Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Pochodna mierzy chwilowe tempo zmian funkcji. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$.
Równanie stycznej: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
$$(c)'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x$$
$$(f\pm g)'=f'\pm g'$$
$$(fg)'=f'g+fg'$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$
$$\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Pochodna drogi po czasie to prędkość, pochodna prędkości — przyspieszenie.
Sam warunek $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale ekstremum nie ma (brak zmiany znaku). Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Przy funkcji złożonej łatwo pominąć „pochodną wnętrza”. Szukając wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym, sprawdź także końce przedziału.
Pochodna $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$. Równanie stycznej:
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Pochodna drogi po czasie to prędkość chwilowa, a pochodna prędkości — przyspieszenie:
$$v(t)=s'(t),\qquad a(t)=v'(t)$$
$$(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (c)'=0,\qquad (cx)'=c$$
Pochodną wielomianu liczymy wyraz po wyrazie.
$$f'>0 \Rightarrow \text{funkcja rośnie},\qquad f'<0 \Rightarrow \text{maleje}$$
Gdy $f'(x_0)=0$, styczna jest pozioma — to kandydat na ekstremum.
Chwile zatrzymania ciała znajdujemy z warunku $v(t)=0$. Wierzchołek paraboli to punkt, w którym pochodna się zeruje.
Pochodna to nachylenie, nie wartość funkcji. Pochodna stałej wynosi zero — nie przepisujemy wyrazu wolnego do wyniku.
Co robi: mierzy chwilowe tempo zmian funkcji; geometrycznie — współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie.
Elementy: $f'(x_0)$ — pochodna w punkcie, $h$ — przyrost argumentu. Równanie stycznej: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
Przykład: $f(x)=x^3$, $f'(x)=3x^2$, więc w $x_0=2$ styczna ma nachylenie $12$, a jej równanie to $y=12(x-2)+8=12x-16$.
Pułapka: $(x^n)'=nx^{n-1}$ działa też dla wykładników ujemnych i ułamkowych: $\left(\frac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$. Pochodna stałej to zero.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=x^3$.
Ile wynosi pochodna funkcji $f(x)=x^5$?
Pochodna funkcji $f(x)=x^2$ wynosi:
Pochodna funkcji $f(x)=x^3$ wynosi:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=4x^3-2x^2+7x-5$.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=3x^2-4x+7$.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=x^3-2x$.
Wyznacz pochodną funkcji $f(x)=x^5$.
Pochodna funkcji stałej $f(x)=7$ wynosi:
Oblicz $f^{\prime}(2)$ dla funkcji $f(x)=x^2-3x$.
Oblicz wartość pochodnej funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=3$.
Pochodna funkcji stałej $f(x)=7$ wynosi:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$.
Pochodna funkcji stałej $f(x)=7$ wynosi:
Pochodna $f'(x_0)$ w punkcie to geometrycznie:
Wyznacz pochodną funkcji $f(x)=4x$.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\sqrt{x}$.
Oblicz pochodną iloczynu $f(x)=(x^2+1)(x-3)$, korzystając z reguły iloczynu.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=5x+7$.
Wyznacz pochodną funkcji $f(x)=x^2+3x-5$.
Oblicz pochodną iloczynu $f(x)=x^2\sin x$.
Oblicz pochodną funkcji złożonej $f(x)=(2x+1)^3$.
Pochodna funkcji stałej $f(x)=7$ wynosi:
Pochodna funkcji $f(x)=2x^3$ to:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\frac{x}{x+1}$.
Pochodna funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ (dla $x>0$) wynosi:
Droga w ruchu opisana jest wzorem $s(t)=t^2$ (w metrach, $t$ w sekundach). Oblicz prędkość w chwili $t=4$ s.
Wyznacz pochodną funkcji $f(x)=x^3-6x^2+4$.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=(2x+1)^5$.
Wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie o odciętej $x_0=3$.
Wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu $f(x)=x^2-4x$ w punkcie $x_0=1$.
Oblicz wartość pochodnej funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=3$.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie o odciętej $x_0=3$.
Ile wynosi pochodna funkcji $f(x)=4x$?
Jeśli $f'(x_0)=0$, to styczna w punkcie $x_0$ jest:
Pochodna sumy funkcji $f+g$ równa się:
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x^3-3x$.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=x^3-3x^2+2$ i wyznacz jej miejsca zerowe.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=2$.
Wyznacz pochodną funkcji $f(x)=5x^4-2x^2+7x$.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x)=x^3-3x$.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=(x^2-1)^4$.
Pochodna funkcji $f(x)=x^4$ to:
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_0$ jest równy:
Dla funkcji $f(x)=x^3$ zachodzi $f'(0)=0$. Czy w punkcie $x=0$ jest ekstremum?
Reguła pochodnej ilorazu $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}$ ma postać:
Ciało porusza się według wzoru $s(t)=t^2-3t$ (w metrach). W której chwili prędkość wynosi zero?
Oblicz $f'(1)$ dla funkcji $f(x)=x^3-2x$.
Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji $f(x)=x^2-4x+1$ w przedziale $\langle0,3\rangle$.
Funkcja $f(x)=x^2-4x+3$. Dla jakiego argumentu styczna do wykresu jest pozioma?
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=2x^3-3x^2+5x-1$.
Dla jakich $x$ pochodna funkcji $f(x)=x^2-4x$ jest równa zeru?
Z drutu o długości $40$ cm wygięto prostokąt. Jakie wymiary da największe pole?
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=1$.
Współczynnik kierunkowy stycznej do $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=0$ wynosi:
Funkcja jest rosnąca w przedziale, w którym jej pochodna jest:
Punkt porusza się po prostej zgodnie ze wzorem $s(t)=t^3-6t^2+9t$ (droga w metrach, czas w sekundach). Oblicz prędkość w chwili $t=2$ s.
Pochodna funkcji $f(x)=x^2+x$ w punkcie $x_0=0$ wynosi:
Prędkość ciała opisuje wzór $v(t)=6t$ (m/s). Przyspieszenie to pochodna prędkości. Oblicz przyspieszenie.
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x)=x^2-6x+1$.
Jeśli $f'(x)<0$ w całym przedziale, to funkcja w tym przedziale jest:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\frac{2}{x}$ (dla $x\neq0$).
Jeśli $f'(x)>0$ w pewnym przedziale, to funkcja jest tam:
Pochodna funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=0$ wynosi:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=e^x+\ln x$.
Punkt materialny porusza się według równania $s(t)=t^2+3t$ (droga w metrach, czas w sekundach). Oblicz prędkość chwilową w chwili $t=2$ s.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x)=x^3$ w punkcie $x_0=1$.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0=2$.
W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji $f(x)=x^2-4x$ jest równoległa do osi $OX$?
Zbadaj monotoniczność funkcji $f(x)=x^3-3x$ za pomocą pochodnej.
W którym punkcie styczna do wykresu $f(x)=x^2-6x+5$ jest pozioma? Podaj współrzędne tego punktu.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x)=x^3-3x$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f(x)=x^3+mx$ jest rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^3$ w punkcie $x_0=2$.
Droga ciała to $s(t)=t^3-6t^2+9t$ (w metrach). Wyznacz prędkość jako funkcję czasu i chwile, w których ciało się zatrzymuje.
Punkt porusza się według $s(t)=t^2+2t$ (droga w metrach, czas w sekundach). Oblicz prędkość w chwili $t=3$ s.
Z kwadratowego kartonu o boku $12$ cm wycięto w rogach cztery jednakowe kwadraty o boku $x$ i złożono pudełko bez wieczka. Dla jakiego $x$ objętość jest największa?
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=\frac{x}{x+1}$ (dla $x\neq-1$), korzystając z reguły ilorazu.
Wykaż, korzystając z definicji, że pochodna funkcji $f(x)=x^2$ w punkcie $x_0$ wynosi $2x_0$.
Wykaż, korzystając z pochodnej, że funkcja $f(x)=x^3+x$ jest rosnąca w całej dziedzinie.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.