloczyn. Ilorazy się skracają:

$$\frac{a_2}{q}\cdot a_2\cdot a_2q=a_2^{\,3}$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$a_2^{\,3}=216 \quad\Rightarrow\quad a_2=6$$

Warto zapamiętać. Zapis wyrazów w postaci $\frac{a}{q},\ a,\ aq$ jest standardową sztuczką — pozbywa się $q$ z iloczynu.

Odpowiedź: $a_2=6$.

Własność: $x^2=2\cdot8=16$, więc $x=4$ (dodatni).

Sprawdzenie: $2,4,8$ — iloraz $2$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Iloraz to $q=\frac13$, więc:

$$S=\frac{1}{1-\tfrac13}=\frac{1}{\tfrac23}=\frac32=1{,}5$$

Odpowiedź: C. $1{,}5$.

$$q=\frac{1/4}{1/2}=\frac12$$

Odpowiedź: A. $\frac12$.

Krok 1 — mnożnik rocznego spadku:

$$1-0{,}15=0{,}85$$

Krok 2 — po trzech latach:

$$60\ 000\cdot0{,}85^{3}=60\ 000\cdot0{,}614125=36\ 847{,}50\ \text{zł}$$

Uwaga: to procent składany „w dół” — łączny spadek wynosi około $38{,}6\%$, a nie $45\%$.

Odpowiedź: około $36\ 847{,}50$ zł.

Krok 1 — iloraz. $a_3=a_1 q^2$:

$$27=3q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2=9 \quad\Rightarrow\quad q=3$$

Krok 2 — piąty wyraz:

$$a_5=a_1 q^4=3\cdot3^4=3\cdot81=243$$

Odpowiedź: $q=3$, $a_5=243$.

Podstawiamy do wzoru:

$$a_{10}=3\cdot(-1)^{9}=3\cdot(-1)=-3$$

Wykładnik jest nieparzysty ($n-1=9$), więc znak się zmienia. Ciąg wygląda tak: $3$, $-3$, $3$, $-3$, … — wyrazy o numerach parzystych są ujemne.

Odpowiedź: A. $-3$.

Dla $q=1$ każdy wyraz równa się poprzedniemu — ciąg stały.

Odpowiedź: C. stały.

Krok 1 — stopa za kwartał. Roczne $12\%$ dzielimy na cztery okresy:

$$\frac{12\%}{4}=3\%$$

Krok 2 — cztery kapitalizacje w roku:

$$K=5000\cdot1{,}03^{4}=5000\cdot1{,}12550881\approx5627{,}54\ \text{zł}$$

Krok 3 — kapitalizacja roczna dla porównania:

$$5000\cdot1{,}12=5600\ \text{zł}$$

Krok 4 — różnica:

$$5627{,}54-5600=27{,}54\ \text{zł}$$

Wniosek. Częstsza kapitalizacja daje więcej, bo odsetki zaczynają procentować wcześniej. Efektywna stopa roczna to tu około $12{,}55\%$.

Odpowiedź: około $5627{,}54$ zł, czyli o $27{,}54$ zł więcej.

Krok 1 — model ciągiem geometrycznym. $a_1=100$ (po $0$ h to stan początkowy), $q=2$. Po $5$ h to $a_1\cdot q^5$:

$$100\cdot2^5=100\cdot32=3200$$

Interpretacja. Wzrost wykładniczy — po każdej godzinie razy $2$.

Odpowiedź: $3200$ bakterii.

Krok 1 — warunek na wyraz środkowy:

$$(x+1)^2=(x-1)(2x+4)$$

Krok 2 — rozwijamy obie strony:

$$x^2+2x+1=2x^2+4x-2x-4=2x^2+2x-4$$

Krok 3 — porządkujemy:

$$0=x^2-5 \quad\Rightarrow\quad x^2=5$$

$$x=\sqrt5 \quad\text{lub}\quad x=-\sqrt5$$

Krok 4 — sprawdzamy założenia. W ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem. Dla $x=\sqrt5\approx2{,}24$ mamy wyrazy $\approx1{,}24$, $\approx3{,}24$, $\approx8{,}47$ — wszystkie niezerowe ✔ Dla $x=-\sqrt5\approx-2{,}24$ wyrazy to $\approx-3{,}24$, $\approx-1{,}24$, $\approx-0{,}47$ — również niezerowe ✔

Odpowiedź: $x=\sqrt5$ lub $x=-\sqrt5$.

Krok 1 — parametry: $a_1=1$, $q=3$, $n=5$.

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S_5=1\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=\frac{1-243}{-2}=\frac{-242}{-2}=121$$

Sprawdzenie: $1+3+9+27+81=121$ ✔

Odpowiedź: $121$.

Krok 1 — pierwszy spadek: $2$ m.

Krok 2 — kolejne odbicia. Każde wzniesienie na wysokość $h$ oznacza drogę $2h$ (w górę i z powrotem). Wysokości tworzą ciąg geometryczny:

$$1{,}2;\quad 0{,}72;\quad 0{,}432;\ \dots \qquad q=0{,}6$$

Krok 3 — suma wysokości odbić:

$$S=\frac{1{,}2}{1-0{,}6}=\frac{1{,}2}{0{,}4}=3\ \text{m}$$

Krok 4 — droga całkowita:

$$2+2\cdot3=8\ \text{m}$$

Uwaga na pułapkę. Pierwszy odcinek liczymy raz (piłka tylko spada), a każde odbicie — podwójnie. Pominięcie tego mnożnika $2$ daje błędne $5$ m.

Odpowiedź: $8$ m.

Krok 1 — procent składany = ciąg geometryczny. Każdego roku kwota rośnie razy $1{,}1$:

$$K_n=K_0\cdot(1{,}1)^n$$

Krok 2 — po $3$ latach:

$$K_3=1000\cdot(1{,}1)^3=1000\cdot1{,}331=1331\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $1331$ zł.

Krok 1 — zapis przez iloraz. Z definicji ciągu geometrycznego:

$$b=aq,\qquad c=aq^{2}$$

Krok 2 — iloczyn wyrazów skrajnych:

$$ac=a\cdot aq^{2}=(aq)^{2}=b^{2}$$

Krok 3 — pierwiastkujemy. Wyrazy są dodatnie, więc $b>0$ i bierzemy pierwiastek arytmetyczny:

$$b=\sqrt{ac} \qquad ∎$$

Nazwa. Liczbę $\sqrt{ac}$ nazywamy średnią geometryczną liczb $a$ i $c$ — to odpowiednik średniej arytmetycznej dla ciągów geometrycznych.

Sprawdzenie: dla $a=2$ i $c=18$ mamy $b=\sqrt{36}=6$, a ciąg $2$, $6$, $18$ istotnie ma stały iloraz $q=3$ ✔

Krok 1 — definicja stałego ilorazu. Skoro to ciąg geometryczny, iloraz kolejnych wyrazów jest równy:

$$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$b\cdot b=a\cdot c \quad\Rightarrow\quad b^2=ac \qquad ∎$$

Wniosek. Środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów: $b=\sqrt{ac}$. To odpowiednik własności „$2b=a+c$” dla ciągu arytmetycznego.

Sprawdzenie dla $2,6,18$: $6^2=36=2\cdot18$ ✔