Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$
Zmienia się znak drugiej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,y)$$
Zmienia się znak pierwszej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(-4,\,-2)$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,-y)$$
To symetria środkowa o środku $(0,\,0)$ — zmieniają się obie współrzędne.
Dla środka $S=(a,\,b)$ obrazem punktu $P=(x,\,y)$ jest:
$$P^{\prime}=(2a-x,\ 2b-y)$$
Wynika to z faktu, że $S$ jest środkiem odcinka $PP^{\prime}$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (y,\,x)$$
Współrzędne zamieniają się miejscami — tak właśnie powstaje wykres funkcji odwrotnej.
Łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Zapamiętaj tak: symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$; symetria względem osi OY „odbija w poziomie”, więc rusza $x$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny jest dobrym kontrprzykładem.
Co robi: podaje współrzędne obrazu punktu w podstawowych symetriach.
Elementy: symetria względem osi OX zmienia znak drugiej współrzędnej, względem osi OY — pierwszej, a symetria środkowa o środku $(a,\,b)$ obie, według wzoru wynikającego z tego, że środek symetrii jest środkiem odcinka łączącego punkt z jego obrazem.
Przykład: punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$ w symetrii względem OX, na $(-4,\,-2)$ względem OY i na $(-4,\,2)$ w symetrii względem początku układu.
Symetria względem prostej $y=x$: współrzędne zamieniają się miejscami, $(x,\,y)\to(y,\,x)$ — tak powstaje wykres funkcji odwrotnej.
Własności: każda symetria zachowuje odległości, kąty i pola, więc figura i jej obraz są przystające.
Pułapka: łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny ma trzy osie, ale środka nie ma.
Obrazem punktu $A=(3,\ 5)$ w symetrii względem osi $OX$ jest:
Podaj obraz punktu $A=(-2,\ 4)$ w symetrii względem osi $OY$.
Odległość między punktami $A=(1,-2)$ i $B=(4,2)$ jest równa
Podaj obraz punktu $A=(3,\ -7)$ w symetrii względem początku układu $O$.
Środkiem odcinka o końcach $A=(-3,5)$ i $B=(7,1)$ jest punkt
Symetria względem początku układu przekształca $(x,\ y)$ na:
Okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ ma środek $S$ i promień $r$. Wtedy
Punkt $A=(2,\ 3)$ i jego obraz $A'=(2,\ -3)$. Względem czego wykonano symetrię?
Okrąg o środku $S=(1,2)$ przechodzi przez punkt $P=(4,6)$. Ten okrąg ma równanie
Obrazem punktu $(0,\ 5)$ w symetrii względem osi $OY$ jest:
Punkt $A=(1,1)$ jest środkiem odcinka $BC$, gdzie $B=(-3,4)$. Punkt $C$ ma współrzędne
Punkt $B$ jest obrazem $A=(4,\ 1)$ w symetrii środkowej względem punktu $S=(1,\ 2)$. Wyznacz współrzędne $B$.
Punkt symetryczny do punktu $P=(3,-5)$ względem osi $Oy$ ma współrzędne
Podaj obrazy punktu $P=(5,\ -2)$ w symetriach względem: osi $OX$, osi $OY$ i początku układu.
Punkty $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,8)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie ma współrzędne
Który punkt jest stały w symetrii względem początku układu?
Dany jest okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-1)^2=13$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=2x+3$ względem osi $OX$.
Punkty $A=(-1,2)$, $B=(5,0)$, $C=(6,4)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz współrzędne wierzchołka $D$.
Obrazem punktu $(a,\ b)$ w symetrii względem prostej $y=x$ jest:
W równoległoboku $ABCD$ dane są $A=(1,-2)$ i $B=(7,1)$, a przekątne przecinają się w punkcie $P=(5,4)$. Oblicz długość boku $BC$ oraz obwód równoległoboku.
Trójkąt ma wierzchołki $A=(1,\ 1)$, $B=(4,\ 1)$, $C=(1,\ 5)$. Podaj współrzędne obrazu w symetrii względem osi $OY$.
Punkt $A'=(6,\ -1)$ jest obrazem $A$ w symetrii względem początku układu. Wyznacz $A$.
Funkcja, której wykres jest symetryczny względem osi $OY$, to funkcja:
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=3x-1$ względem początku układu.
Obrazem punktu $(2,\ 8)$ w symetrii względem punktu $S=(2,\ 8)$ jest:
Punkt $A=(3,\ -4)$ odbito względem osi $OX$, otrzymując $A'$, a następnie $A'$ odbito względem osi $OY$, otrzymując $A''$. Wyznacz $A''$ i porównaj z symetrią środkową punktu $A$.
Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do $(x-2)^2+(y-3)^2=9$ względem osi $OX$.
Punkty $A=(-3,\ 2)$ i $B=(5,\ 2)$ są symetryczne względem pewnej prostej pionowej. Wyznacz równanie tej prostej.
Wykaż, że złożenie dwóch symetrii względem osi $OX$ (wykonanych jedna po drugiej) daje przekształcenie tożsamościowe.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.