Wzajemne położenie okręgu i prostej

$d

Odpowiedź: C.

Styczna: $d=r$.

Odpowiedź: B.

1. $(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-12=0 \Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=25$.

Odpowiedź: $S=(2,-3)$, $r=5$

$d=r$ ⇒ styczna.

Odpowiedź: styczna.

1. $(x-1)^2+(y+2)^2=5-m$; okrąg, gdy $5-m\gt 0$.

Odpowiedź: $m\lt 5$

Dwa.

Odpowiedź: $2$.

1. $r=d(S,l)=\frac{|12+3+10|}{5}=5$.
2. $(x-3)^2+(y+1)^2=25$.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y+1)^2=25$

$d>r$ ⇒ rozłączne, brak punktów wspólnych.

Odpowiedź: $0$.

1. $x^2+(x+1)^2=25 \Rightarrow x^2+x-12=0 \Rightarrow x=3$ lub $x=-4$.
2. Punkty $(3,4)$, $(-4,-3)$; długość $\sqrt{49+49}=7\sqrt2$.

Odpowiedź: $(3,4)$, $(-4,-3)$; $7\sqrt2$

Jeden.

Odpowiedź: $1$.

1. $S_1=(1,2)$, $r_1=2$; $S_2=(4,6)$, $r_2=3$; $|S_1S_2|=\sqrt{9+16}=5=r_1+r_2$ — styczne zewnętrznie.
2. Punkt styczności leży na odcinku $S_1S_2$ w odległości $2$ od $S_1$: $S_1+\frac25[3,4]=\left(\frac{11}5,\frac{18}5\right)$.

Odpowiedź: styczne zewnętrznie w punkcie $\left(\tfrac{11}5,\tfrac{18}5\right)$

$d=r$.

Odpowiedź: B.

1. Odejmujemy: $x^2+y^2-\big[(x-4)^2+(y-2)^2\big]=0 \Rightarrow 8x+4y-20=0 \Rightarrow y=5-2x$.
2. $x^2+(5-2x)^2=10 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=1$ lub $x=3$.
3. $A=(1,3)$, $B=(3,-1)$; prosta $AB$: $y=-2x+5$.

Odpowiedź: $A=(1,3)$, $B=(3,-1)$; $y=-2x+5$

$d>r$ ⇒ rozłączne.

Odpowiedź: rozłączne.

1. Kąt $BAC$ jest prosty, więc $BC$ jest średnicą. Środek: $(3,4)$, $r=\frac{|BC|}2=5$.
2. $(x-3)^2+(y-4)^2=25$.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y-4)^2=25$

$2$.

Odpowiedź: $2$.

1. $|OP|=\sqrt{10}\gt \sqrt5$ — punkt zewnętrzny. Prosta pionowa $x=3$ ma odległość $3\ne\sqrt5$ — nie jest styczna.
2. $y-1=m(x-3)$, czyli $mx-y+1-3m=0$. Styczność: $\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt5$.
3. $(1-3m)^2=5(m^2+1) \Rightarrow 4m^2-6m-4=0 \Rightarrow m=2$ lub $m=-\frac12$.
4. $y=2x-5$ oraz $y=-\frac12x+\frac52$.

Odpowiedź: $y=2x-5$ oraz $y=-\tfrac12x+\tfrac52$

$d

Odpowiedź: A.

1. Środek leży na symetralnej $AB$: środek odcinka $(2,1)$, $a_{AB}=1$, symetralna $y=-x+3$.
2. $x+1=-x+3 \Rightarrow x=1$, $S=(1,2)$.
3. $r^2=|SA|^2=0+4=4$ (kontrola $|SB|^2=4+0$ ✓).

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y-2)^2=4$

Styczna ⇒ $1$.

Odpowiedź: $1$.

1. $x^2=x+2 \Rightarrow x=2$ lub $x=-1$: $A=(-1,1)$, $B=(2,4)$.
2. Środek: $\left(\frac12,\frac52\right)$, $r^2=\frac{|AB|^2}4=\frac{9+9}4=\frac92$.
3. Oś $Oy$ ($x=0$): $\frac14+\left(y-\frac52\right)^2=\frac92 \Rightarrow \left(y-\frac52\right)^2=\frac{17}4$.
4. $y=\frac{5\pm\sqrt{17}}2$.

Odpowiedź: $\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac52\right)^2=\tfrac92$; $\left(0,\tfrac{5\pm\sqrt{17}}2\right)$

$d=\tfrac{15}{5}=3=r$ ⇒ styczna.

Odpowiedź: styczna.

prostopadła.

Odpowiedź: prostopadła.

$0$.

Odpowiedź: C.

$d

Odpowiedź: $2$.

$r=7$.

Odpowiedź: $7$.

$\tfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$.

Odpowiedź: $2\sqrt2$.

$2{,}83<3$ ⇒ sieczna.

Odpowiedź: sieczna.

Jedna.

Odpowiedź: B.

Dwie.

Odpowiedź: $2$.

1. Krok 1. Wyznaczenie punktu $C$.

   Punkt $A$ nie leży na prostej $x+2y-4=0$ ($1-2-4=-5\ne0$), a $B$ leży ($4+0-4=0$). Ramieniem zawartym w prostej jest więc $CB$, zatem $C$ leży na tej prostej: $x_{C}=4-2y_{C}$.

   Z warunku $|CA|=|CB|$: $(x_{C}-1)^{2}+(y_{C}+1)^{2}=(x_{C}-4)^{2}+y_{C}^{2}$, co po uproszczeniu daje $3x_{C}+y_{C}=7$. Łącząc z $x_{C}=4-2y_{C}$: $3(4-2y_{C})+y_{C}=7\Rightarrow y_{C}=1,\ x_{C}=2$. Zatem $C=(2,1)$.

2. Krok 2. Punkt $M$ na $AC$, $|AM|:|MC|=1:4$. $$M=A+\tfrac15(C-A)=(1,-1)+\tfrac15(1,2)=\left(\tfrac{6}{5},-\tfrac{3}{5}\right).$$
3. Krok 3. Promień $=|MC|$. $$r^{2}=\left(2-\tfrac{6}{5}\right)^{2}+\left(1+\tfrac{3}{5}\right)^{2}=\left(\tfrac{4}{5}\right)^{2}+\left(\tfrac{8}{5}\right)^{2}=\tfrac{16}{25}+\tfrac{64}{25}=\tfrac{80}{25}=\tfrac{16}{5}.$$
4. Odpowiedź. Równanie okręgu: $\left(x-\dfrac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{3}{5}\right)^{2}=\dfrac{16}{5}.$

1. Krok 1. Pole czworokąta $ABSC$.

   $SB\perp AB$ i $SC\perp AC$ (styczne), $|SB|=|SC|=\sqrt5=r$, a trójkąty $ABS$ i $ACS$ są przystające. Zatem

   $$P_{ABSC}=2\cdot\tfrac12|AB|\cdot|SB|=|AB|\cdot\sqrt5=15\ \Rightarrow\ |AB|=\frac{15}{\sqrt5}=3\sqrt5.$$
2. Krok 2. Odległość $|AS|$.

   Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABS$: $|AS|^{2}=|AB|^{2}+r^{2}=(3\sqrt5)^{2}+5=45+5=50.$

3. Krok 3. Punkt $S$ na prostej.

   Niech $S=(s,\,s+1)$. Wtedy

   $$|AS|^{2}=(s-1)^{2}+(s+1-2)^{2}=(s-1)^{2}+(s-1)^{2}=2(s-1)^{2}=50.$$ $$(s-1)^{2}=25\ \Rightarrow\ s-1=\pm5\ \Rightarrow\ s=6\ \lor\ s=-4.$$
4. Odpowiedź. $S=(6,\,7)$ lub $S=(-4,\,-3)$ (w obu przypadkach $|AS|=5\sqrt2>\sqrt5$).

1. Krok 1. Punkty $A$ i $B$.

   Z prostej $y=x-2$. Podstawiamy do równania paraboli:

   $$x-2=4x^{2}-7x+1\ \Rightarrow\ 4x^{2}-8x+3=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac12\ \lor\ x=\tfrac32.$$

   Stąd $A=\left(\tfrac12,-\tfrac32\right)$, $B=\left(\tfrac32,-\tfrac12\right)$ (z rysunku $A$ jest punktem niżej).

2. Krok 2. Środek i promień okręgu.

   Środek $=$ środek $AB=\left(1,-1\right)$. $|AB|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt2$, więc $r=\tfrac{\sqrt2}{2}$, a $r^{2}=\tfrac12$. Równanie okręgu: $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=\tfrac12$.

3. Krok 3. Kierunek prostej $AC$.

   Prosta $l$ ma współczynnik kierunkowy $1$ (kąt $45^{\circ}$ z osią $OX$). Punkt $C$ jest nad prostą $l$, więc prosta $AC$ jest nachylona pod kątem $45^{\circ}+\alpha$, a jej współczynnik kierunkowy:

   $$a=\operatorname{tg}(45^{\circ}+\alpha)=\frac{1+\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha}=\frac{1+\frac13}{1-\frac13}=\frac{\frac43}{\frac23}=2.$$

   Prosta $AC$ przez $A=\left(\tfrac12,-\tfrac32\right)$: $y=2x-\tfrac52$.

4. Krok 4. Punkt $C$ = drugie przecięcie $AC$ z okręgiem.

   Podstawiamy $y=2x-\tfrac52$ (wtedy $y+1=2x-\tfrac32$) do równania okręgu:

   $$(x-1)^{2}+\left(2x-\tfrac32\right)^{2}=\tfrac12\ \Rightarrow\ 5x^{2}-8x+\tfrac{11}{4}=0\ \Rightarrow\ 20x^{2}-32x+11=0.$$ $$x=\frac{32\pm\sqrt{1024-880}}{40}=\frac{32\pm12}{40}\ \Rightarrow\ x=\tfrac{11}{10}\ \lor\ x=\tfrac12.$$

   Wartość $x=\tfrac12$ odpowiada punktowi $A$, więc dla $C$: $x=\tfrac{11}{10}$, a $y=2\cdot\tfrac{11}{10}-\tfrac52=-\tfrac{3}{10}$.

5. Odpowiedź. $C=\left(\dfrac{11}{10},\,-\dfrac{3}{10}\right)$.