Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Wektor o początku $A=(x_A,\,y_A)$ i końcu $B=(x_B,\,y_B)$ ma współrzędne:
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Odwrotna kolejność daje wektor przeciwny $\vec{BA}$.
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$$
Przykład: dla $\vec{u}=[4,\,2]$ mamy $|\vec{u}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.
$$\vec{u}+\vec{v}=[u_x+v_x,\ u_y+v_y],\qquad k\vec{u}=[k\,u_x,\ k\,u_y]$$
Mnożenie przez liczbę $k>0$ zmienia tylko długość, a $k<0$ dodatkowo odwraca zwrot.
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Znak iloczynu skalarnego od razu mówi, jaki jest kąt:
Sam kąt wyznaczamy ze wzoru:
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$$
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego, co sprawdzamy warunkiem:
$$u_x v_y-u_y v_x=0$$
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po kolei” — wynikiem jest liczba, którą otrzymujemy przez dodanie iloczynów. Pamiętaj też, że wektor to nie punkt: ten sam wektor może zaczynać się w dowolnym miejscu układu, bo liczy się tylko kierunek, zwrot i długość.
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Wektor $\vec{BA}$ ma te same liczby ze zmienionym znakiem — to wektor przeciwny.
$$\vec{u}\pm\vec{v}=[u_1\pm v_1,\ u_2\pm v_2],\qquad k\vec{u}=[ku_1,\ ku_2]$$
Mnożenie przez liczbę dodatnią zmienia długość, zachowując kierunek i zwrot. Liczba ujemna dodatkowo odwraca zwrot.
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa w przebraniu.
$$\vec{e}=\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$$
Dla $\vec{u}=[3,-4]$ długość wynosi $5$, więc $\vec{e}=\left[\frac35,-\frac45\right]$. Sprawdzenie: $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$ ✔
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor — to pierwsza rzecz do zapamiętania.
Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$$
$$\vec{u}\parallel\vec{v} \iff \vec{v}=k\vec{u} \ \text{dla pewnego } k$$
Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$. Natomiast $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są równoległe, bo pierwszy to podwojony drugi.
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
Dla $[1,\,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,\,1]$: iloczyn to $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
$$\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$$
Bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$, a $\cos0^\circ=1$.
Przesunięcie punktu: do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora.
Czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$: korzystamy z $\vec{AD}=\vec{BC}$.
Kąt prosty w trójkącie: wystarczy pokazać, że iloczyn skalarny dwóch boków wychodzących z wierzchołka wynosi zero.
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po parach” dającym wektor — wynik jest liczbą. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca, nie odwrotnie.
Co robi: pozwala policzyć kąt między wektorami oraz natychmiast rozstrzygnąć, czy są prostopadłe.
Elementy: $u_1$, $u_2$ to współrzędne wektora, $\alpha$ — kąt między wektorami. Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Co mówi znak: dodatni — kąt ostry, zero — kąt prosty, ujemny — kąt rozwarty. Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
Warunek prostopadłości: $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$. Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$.
Kąt: $\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$. Dla $[1,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,1]$ iloczyn wynosi $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
Przydatna tożsamość: $\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$, bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$.
Pułapka: nie myl z „mnożeniem po współrzędnych” dającym wektor — iloczyn skalarny daje liczbę. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca: $\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$.
Co robi: opisuje wektory współrzędnymi i pozwala obliczyć kąt między nimi bez rysunku.
Elementy: $\vec{u}=[u_1,u_2]$. Iloczyn skalarny daje liczbę (nie wektor). Kluczowy wniosek: $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$.
Przykład: $\vec{u}=[3,4]$, $\vec{v}=[4,-3]$: $\vec{u}\circ\vec{v}=12-12=0$, więc wektory są prostopadłe. Ich długości: $|\vec{u}|=|\vec{v}|=5$.
Pułapka: wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Odwrócenie kolejności daje wektor przeciwny $\vec{BA}=-\vec{AB}$.
Oblicz odległość między punktami $A=(1,\,2)$ i $B=(4,\,6)$.
Dane są punkty $A=(2,\,3)$ i $B=(7,\,8)$. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$.
Wektor o początku $A=(1,\,2)$ i końcu $B=(5,\,7)$ ma współrzędne:
Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach $A=(-3,\,5)$ i $B=(7,\,1)$.
Oblicz długość wektora $\vec{u}=[6,\,8]$.
Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$, gdy $\vec{u}=[3,-1]$ i $\vec{v}=[2,\,5]$.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,1)$ i $B=(2,\,7)$.
Dane są wektory $\vec{u}=[3,\,-2]$ i $\vec{v}=[1,\,5]$. Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$ oraz $\vec{u}-\vec{v}$.
Oblicz długość wektora $\vec{u}=[6,\,8]$.
Prosta $k$ ma równanie $y=2x-5$. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do $k$ wynosi:
Oblicz iloczyn skalarny wektorów $\vec{u}=[2,\,3]$ i $\vec{v}=[4,\,-1]$.
Iloczyn skalarny wektorów $[2,\,3]$ i $[4,-1]$ wynosi:
Podaj środek i promień okręgu o równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=25$.
Dla wektora $\vec{u}=[4,\,-3]$ oblicz $2\vec{u}$ oraz $-\vec{u}$.
Oblicz $3\vec{u}$, gdy $\vec{u}=[-2,\,4]$.
Który punkt jest obrazem punktu $P=(4,\,-2)$ w symetrii względem osi OX?
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
Wektory są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny:
Dane są punkty $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,4)$. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$ oraz jego długość.
Sprawdź, czy wektory $\vec{u}=[3,\,4]$ i $\vec{v}=[-4,\,3]$ są prostopadłe.
Sprawdź, czy wektory $\vec{u}=[3,\,4]$ i $\vec{v}=[-8,\,6]$ są prostopadłe.
Proste $y=3x+2$ i $y=3x-7$ są:
Wyznacz współrzędne punktu $B$, jeśli $A=(1,\,4)$ i $\vec{AB}=[5,\,-2]$.
Oblicz $\vec{u}-\vec{v}$ oraz $|\vec{u}-\vec{v}|$, gdy $\vec{u}=[7,\,3]$ i $\vec{v}=[4,-1]$.
Oblicz odległość punktu $P=(3,\,4)$ od prostej o równaniu $3x+4y-10=0$.
Który wektor jest równoległy do $\vec{u}=[2,\,3]$?
Wektory $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są:
Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$, $C=(0,\,3)$ jest prostokątny, i oblicz jego pole.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,0]$ i $\vec{v}=[1,\,1]$.
Punkt $A=(2,\,1)$ przesunięto o wektor $\vec{u}=[5,-3]$. Podaj współrzędne obrazu punktu $A$.
Które równanie opisuje okrąg o środku $S=(0,\,0)$ i promieniu $4$?
Obrazem punktu $P=(5,\,-3)$ w symetrii względem osi OY jest punkt:
Wektor $\vec{u}=[a,\,3]$ jest prostopadły do $\vec{v}=[6,\,2]$. Wtedy $a$ wynosi:
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $P=(1,\,5)$ i równoległej do prostej $y=-2x+7$.
Punkt $S=(4,\,1)$ jest środkiem symetrii. Wyznacz obraz punktu $P=(6,\,5)$.
Oblicz $2\vec{u}-3\vec{v}$, gdy $\vec{u}=[1,\,4]$ i $\vec{v}=[2,-1]$.
Dane są wektory $\vec{u}=[3,\,-1]$ i $\vec{v}=[2,\,5]$. Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$ oraz $2\vec{u}$.
Sprawdź, czy punkty $A=(1,\,2)$, $B=(3,\,5)$ i $C=(7,\,11)$ leżą na jednej prostej.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,0]$ i $\vec{v}=[1,\,1]$.
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,1)$, $C=(5,\,4)$, $D=(1,\,4)$ są wierzchołkami prostokąta. Jaka jest długość jego przekątnej?
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest ujemny. Co z tego wynika?
Iloczyn skalarny wektora ze sobą, czyli $\vec{u}\circ\vec{u}$, jest równy:
Punkt $S=(3,\,2)$ jest środkiem odcinka $AB$, przy czym $A=(1,\,-1)$. Wyznacz współrzędne punktu $B$.
Dla jakiej wartości $m$ wektory $\vec{u}=[3,\,m]$ i $\vec{v}=[2,\,-6]$ są prostopadłe?
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(4,\,2)$, $C=(5,\,5)$ są trzema wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz współrzędne punktu $D$.
Wyznacz punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ oraz $y=-x+5$.
Wyznacz środek odcinka o końcach $A=(-2,\,7)$ i $B=(8,\,-1)$ oraz długość tego odcinka.
Jeśli iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest ujemny, to kąt między nimi jest:
Czy punkt $P=(3,\,4)$ leży na okręgu o równaniu $x^2+y^2=25$?
Punkty $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$ i $C=(4,\,3)$ są wierzchołkami trójkąta. Korzystając z wektorów, sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,\sqrt3]$ i $\vec{v}=[\sqrt3,\,1]$.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(2,\,5)$.
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,2)$ i $C=(6,\,6)$ są trzema wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz czwarty wierzchołek $D$.
Dane są punkty $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$, $C=(4,\,3)$. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny, korzystając z iloczynu skalarnego, i oblicz jego pole.
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,6)$.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,\sqrt3]$ i $\vec{v}=[1,\,0]$.
Wyznacz wektor jednostkowy o tym samym kierunku i zwrocie co $\vec{u}=[3,-4]$.
Okrąg ma środek $S=(2,\,1)$ i przechodzi przez punkt $P=(5,\,5)$. Wyznacz równanie tego okręgu i sprawdź, czy punkt $Q=(2,\,7)$ leży wewnątrz, na okręgu, czy na zewnątrz.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(5,\,1)$, $C=(2,\,4)$, korzystając ze wzoru wektorowego $P=\frac12\left|x_B y_C-x_C y_B\right|$.
Dane są wektory $\vec{u}=[2,\,1]$ i $\vec{v}=[m,\,4]$. Dla jakiej wartości $m$ wektory są równoległe, a dla jakiej prostopadłe?
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.