Funkcje parzyste i funkcje nieparzyste

Kąt pełny odpowiada obwodowi okręgu jednostkowego:

$$360^\circ=2\pi \ \text{rad}$$

Stąd przelicznik: $180^\circ=\pi$ radianów.

Odpowiedź: B. $2\pi$.

Mnożymy przez $\frac{\pi}{180^\circ}$:

$$90^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{2}$$

Odpowiedź: $\frac{\pi}{2}$.

Mnożymy przez $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$$\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ$$

Odpowiedź: $60^\circ$.

Sinus powtarza swoje wartości co $2\pi$:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Odpowiedź: C. $2\pi$.

$$135^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{135\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$$

Skracanie: $\frac{135}{180}=\frac34$ po podzieleniu przez $45$.

Odpowiedź: $\frac{3\pi}{4}$.

Tangens powtarza wartości co $\pi$ — dwa razy częściej niż sinus i cosinus:

$$\operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg}x$$

Odpowiedź: A. $\pi$.

Definicja okresu: $f(x+T)=f(x)$ dla każdego $x$.

Wartość w $4\pi$: to $0$ powiększone o dwa okresy:

$$f(4\pi)=f(0)=3$$

Wartość w $-2\pi$: to $0$ pomniejszone o jeden okres:

$$f(-2\pi)=f(0)=3$$

Wniosek: funkcja okresowa przyjmuje tę samą wartość we wszystkich punktach różniących się o wielokrotność okresu.

Odpowiedź: oba równe $3$.

Wzór na długość łuku (kąt w radianach):

$$l=r\cdot\alpha$$

$$l=6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi\approx6{,}28$$

Dlaczego radiany: to właśnie po to wprowadzono miarę łukową — wzór $l=r\alpha$ działa tylko dla kątów w radianach.

Odpowiedź: $l=2\pi$.

Cosinus spełnia $\cos(-x)=\cos x$, więc jest funkcją parzystą — jego wykres jest symetryczny względem osi $OY$.

Dla porównania: sinus jest nieparzysty ($\sin(-x)=-\sin x$).

Odpowiedź: D. parzystą.

Definicja nieparzystości: $f(-x)=-f(x)$.

Dla sinusa z własności kątów przeciwnych:

$$\sin(-x)=-\sin x$$

Warunek jest spełniony dla każdego $x$, więc sinus jest nieparzysty.

Przykład liczbowy: $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12=-\sin\frac{\pi}{6}$ ✔

Interpretacja: wykres sinusa jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Wniosek: $\sin(-x)=-\sin x$ dla każdego $x$, więc sinus jest funkcją nieparzystą.

$$\frac{\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=30^\circ$$

Warto zapamiętać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.

Odpowiedź: B. $30^\circ$.

Krok 1 — sprowadzamy argumenty do znanego. $9=1+2\cdot4$, więc:

$$f(9)=f(1)=5$$

Krok 2 — dla $13$: $13=1+3\cdot4$:

$$f(13)=f(1)=5$$

Zasada: odejmujemy wielokrotność okresu, aż trafimy do znanego argumentu.

Odpowiedź: oba równe $5$.

Krok 1 — przekształcamy wzór $l=r\alpha$:

$$\alpha=\frac{l}{r}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\alpha=\frac{10}{5}=2 \ \text{rad}$$

Interpretacja: miara łukowa to stosunek długości łuku do promienia — dlatego jest bezwymiarowa.

Odpowiedź: $\alpha=2$ radiany.

$$\pi \ \text{rad}=180^\circ$$

To kąt półpełny — połowa kąta pełnego.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Krok 1 — obliczamy $f(-x)$:

$$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$$

Krok 2 — wniosek. Warunek $f(-x)=f(x)$ jest spełniony, więc funkcja jest parzysta.

Sprawdzenie geometryczne: parabola $y=x^2$ jest symetryczna względem osi $OY$ ✔

Odpowiedź: parzysta.

Choć $\sin(x+4\pi)=\sin x$ też zachodzi, najmniejszym okresem dodatnim jest $2\pi$ — po tylu radianach wykres po raz pierwszy się powtarza.

Odpowiedź: A. $2\pi$.

Krok 1 — reguła dla funkcji $\sin(bx)$. Okres skraca się $b$-krotnie:

$$T=\frac{2\pi}{|b|}$$

Krok 2 — podstawiamy $b=2$:

$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$$

Sprawdzenie: $\sin\bigl(2(x+\pi)\bigr)=\sin(2x+2\pi)=\sin2x$ ✔

Interpretacja. Mnożenie argumentu przez $2$ „ściska" wykres poziomo dwukrotnie, więc powtarza się dwa razy szybciej.

Odpowiedź: $T=\pi$.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru:

$$P=\frac12\cdot4^2\cdot\frac{3\pi}{4}$$

Krok 2 — obliczamy:

$$P=\frac12\cdot16\cdot\frac{3\pi}{4}=8\cdot\frac{3\pi}{4}=6\pi$$

Kontrola sensu. Kąt $\frac{3\pi}{4}$ to $135^\circ$, czyli $\frac38$ pełnego kąta. Pole całego koła to $16\pi$, a $\frac38\cdot16\pi=6\pi$ ✔

Zaleta radianów: wzór $P=\frac12 r^2\alpha$ jest prostszy niż wersja ze stopniami ($\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$).

Odpowiedź: $P=6\pi$.

Krok 1 — obliczamy $f(-x)$:

$$f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x$$

Krok 2 — porównujemy z $-f(x)$:

$$-f(x)=-\left(x^3-x\right)=-x^3+x$$

Krok 3 — wniosek. Zachodzi $f(-x)=-f(x)$, więc funkcja jest nieparzysta.

Uwaga metodyczna. Wielomian złożony z samych potęg nieparzystych jest funkcją nieparzystą; z samych parzystych — parzystą. Mieszanka potęg daje funkcję bez symetrii.

Sprawdzenie: $f(-2)=-8+2=-6=-f(2)$ ✔

Krok 1 — założenie. Funkcja $f$ ma okres $T$, czyli dla każdego $x$:

$$f(x+T)=f(x)$$

Krok 2 — stosujemy własność dwukrotnie. Zastępujemy $x$ przez $x+T$:

$$f(x+2T)=f\bigl((x+T)+T\bigr)=f(x+T)$$

Krok 3 — łączymy z założeniem:

$$f(x+2T)=f(x+T)=f(x) \qquad ∎$$

Zatem $2T$ też jest okresem funkcji.

Uogólnienie. Tym samym rozumowaniem każda dodatnia wielokrotność $kT$ ($k\in\mathbb{N}$) jest okresem. Dlatego mówimy o najmniejszym okresie dodatnim — to on jednoznacznie charakteryzuje funkcję.

Wniosek: jeśli $T$ jest okresem, to $2T$ (i każde $kT$) również — co należało wykazać.