Koło w układzie współrzędnych

Ogólna postać równania okręgu:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Dla środka $(0,0)$ i $r=5$:

$$x^2+y^2=25$$

Uwaga: po prawej stronie stoi promień do kwadratu, a nie sam promień.

Odpowiedź: B. $x^2+y^2=25$.

Porównujemy z postacią $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$:

$$a=2,\qquad b=-3,\qquad r=\sqrt{16}=4$$

Uwaga na znak. Zapis $(y+3)^2$ to $\bigl(y-(-3)\bigr)^2$, więc druga współrzędna środka jest ujemna. To najczęstsza pomyłka przy odczytywaniu.

Odpowiedź: $S=(2,\ -3)$, $r=4$.

Podstawiamy do wzoru ogólnego:

$$(x-1)^2+\bigl(y-(-2)\bigr)^2=3^2$$

$$(x-1)^2+(y+2)^2=9$$

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y+2)^2=9$.

Równanie $x^2+y^2=9$ opisuje sam okrąg — brzeg figury.

Nierówność nieostra $x^2+y^2\le9$ dołącza wnętrze, więc opisuje koło wraz z brzegiem.

Promień: $r=\sqrt9=3$.

Odpowiedź: B. koło o promieniu $3$.

Podstawiamy współrzędne punktu:

$$3^2+4^2=9+16=25$$

Lewa strona równa się prawej, więc punkt leży na okręgu.

Interpretacja: odległość punktu $(3,4)$ od początku układu wynosi dokładnie $5$ — to znana trójka pitagorejska $3$, $4$, $5$.

Odpowiedź: tak, punkt leży na okręgu.

Przepisujemy równanie w postaci wzorcowej:

$$\bigl(x-(-1)\bigr)^2+(y-2)^2=2^2$$

Stąd $S=(-1,\ 2)$ oraz $r=2$.

Zasada: we wzorze występuje odejmowanie, więc znaki we współrzędnych środka są przeciwne do tych widocznych w nawiasach.

Odpowiedź: B. $(-1,\ 2)$.

Krok 1 — grupujemy wyrazy z tą samą zmienną:

$$\left(x^2-4x\right)+\left(y^2+6y\right)-3=0$$

Krok 2 — uzupełniamy każdą grupę do kwadratu:

$$x^2-4x=(x-2)^2-4$$

$$y^2+6y=(y+3)^2-9$$

Krok 3 — wstawiamy z powrotem:

$$(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3=0$$

Krok 4 — porządkujemy:

$$(x-2)^2+(y+3)^2=16$$

Odpowiedź: $S=(2,\ -3)$, $r=4$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

$$d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $d=5$.

Porównujemy odległość środków z sumą promieni:

$$r_1+r_2=3+4=7=d$$

Gdy $d=r_1+r_2$, okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny i leżą na zewnątrz siebie — są styczne zewnętrznie.

Pełna klasyfikacja: $d>r_1+r_2$ — rozłączne zewnętrznie; $d=r_1+r_2$ — styczne zewnętrznie; $|r_1-r_2|

Odpowiedź: B. styczne zewnętrznie.

Krok 1 — liczymy wartości graniczne:

$$r_1+r_2=7,\qquad |r_1-r_2|=3$$

Krok 2 — porównujemy z $d=3$:

$$d=|r_1-r_2|$$

Krok 3 — wniosek. Okręgi są styczne wewnętrznie — mniejszy leży wewnątrz większego i dotyka go w jednym punkcie.

Odpowiedź: styczne wewnętrznie.

Dwa różne okręgi mogą mieć $0$, $1$ albo $2$ punkty wspólne. „Przecinające się” oznacza właśnie dwa punkty.

Jeden punkt to styczność, zero — rozłączność. Nieskończenie wiele punktów wspólnych miałyby tylko okręgi identyczne.

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1 — na osi $OX$ zachodzi $y=0$:

$$x^2+0=25$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x^2=25 \quad\Rightarrow\quad x=5 \ \text{lub}\ x=-5$$

Krok 3 — punkty:

$$(5,\ 0) \quad\text{oraz}\quad (-5,\ 0)$$

Uwaga: pierwiastkując równanie kwadratowe, bierzemy oba znaki — pominięcie ujemnego to typowy błąd.

Odpowiedź: $(5,0)$ i $(-5,0)$.

Krok 1 — odczytujemy promień:

$$r^2=16 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi r^2=16\pi\approx50{,}27$$

Skrót: we wzorze na pole i tak występuje $r^2$, a to dokładnie liczba stojąca po prawej stronie nierówności — pierwiastkowanie było zbędne.

Odpowiedź: $P=16\pi$.

Krok 1 — odczytujemy dane okręgu: $S=(3,\ 4)$, $r=3$.

Krok 2 — odległość punktu od środka:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}=5$$

Krok 3 — porównujemy z promieniem:

$$5>3 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt leży na zewnątrz}$$

Reguła: $dr$ — na zewnątrz.

Odpowiedź: C. na zewnątrz.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu na okręgu:

$$r=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — układamy równanie:

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Sprawdzenie punktem $A$: $9+16=25$ ✔

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-3)^2=25$.

Suma dwóch kwadratów jest zerem tylko wtedy, gdy oba składniki są zerami:

$$x=0 \quad\text{i}\quad y=0$$

Zbiorem rozwiązań jest jeden punkt $(0,\ 0)$ — to okrąg „zdegenerowany” o promieniu zerowym.

Dla porównania: równanie $x^2+y^2=-1$ opisuje zbiór pusty, bo suma kwadratów nigdy nie jest ujemna.

Odpowiedź: B. jeden punkt.

Krok 1 — odczytujemy dane:

$$S_1=(1,\ 2),\ r_1=3;\qquad S_2=(5,\ 5),\ r_2=2$$

Krok 2 — odległość środków:

$$d=\sqrt{(5-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5$$

Krok 3 — wartości graniczne:

$$r_1+r_2=5,\qquad |r_1-r_2|=1$$

Krok 4 — porównanie:

$$d=r_1+r_2=5$$

Wniosek. Okręgi są styczne zewnętrznie — mają dokładnie jeden punkt wspólny i leżą po przeciwnych stronach stycznej poprowadzonej w tym punkcie.

Odpowiedź: styczne zewnętrznie.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^2+6x\right)+\left(y^2-8y\right)+9=0$$

Krok 2 — uzupełniamy do kwadratów. Bierzemy połowę współczynnika przy zmiennej i podnosimy do kwadratu:

$$x^2+6x=(x+3)^2-9$$

$$y^2-8y=(y-4)^2-16$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$(x+3)^2-9+(y-4)^2-16+9=0$$

Krok 4 — porządkujemy:

$$(x+3)^2+(y-4)^2=16$$

Krok 5 — odczytujemy: $S=(-3,\ 4)$ oraz $r=4$.

Sprawdzenie sensowności. Prawa strona wyszła dodatnia, więc równanie faktycznie opisuje okrąg. Gdyby wyszło zero — byłby to punkt, a przy liczbie ujemnej zbiór pusty.

Odpowiedź: $(x+3)^2+(y-4)^2=16$, $S=(-3,4)$, $r=4$.

Krok 1 — co oznacza styczność do osi. Odległość środka od osi $OY$ musi być równa promieniowi.

Krok 2 — odległość od osi $OY$ to wartość bezwzględna pierwszej współrzędnej:

$$r=|3|=3$$

Krok 3 — równanie:

$$(x-3)^2+(y-1)^2=9$$

Sprawdzenie. Punkt styczności to $(0,\ 1)$ — leży na osi $OY$, a podstawienie daje $9+0=9$ ✔

Analogicznie: gdyby okrąg miał być styczny do osi $OX$, promieniem byłaby druga współrzędna, czyli $r=|1|=1$.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y-1)^2=9$.

Krok 1 — szukamy punktów wspólnych. Podstawiamy $y=r$ do równania okręgu:

$$x^2+r^2=r^2$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=0$$

Krok 3 — wniosek. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a to właśnie definicja styczności prostej i okręgu. $\qquad ∎$

Krok 4 — punkt styczności:

$$(0,\ r)$$

Sposób alternatywny. Odległość środka $(0,0)$ od prostej poziomej $y=r$ wynosi $r$ — dokładnie tyle, ile promień. A warunek styczności prostej i okręgu to właśnie równość odległości środka od prostej i promienia.

Sprawdzenie dla $r=5$: prosta $y=5$ dotyka okręgu $x^2+y^2=25$ w punkcie $(0,5)$, czyli w jego najwyższym punkcie ✔