Odchylenie standardowe

Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów:

$$\bar{x}=\frac{5+8+11+8}{4}=\frac{32}{4}=8$$

Kontrola: średnia leży między najmniejszą ($5$) a największą ($11$) wartością ✔

Odpowiedź: C. $8$.

$$\frac{6+9+12+13}{4}=\frac{40}{4}=10$$

Odpowiedź: B. $10$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 15$$

Krok 2 — liczb jest parzyście ($6$), więc mediana to średnia dwóch środkowych (trzeciej i czwartej):

$$\text{mediana}=\frac{9+10}{2}=9{,}5$$

Uwaga: mediana nie musi być jednym z elementów zestawu.

Odpowiedź: mediana wynosi $9{,}5$.

Dane są już uporządkowane rosnąco.

Mediana — pięć elementów, więc wyraz trzeci:

$$7$$

Dominanta — wartość najczęstsza, tu również $7$ (dwa razy).

Odpowiedź: mediana $7$, dominanta $7$.

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Zliczamy:

• $5$ — trzy razy
• $7$ — dwa razy
• $3$ i $9$ — po jednym razie

Najczęściej pojawia się $5$.

Odpowiedź: dominanta wynosi $5$.

$$\bar{x}=\frac{3\cdot1+4\cdot2+5\cdot3}{1+2+3}=\frac{3+8+15}{6}=\frac{26}{6}\approx4{,}33$$

Zwykła średnia dałaby $4$ — waga $3$ przy najwyższej ocenie podnosi wynik.

Odpowiedź: około $4{,}33$.

Przekształcamy wzór na średnią:

$$\bar{x}=\frac{\text{suma}}{n} \quad\Rightarrow\quad \text{suma}=\bar{x}\cdot n=10\cdot6=60$$

Odpowiedź: B. $60$.

Sześć elementów — liczba parzysta, więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\frac{8+12}{2}=10$$

Odpowiedź: C. $10$.

Średnia ważona uwzględnia „wagę” każdej oceny — mnożymy ocenę przez jej wagę:

$$\bar{x}_w=\frac{\sum(\text{ocena}\cdot\text{waga})}{\sum\text{wag}}$$

Krok 1 — licznik:

$$4\cdot3+3\cdot1+5\cdot2=12+3+10=25$$

Krok 2 — suma wag:

$$3+1+2=6$$

Krok 3 — dzielimy:

$$\bar{x}_w=\frac{25}{6}\approx4{,}17$$

Odpowiedź: średnia ważona wynosi $\frac{25}{6}\approx4{,}17$.

Rozstęp to różnica wartości największej i najmniejszej:

$$19-5=14$$

Odpowiedź: $14$.

Krok 1 — suma wszystkich pięciu liczb:

$$12\cdot5=60$$

Krok 2 — suma czterech znanych:

$$10+14+9+15=48$$

Krok 3 — piąta liczba:

$$60-48=12$$

Sprawdzenie: $\frac{48+12}{5}=\frac{60}{5}=12$ ✔

Odpowiedź: piąta liczba to $12$.

Odchylenie standardowe mówi, jak daleko przeciętnie leżą dane od średniej.

Pozostałe odpowiedzi opisują kolejno: medianę, dominantę i rozstęp.

Interpretacja: małe odchylenie oznacza dane skupione wokół średniej, duże — rozrzucone.

Odpowiedź: A. przeciętne rozproszenie danych wokół średniej.

Mediana zależy tylko od środkowej wartości uporządkowanego zestawu, więc pojedyncza wartość bardzo duża lub bardzo mała jej nie zaburza.

Przykład: dla zestawu $2$, $3$, $4$, $5$, $100$ mediana to $4$, ale średnia wynosi $22{,}8$ — wartość $100$ całkowicie zaburza średnią.

Odpowiedź: A. mediana.

Krok 1 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{2+4+4+6}{4}=4$$

Krok 2 — odchylenia od średniej i ich kwadraty:

$$(-2)^2=4,\quad 0^2=0,\quad 0^2=0,\quad 2^2=4$$

Krok 3 — wariancja (średnia kwadratów odchyleń):

$$\sigma^2=\frac{4+0+0+4}{4}=2$$

Krok 4 — odchylenie standardowe:

$$\sigma=\sqrt2\approx1{,}41$$

Odpowiedź: $\sqrt2\approx1{,}41$.

Rozstęp to różnica między wartością największą a najmniejszą:

$$R=x_{max}-x_{min}$$

W zestawie największą liczbą jest $22$, a najmniejszą $6$:

$$R=22-6=16$$

Odpowiedź: rozstęp wynosi $16$.

Krok 1 — sumy wzrostów:

$$20\cdot170=3400\ \text{cm},\qquad 30\cdot180=5400\ \text{cm}$$

Krok 2 — średnia ważona:

$$\bar{x}=\frac{3400+5400}{50}=\frac{8800}{50}=176\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: wynik leży między $170$ a $180$, bliżej $180$ — bo ta grupa jest liczniejsza ✔ Zwykła średnia dałaby $175$ cm, czyli za mało.

Odpowiedź: $176$ cm.

Krok 1 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{2+4+4+6}{4}=\frac{16}{4}=4$$

Krok 2 — odchylenia od średniej i ich kwadraty:

$$(2-4)^2=4,\quad (4-4)^2=0,\quad (4-4)^2=0,\quad (6-4)^2=4$$

Krok 3 — wariancja (średnia kwadratów odchyleń):

$$\sigma^2=\frac{4+0+0+4}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Krok 4 — odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

$$\sigma=\sqrt{2}\approx1{,}41$$

Odpowiedź: $\sigma=\sqrt2\approx1{,}41$.

Przed: średnia $4$, mediana $4$.

Po: średnia $\frac{112}{4}=28$, mediana $\frac{4+6}{2}=5$.

Średnia skoczyła siedmiokrotnie, mediana przesunęła się o $1$.

Wniosek: średnia jest wrażliwa na wartości odstające, mediana — odporna.

Odpowiedź: D. średnia.

Dodanie liczby równej dotychczasowej średniej nie zmienia średniej.

Uzasadnienie: jeśli suma $n$ liczb to $20n$, to po dodaniu $20$ mamy sumę $20n+20=20(n+1)$ i $n+1$ liczb, więc nowa średnia to $\frac{20(n+1)}{n+1}=20$.

Reguła: liczba większa od średniej ją podnosi, mniejsza obniża, równa — pozostawia bez zmian.

Odpowiedź: D. nie zmieni się.

Krok 1 — suma ośmiu liczb:

$$8\cdot15=120$$

Krok 2 — suma siedmiu:

$$7\cdot16=112$$

Krok 3 — usunięta liczba:

$$120-112=8$$

Kontrola sensu: średnia wzrosła po usunięciu, więc usunięta liczba musiała być mniejsza od średniej — i faktycznie $8<15$ ✔

Odpowiedź: $8$.

Liczymy średnią ważoną — każdą wartość mnożymy przez jej liczebność.

Krok 1 — suma (liczba rodzeństwa razem):

$$0\cdot5+1\cdot8+2\cdot4+3\cdot3=0+8+8+9=25$$

Krok 2 — liczba uczniów:

$$5+8+4+3=20$$

Krok 3 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{25}{20}=1{,}25$$

Odpowiedź: średnio $1{,}25$ rodzeństwa na ucznia.

Każda dana jest równa średniej, więc wszystkie odchylenia wynoszą zero:

$$\sigma=\sqrt{0}=0$$

Interpretacja: brak rozproszenia — dane są idealnie skupione. To jedyny przypadek, gdy odchylenie wynosi zero.

Odpowiedź: B. $0$.

Dominanta. Najwięcej uczniów ($8$) ma $1$ rodzeństwo, więc:

$$\text{dominanta}=1$$

Mediana. Uczniów jest $20$, więc mediana to średnia $10$. i $11$. wartości w uporządkowanym ciągu. Wypisujemy narastająco liczebności:

• pozycje $1$–$5$: wartość $0$
• pozycje $6$–$13$: wartość $1$

Zarówno $10$., jak i $11$. pozycja to $1$, więc:

$$\text{mediana}=\frac{1+1}{2}=1$$

Odpowiedź: dominanta $1$, mediana $1$.

Korzystamy ze średniej ważonej liczebnościami:

$$\bar{x}=\frac{2\cdot3+5\cdot4+9\cdot3}{3+4+3}=\frac{6+20+27}{10}=\frac{53}{10}=5{,}3$$

Odpowiedź: $5{,}3$.

Odchylenie standardowe mierzy rozproszenie danych wokół średniej. Zero oznacza brak rozproszenia — każda liczba jest równa średniej, czyli wszystkie są takie same.

Uzasadnienie: $\sigma=0$ wymaga, by każdy kwadrat odchylenia $(x_i-\bar{x})^2$ był zerem, a to znaczy $x_i=\bar{x}$ dla wszystkich elementów.

Odpowiedź: B. wszystkie liczby są jednakowe.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15$$

Krok 2 — środkowy wyraz. Elementów jest $7$, więc mediana to czwarty wyraz:

$$9$$

Uwaga: bez uporządkowania danych mediana wyszłaby błędna — w oryginalnej kolejności czwartym wyrazem było $15$.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — suma wieku przed zmianą:

$$30\cdot8=240$$

Krok 2 — nowa suma:

$$240+57=297$$

Krok 3 — nowa średnia dla $9$ osób:

$$\frac{297}{9}=33$$

Kontrola sensu: dołączyła osoba starsza od średniej, więc średnia wzrosła ✔

Odpowiedź: nowy średni wiek to $33$ lata.

Dodanie stałej przesuwa cały zestaw, ale nie zmienia odległości między danymi.

Przykład: dla $2$, $4$, $6$ średnia to $4$. Po dodaniu $5$ mamy $7$, $9$, $11$ — średnia $9$, a rozrzut identyczny.

Dla porównania: pomnożenie wszystkich danych przez $k$ mnoży zarówno średnią, jak i odchylenie przez $|k|$.

Odpowiedź: A. średnia wzrośnie o $5$, odchylenie się nie zmieni.

Uwaga: grupy mają różną liczebność, więc nie uśredniamy wprost $170$ i $175$.

Krok 1 — suma wzrostu w każdej grupie:

$$170\cdot12=2040,\qquad 175\cdot8=1400$$

Krok 2 — suma łączna i liczba osób:

$$2040+1400=3440,\qquad 12+8=20$$

Krok 3 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{3440}{20}=172\ \text{cm}$$

Kontrola: wynik $172$ jest bliżej $170$ niż $175$, bo pierwsza grupa jest liczniejsza ✔ (zwykła średnia dałaby błędne $172{,}5$).

Odpowiedź: średni wzrost to $172$ cm.

Krok 1 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{1+3+5+7}{4}=4$$

Krok 2 — kwadraty odchyleń:

$$(-3)^2=9,\quad (-1)^2=1,\quad 1^2=1,\quad 3^2=9$$

Krok 3 — wariancja:

$$\sigma^2=\frac{9+1+1+9}{4}=\frac{20}{4}=5$$

Krok 4 — odchylenie standardowe:

$$\sigma=\sqrt5\approx2{,}24$$

Odpowiedź: wariancja $5$, odchylenie $\sqrt5\approx2{,}24$.

Zestaw ma $5$ elementów, więc mediana to element środkowy — trzeci w kolejności. Tutaj to $8$, co zgadza się z warunkiem.

Warunek na $x$: ciąg ma być uporządkowany rosnąco, więc $x$ musi leżeć między poprzednikiem $3$ a następnikiem $8$:

$$3\le x\le 8$$

Dowolna taka wartość zachowuje $8$ na trzeciej pozycji. Nie da się wyznaczyć $x$ jednoznacznie.

Odpowiedź: C. $3\le x\le 8$.

Odchylenie rośnie wraz z rozproszeniem danych.

Zestaw A ma odchylenie $0$ (wszystkie równe), B jest ciasno skupiony wokół $10$, a C rozrzucony od $1$ do $19$.

Wskazówka: nie trzeba liczyć — wystarczy porównać rozrzut. Rozstęp zestawu C wynosi $18$, a B tylko $2$.

Odpowiedź: C. $1$, $5$, $15$, $19$.

Reguła: gdy do każdej wartości dodamy tę samą liczbę, średnia rośnie o tę samą liczbę.

$$\bar{x}_{nowa}=62+3=65$$

Uzasadnienie: suma rośnie o $25\cdot3=75$, więc nowa średnia to $\frac{62\cdot25+75}{25}=62+3=65$.

Warto wiedzieć: takie przesunięcie nie zmienia odchylenia standardowego — rozproszenie danych pozostaje takie samo.

Odpowiedź: nowa średnia to $65$ punktów.

Krok 1 — wagi. Nie musimy znać liczby uczniów — wystarczą udziały $0{,}6$ i $0{,}4$.

Krok 2 — średnia ważona:

$$\bar{x}=0{,}6\cdot80+0{,}4\cdot55=48+22=70\ \text{punktów}$$

Kontrola: wynik leży między $55$ a $80$, bliżej $80$ — bo ta grupa jest większa ✔ Zwykła średnia dałaby $67{,}5$.

Odpowiedź: $70$ punktów.

Krok 1. Po dołożeniu szóstej liczby (największej) zestaw uporządkowany to:

$$2,\ 5,\ 9,\ 11,\ 12,\ x \qquad (x\ge 12)$$

Krok 2 — mediana sześciu liczb to średnia trzeciej i czwartej:

$$\text{mediana}=\frac{9+11}{2}=10$$

Ale warunek mówi, że mediana ma być $7$ — sprzeczność. Sprawdźmy więc, czy dane są spójne.

Wniosek: przy pięciu ustalonych wartościach $2$, $5$, $9$, $11$, $12$ i szóstej największej mediana zawsze wynosi $10$, a nie $7$. Zadanie z takim warunkiem nie ma rozwiązania — to przykład danych sprzecznych, które trzeba umieć rozpoznać.

Odpowiedź: nie istnieje taka liczba; podane warunki są sprzeczne (mediana tego zestawu to $10$).

Krok 1 — z warunku na średnią:

$$\frac{x+4+6+10}{4}=6 \quad\Rightarrow\quad x+20=24 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Krok 2 — porządkujemy zestaw:

$$4,\ 4,\ 6,\ 10$$

Krok 3 — mediana. Cztery elementy, więc średnia dwóch środkowych:

$$\frac{4+6}{2}=5$$

Warto zauważyć: mediana ($5$) jest tu mniejsza od średniej ($6$) — to typowe, gdy w danych jest wartość wyraźnie wyższa od reszty.

Odpowiedź: $x=4$, mediana $5$.

Krok 1 — średnia:

$$\bar{x}=\frac{10+10+16+16}{4}=\frac{52}{4}=13$$

Krok 2 — kwadraty odchyleń:

$$(10-13)^2=9,\quad (10-13)^2=9,\quad (16-13)^2=9,\quad (16-13)^2=9$$

Krok 3 — wariancja:

$$\sigma^2=\frac{9+9+9+9}{4}=\frac{36}{4}=9$$

Krok 4 — odchylenie standardowe:

$$\sigma=\sqrt{9}=3$$

Interpretacja: każda wartość jest oddalona od średniej o dokładnie $3$, więc odchylenie standardowe też wynosi $3$.

Odpowiedź: $\sigma=3$.

Krok 1 — średnia:

$$\frac{9\cdot4000+46\,000}{10}=\frac{36\,000+46\,000}{10}=\frac{82\,000}{10}=8200\ \text{zł}$$

Krok 2 — mediana. Uporządkowany zestaw to dziewięć razy $4000$ i raz $46\,000$. Przy dziesięciu elementach mediana to średnia piątej i szóstej wartości — obie wynoszą $4000$:

$$\text{mediana}=4000\ \text{zł}$$

Krok 3 — ocena. Średnia $8200$ zł nie opisuje nikogo: dziewięciu pracowników zarabia o połowę mniej, a prezes wielokrotnie więcej. Mediana $4000$ zł oddaje sytuację typowego pracownika.

Dlatego w raportach o zarobkach podaje się medianę — średnia bywa zniekształcona przez nieliczne bardzo wysokie pensje.

Odpowiedź: średnia $8200$ zł, mediana $4000$ zł; lepiej opisuje mediana.

Krok 1 — suma dotychczasowych ocen:

$$4\cdot9=36$$

Krok 2 — oznaczenia. Niech $k$ to liczba dodatkowych piątek. Po nich będzie $9+k$ prac, a suma ocen $36+5k$. Żądamy średniej $4{,}5$:

$$\frac{36+5k}{9+k}=4{,}5$$

Krok 3 — mnożymy na krzyż:

$$36+5k=4{,}5(9+k)=40{,}5+4{,}5k$$

Krok 4 — rozwiązujemy:

$$5k-4{,}5k=40{,}5-36 \quad\Rightarrow\quad 0{,}5k=4{,}5 \quad\Rightarrow\quad k=9$$

Sprawdzenie: $\frac{36+45}{18}=\frac{81}{18}=4{,}5$ ✔

Odpowiedź: uczeń musi zdobyć co najmniej $9$ piątek.

Zestaw pierwszy. Odchylenia: $-2$, $0$, $2$; ich kwadraty: $4$, $0$, $4$.

$$\sigma_1^2=\frac{8}{3},\qquad \sigma_1=\sqrt{\tfrac83}\approx1{,}63$$

Zestaw drugi. Odchylenia: $-8$, $0$, $8$; ich kwadraty: $64$, $0$, $64$.

$$\sigma_2^2=\frac{128}{3},\qquad \sigma_2=\sqrt{\tfrac{128}{3}}\approx6{,}53$$

Wniosek. Ta sama średnia nie oznacza podobnych danych. Drugi zestaw jest czterokrotnie bardziej rozproszony — dokładnie tyle, ile wynosi stosunek odchyleń, bo wszystkie odległości od średniej są w nim cztery razy większe.

Praktyczny sens. Dlatego sama średnia to za mało do opisu danych. Dwie klasy mogą mieć identyczną średnią ocen, ale w jednej wyniki będą wyrównane, a w drugiej skrajne — i to odchylenie standardowe tę różnicę pokazuje.

Odpowiedź: $\sigma_1\approx1{,}63$, $\sigma_2\approx6{,}53$.