Wzory redukcyjne

To podstawowy wzór redukcyjny — kąty $\alpha$ i $90^\circ-\alpha$ dopełniają się do kąta prostego:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Skąd to wynika: w trójkącie prostokątnym oba kąty ostre dopełniają się do $90^\circ$, a sinus jednego jest cosinusem drugiego.

Sprawdzenie: $\sin60^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: B. $\cos\alpha$.

Krok 1 — zapisujemy kąt w dogodnej postaci:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$$

Kontrola ćwiartką: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny ✔

Odpowiedź: $-\frac12$.

Kąt $180^\circ-\alpha$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, a jego wartość bezwzględna nie zmienia się:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Porównaj z sinusem: $\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$ — bez minusa, bo sinus w drugiej ćwiartce pozostaje dodatni.

Odpowiedź: B. $-\cos\alpha$.

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Jak je zapamiętać. W sinusie funkcje się „mieszają” ($\sin\cos+\cos\sin$), a znak zgadza się ze znakiem w nawiasie. W cosinusie funkcje występują parami ($\cos\cos-\sin\sin$), a znak jest przeciwny do tego w nawiasie.

Odpowiedź: jak wyżej.

Wystarczy podstawić $\beta=\alpha$ we wzorze na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$

Częsty błąd: $\sin2\alpha\neq2\sin\alpha$. Sprawdź dla $\alpha=30^\circ$: $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87$, a $2\sin30^\circ=1$.

Odpowiedź: C. $2\sin\alpha\cos\alpha$.

Krok 1 — rozkładamy na kąty znane:

$$75^\circ=45^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór na sinus sumy:

$$\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}$$

Krok 4 — zapisujemy jednym ułamkiem:

$$\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Kontrola sensu: $75^\circ$ jest blisko $90^\circ$, więc sinus powinien być bliski $1$ ✔

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Krok 1 — rozkładamy kąt:

$$15^\circ=45^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — wzór na cosinus różnicy:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\cos15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Warto zauważyć: $\cos15^\circ=\sin75^\circ$ — bo kąty $15^\circ$ i $75^\circ$ dopełniają się do $90^\circ$.

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$135^\circ=180^\circ-45^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\operatorname{tg}\left(180^\circ-\alpha\right)=-\operatorname{tg}\alpha$$

$$\operatorname{tg}135^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce tangens jest ujemny, bo sinus jest dodatni, a cosinus ujemny ✔

Odpowiedź: B. $-1$.

Krok 1 — pierwszy składnik:

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — sumujemy:

$$\cos\alpha+\left(-\cos\alpha\right)=0$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $\sin120^\circ+\cos150^\circ=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0$ ✔

Odpowiedź: $0$ dla każdego $\alpha$.

Krok 1 — punkt wyjścia:

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$

Krok 2 — korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$:

$$\cos2\alpha=\left(1-\sin^2\alpha\right)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $1-2\cdot\frac14=\frac12=\cos60^\circ$ ✔

Uwaga: odpowiedź B to $-\cos2\alpha$ — łatwo pomylić kolejność odejmowania.

Odpowiedź: A. $1-2\sin^2\alpha$.

Krok 1 — wyznaczamy cosinus z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2\alpha=1-\left(\frac35\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Krok 2 — wybieramy znak. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac45$$

Krok 3 — wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}=0{,}96$$

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\frac{24}{25}$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$210^\circ=180^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — wzory redukcyjne dla trzeciej ćwiartki:

$$\sin\left(180^\circ+\alpha\right)=-\sin\alpha,\qquad \cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\sin210^\circ=-\frac12,\qquad \cos210^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Kontrola ćwiartką: w trzeciej ćwiartce obie funkcje są ujemne ✔

Odpowiedź: $-\frac12$ oraz $-\frac{\sqrt3}{2}$.

Sinus jest funkcją nieparzystą, więc zmiana znaku argumentu zmienia znak wartości:

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$

Cosinus zachowuje się inaczej — jest funkcją parzystą, więc $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$.

Na wykresie: sinus jest symetryczny względem początku układu, a cosinus względem osi $OY$.

Odpowiedź: B. $-\sin\alpha$.

Krok 1 — redukujemy licznik:

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

Krok 2 — redukujemy mianownik:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 3 — składamy:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, czyli $\alpha\neq90^\circ+k\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha$.

We wzorze na cosinus znak jest przeciwny do tego w nawiasie:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Sprawdzenie skrajnym przypadkiem: dla $\beta=\alpha$ dostajemy $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, a przecież $\cos0^\circ=1$ ✔

Uwaga: odpowiedź D to wzór na $\sin(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — rozkładamy na kąty znane:

$$105^\circ=60^\circ+45^\circ$$

Krok 2 — wzór na cosinus sumy:

$$\cos105^\circ=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt6}{4}$$

Krok 4 — jeden ułamek:

$$\cos105^\circ=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\approx-0{,}259$$

Kontrola znaku: $105^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, więc cosinus musi być ujemny — i jest, bo $\sqrt6>\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$.

Krok 1 — cosinus podwojonego kąta. Wybieramy postać zależną tylko od cosinusa:

$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-\frac{25}{25}=\frac{7}{25}$$

Krok 2 — wyznaczamy sinus. Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, więc:

$$\sin\alpha=\frac35$$

Krok 3 — sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$$

Kontrola jedynką: $\left(\frac{7}{25}\right)^2+\left(\frac{24}{25}\right)^2=\frac{49+576}{625}=\frac{625}{625}=1$ ✔

Uwaga na ćwiartkę. Znak sinusa musieliśmy odczytać z położenia kąta — sama jedynka trygonometryczna daje dwie możliwości.

Odpowiedź: $\cos2\alpha=\frac{7}{25}$, $\sin2\alpha=-\frac{24}{25}$.

Krok 1 — redukujemy każdy czynnik osobno:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin\alpha\cdot\sin\alpha+\left(-\cos\alpha\right)\cdot\cos\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha$$

Krok 3 — rozpoznajemy wzór:

$$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)=-\cos2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=45^\circ$: wyrażenie wyjściowe daje $\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=0$, a $-\cos90^\circ=0$ ✔

Odpowiedź: $-\cos2\alpha$.

Krok 1 — rozpisujemy lewą stronę. Pierwszy składnik:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — dodajemy. Składniki z $\cos\alpha\sin\beta$ mają przeciwne znaki i się redukują:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=2\sin\alpha\cos\beta \qquad ∎$$

Do czego to służy. Wzór czytany od prawej do lewej zamienia iloczyn na sumę — a sumy łatwiej się całkuje i rozwiązuje w równaniach trygonometrycznych. Analogicznie odejmowanie tych wzorów daje $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$.

Sprawdzenie dla $\alpha=60^\circ$, $\beta=30^\circ$: lewa strona to $\sin90^\circ+\sin30^\circ=1+\frac12=\frac32$, prawa $2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ ✔