Obliczanie granic ciągów (1)

Gdy $n$ rośnie nieograniczenie, mianownik staje się coraz większy, a cały ułamek dąży do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

Odpowiedź: B. $0$.

Warunek zbieżności dotyczy modułu ilorazu:

$$|q|<1$$

Odpowiedź: B. $|q|<1$.

Dzielimy licznik i mianownik przez $n$:

$$\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$$

Gdy $n\to\infty$, składnik $\frac1n$ dąży do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac1n\right)=2$$

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — iloraz: $q=\frac12$, $|q|<1$ ✔

Krok 2 — wzór na sumę szeregu:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\frac12}=\frac{8}{\frac12}=16$$

Odpowiedź: $S=16$.

Stopnie licznika i mianownika są równe ($2$), więc granica to iloraz współczynników przy najwyższej potędze:

$$\frac{3}{2}=1{,}5$$

Odpowiedź: C. $\frac32$.

Gdy $n$ rośnie nieograniczenie, $\frac1n$ maleje do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

Odpowiedź: $0$.

Stopień licznika ($1$) jest mniejszy od stopnia mianownika ($2$), więc mianownik rośnie znacznie szybciej.

Dzieląc przez $n^2$:

$$\frac{\frac1n+\frac{2}{n^2}}{1} \ \longrightarrow \ 0$$

Odpowiedź: $0$.

Iloraz $q=\frac13$:

$$S=\frac{1}{1-\frac13}=\frac{1}{\frac23}=\frac32$$

Odpowiedź: C. $\frac32$.

Stopień licznika ($3$) jest większy od stopnia mianownika ($2$), więc licznik rośnie szybciej.

Dzielimy przez $n^2$:

$$\frac{n-\frac2n}{1+\frac{1}{n^2}} \ \longrightarrow \ \frac{\infty}{1}=\infty$$

Wniosek: ciąg jest rozbieżny do plus nieskończoności.

Odpowiedź: $+\infty$.

Rozdzielamy ułamek:

$$\frac{3n+1}{n}=3+\frac{1}{n}\to3+0=3$$

Odpowiedź: $3$.

Wyrazy ciągu to $\frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \ldots$ — coraz mniejsze, ale zawsze dodatnie.

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$$

Odpowiedź: A. zbieżny do $0$.

Dla $q=1$ warunek $|q|<1$ nie jest spełniony — szereg jest rozbieżny (sumy częściowe rosną bez ograniczeń).

Odpowiedź: A. rozbieżny.

Krok 1 — sprawdzamy warunek zbieżności. Iloraz to $q=\frac12$, a $|q|<1$, więc szereg jest zbieżny.

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S=\frac{a_1}{1-q}$$

Krok 3 — podstawiamy $a_1=1$, $q=\frac12$:

$$S=\frac{1}{1-\frac12}=\frac{1}{\frac12}=2$$

Odpowiedź: $S=2$.

Krok 1 — iloraz:

$$q=\frac{-3}{9}=-\frac13,\qquad |q|=\frac13<1 \ ✔$$

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S=\frac{9}{1-(-\frac13)}=\frac{9}{\frac43}=9\cdot\frac34=\frac{27}{4}$$

Uwaga: iloraz ujemny — w mianowniku $1-q=1+\frac13$.

Odpowiedź: $S=\frac{27}{4}=6{,}75$.

Warunek zbieżności szeregu geometrycznego dotyczy wyłącznie ilorazu:

$$|q|<1$$

Dlaczego: tylko wtedy kolejne wyrazy maleją co do wartości bezwzględnej na tyle szybko, że ich suma jest skończona.

Odpowiedź: D. $|q|<1$.

Rozdzielamy ułamek:

$$\frac{2n^2+1}{n^2}=2+\frac{1}{n^2}\to2+0=2$$

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — wyznaczamy iloraz:

$$q=\frac{2}{6}=\frac13$$

Ponieważ $\left|\frac13\right|<1$, szereg jest zbieżny.

Krok 2 — suma:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac13}=\frac{6}{\frac23}=6\cdot\frac32=9$$

Odpowiedź: $S=9$.

$$S=\frac{5}{1-\frac12}=\frac{5}{\frac12}=10$$

Odpowiedź: D. $10$.

Składnik $\frac{5}{n}$ dąży do zera, gdy $n$ rośnie:

$$\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac5n\right)=3-0=3$$

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — dzielimy przez $n$:

$$\frac{n+2}{2n-1}=\frac{1+\frac{2}{n}}{2-\frac{1}{n}}$$

Krok 2 — granica:

$$\frac{1+0}{2-0}=\frac12$$

Reguła: dla ilorazu wielomianów tego samego stopnia granica to iloraz współczynników wiodących.

Odpowiedź: $\frac12$.

Wyrazy ciągu rosną nieograniczenie: $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots$

$$\lim_{n\to\infty}(2n+1)=+\infty$$

Ciąg jest rozbieżny — nie ma granicy skończonej.

Odpowiedź: B. rozbieżny do $+\infty$.

$$S=\frac{\frac12}{1-\frac12}=\frac{\frac12}{\frac12}=1$$

Interpretacja: słynny szereg — sumy częściowe zbliżają się do $1$, nigdy go nie przekraczając.

Odpowiedź: B. $1$.

Stopnie są równe, więc dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:

$$\frac{4-\frac1n}{2+\frac3n} \ \longrightarrow \ \frac{4-0}{2+0}=2$$

Skrót: iloraz współczynników przy $n^2$, czyli $\frac42=2$.

Odpowiedź: $2$.

Warunek zbieżności to $|q|<1$:

$$|x|<1 \quad\Rightarrow\quad -1

$$x\in(-1,\ 1)$$

Odpowiedź: $x\in(-1,\ 1)$.

Warunek zbieżności to $|q|<1$, czyli:

$$|x|<1$$

Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną:

$$x\in(-1,\,1)$$

Uwaga: końce nie należą — dla $x=1$ szereg to $a_1+a_1+a_1+\ldots$ (rozbieżny), a dla $x=-1$ wyrazy oscylują i suma nie ma granicy.

Odpowiedź: $x\in(-1,\,1)$.

Krok 1 — zapis jako szereg:

$$0{,}(3)=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\dots$$

Krok 2 — parametry: $a_1=\frac{3}{10}$, $q=\frac{1}{10}$.

Krok 3 — suma:

$$S=\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac13$$

Wniosek: $0{,}(3)=\frac13$ — potwierdza znaną zamianę ułamka okresowego.

Odpowiedź: $\frac13$.

Mamy $a_1=\frac12$ oraz $q=\frac12$:

$$S=\frac{\frac12}{1-\frac12}=\frac{\frac12}{\frac12}=1$$

Intuicja: dodając kolejne połówki reszty, zbliżamy się do całości, ale nigdy jej nie przekraczamy.

Odpowiedź: C. $1$.

Potęga liczby z przedziału $(0,1)$ maleje do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac12\right)^n=0$$

Ogólnie: $\lim q^n=0$ dla $|q|<1$.

Odpowiedź: A. $0$.

Licznik jest stały, a mianownik rośnie nieograniczenie:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n^2+1}=0$$

Odpowiedź: $0$.

Krok 1 — wzór na sumę:

$$\frac{a_1}{1-q}=12 \quad\Rightarrow\quad \frac{8}{1-q}=12$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$8=12(1-q) \quad\Rightarrow\quad 1-q=\frac23 \quad\Rightarrow\quad q=\frac13$$

Krok 3 — sprawdzamy zbieżność: $|q|=\frac13<1$ ✔

Odpowiedź: $q=\frac13$.

Dla ciągu A dzielimy przez $n$:

$$\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac1n} \ \longrightarrow \ 1$$

Ciąg jest zbieżny do $1$.

Pozostałe rosną nieograniczenie, więc są rozbieżne.

Odpowiedź: A.

Mianownik rośnie do nieskończoności, więc ułamek dąży do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n^2}=0$$

Odpowiedź: C. $0$.

Krok 1 — korzystamy ze wzoru na sumę:

$$S=\frac{a_1}{1-q} \quad\Rightarrow\quad 12=\frac{8}{1-q}$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$12(1-q)=8 \quad\Rightarrow\quad 1-q=\frac{8}{12}=\frac23 \quad\Rightarrow\quad q=\frac13$$

Krok 3 — sprawdzamy warunek zbieżności: $\left|\frac13\right|<1$ ✔

Weryfikacja: $\frac{8}{1-\frac13}=\frac{8}{\frac23}=12$ ✔

Odpowiedź: $q=\frac13$.

Krok 1 — dzielimy przez najwyższą potęgę $n^2$:

$$\frac{n^2-3n}{2n^2+1}=\frac{1-\frac{3}{n}}{2+\frac{1}{n^2}}$$

Krok 2 — granica. Składniki $\frac{3}{n}$ i $\frac{1}{n^2}$ dążą do zera:

$$\frac{1-0}{2+0}=\frac12$$

Reguła. Dla ilorazu wielomianów tego samego stopnia granica to stosunek współczynników wiodących ($\frac{1}{2}$).

Odpowiedź: $\frac12$.

Liczymy granicę każdego składnika osobno (obie istnieją i są skończone).

Krok 1 — pierwszy ułamek (stopnie równe):

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+1}=\frac{2}{1}=2$$

Krok 2 — drugi ułamek:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{1}=1$$

Krok 3 — różnica granic:

$$2-1=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — pierwszy spadek: $3$ m.

Krok 2 — kolejne odbicia. Każde wzniesienie na wysokość $h$ to droga $2h$ (w górę i w dół). Wysokości odbić tworzą szereg geometryczny:

$$a_1=2,\quad q=\frac23$$

Krok 3 — suma wysokości odbić (×2):

$$S_{\text{odbicia}}=\frac{2}{1-\frac23}=\frac{2}{\frac13}=6\ \text{m}$$

Krok 4 — droga całkowita:

$$3+6=9\ \text{m}$$

Uwaga. Pierwszy spadek liczymy raz, każde odbicie podwójnie — stąd $a_1=2\cdot(3\cdot\frac23)=4$? Sprawdźmy: pierwsze wzniesienie to $3\cdot\frac23=2$ m, droga w górę i w dół to $4$ m... — przyjmujemy sumę dróg odbić jako $2\cdot\frac{2}{1-\frac23}=2\cdot6=12$? Uporządkujmy w kroku końcowym.

Poprawny rachunek. Wysokości odbić: $2, \frac43, \dots$, suma $=\frac{2}{1-\frac23}=6$. Każdą przebywa dwukrotnie: $2\cdot6=12$. Z pierwszym spadkiem: $3+12=15$ m.

Odpowiedź: $15$ m.

Krok 1 — pierwsze odbicie:

$$a_1=9\cdot\frac13=3\ \text{m}$$

Krok 2 — kolejne odbicia tworzą szereg geometryczny o ilorazie $q=\frac13$ (a $|q|<1$, więc zbieżny):

$$3+1+\frac13+\ldots$$

Krok 3 — suma:

$$S=\frac{3}{1-\frac13}=\frac{3}{\frac23}=4{,}5\ \text{m}$$

Kontrola sensu: suma jest skończona, mimo nieskończenie wielu odbić — to typowa cecha szeregu zbieżnego.

Odpowiedź: $4{,}5$ m.

Krok 1 — rozdzielamy ułamek:

$$\frac{2^n+1}{2^n}=1+\frac{1}{2^n}$$

Krok 2 — granica. Składnik $\frac{1}{2^n}$ dąży do zera (bo $2^n\to\infty$):

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)=1+0=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — rozpisujemy jako szereg:

$$0{,}(3)=0{,}3+0{,}03+0{,}003+\ldots$$

Krok 2 — rozpoznajemy parametry. Pierwszy wyraz $a_1=0{,}3=\frac{3}{10}$, a iloraz $q=0{,}1=\frac{1}{10}$ (bo $|q|<1$, szereg jest zbieżny).

Krok 3 — suma:

$$S=\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{3}{9}=\frac13$$

Wniosek: $0{,}(3)=\frac13$ — to dowód, że rozwinięcie okresowe zawsze odpowiada liczbie wymiernej.

Odpowiedź: $\frac13$.

Krok 1 — suma $n$ początkowych wyrazów:

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^{\,n}}{1-q}$$

Krok 2 — przechodzimy do granicy $n\to\infty$. Ponieważ $|q|<1$, mamy $q^{\,n}\to0$:

$$S=\lim_{n\to\infty}S_n=a_1\cdot\frac{1-0}{1-q}=\frac{a_1}{1-q} \qquad ∎$$

Kluczowy moment. To warunek $|q|<1$ sprawia, że $q^n$ znika w granicy. Dla $|q|\ge1$ potęga nie dąży do zera i szereg jest rozbieżny.

Sprawdzenie: dla $a_1=8$, $q=\frac12$: $S=\frac{8}{1-\frac12}=16$ — zgadza się z zadaniem 2 ✔

1. Krok 1. Uproszczenie symbolu Newtona.

   Ponieważ $\dbinom{n+2}{n-1}=\dbinom{n+2}{3}$ (bo $(n+2)-(n-1)=3$):

   $$\dbinom{n+2}{3}=\frac{(n+2)(n+1)n}{6}=\frac{n^{3}+3n^{2}+2n}{6}.$$
2. Krok 2. Iloraz. $$\frac{\frac{n^{3}+3n^{2}+2n}{6}}{\frac{1}{2}n^{3}-4n+7}=\frac{n^{3}+3n^{2}+2n}{6\left(\frac{1}{2}n^{3}-4n+7\right)}=\frac{n^{3}+3n^{2}+2n}{3n^{3}-24n+42}.$$
3. Krok 3. Granica (dzielimy przez $n^{3}$). $$\lim_{n\to+\infty}\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^{2}}}{3-\frac{24}{n^{2}}+\frac{42}{n^{3}}}=\frac{1}{3}.$$