Iloczyn skalarny wektorów
Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 2
Współrzędne wektora
Wektor o początku $A=(x_A,\,y_A)$ i końcu $B=(x_B,\,y_B)$ ma współrzędne:
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Odwrotna kolejność daje wektor przeciwny $\vec{BA}$.
Długość wektora
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$$
Przykład: dla $\vec{u}=[4,\,2]$ mamy $|\vec{u}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.
Działania na wektorach
$$\vec{u}+\vec{v}=[u_x+v_x,\ u_y+v_y],\qquad k\vec{u}=[k\,u_x,\ k\,u_y]$$
Mnożenie przez liczbę $k>0$ zmienia tylko długość, a $k<0$ dodatkowo odwraca zwrot.
Iloczyn skalarny
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Kąt między wektorami
Znak iloczynu skalarnego od razu mówi, jaki jest kąt:
- $\vec{u}\circ\vec{v}=0 \Rightarrow$ wektory prostopadłe
- $\vec{u}\circ\vec{v}>0 \Rightarrow$ kąt ostry
- $\vec{u}\circ\vec{v}<0 \Rightarrow$ kąt rozwarty
Sam kąt wyznaczamy ze wzoru:
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$$
Wektory równoległe
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego, co sprawdzamy warunkiem:
$$u_x v_y-u_y v_x=0$$
Zastosowania
- przesunięcie punktu o wektor: $(x,\,y)+[p,\,q]=(x+p,\,y+q)$
- środek odcinka jako punkt „w połowie wektora”
- sprawdzanie, czy trzy punkty leżą na jednej prostej (wektory równoległe)
- sprawdzanie prostopadłości boków wielokąta (iloczyn skalarny równy zero)
Na co uważać
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po kolei” — wynikiem jest liczba, którą otrzymujemy przez dodanie iloczynów. Pamiętaj też, że wektor to nie punkt: ten sam wektor może zaczynać się w dowolnym miejscu układu, bo liczy się tylko kierunek, zwrot i długość.
Wektor i jego współrzędne
$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$
Od końca odejmujemy początek. Wektor $\vec{BA}$ ma te same liczby ze zmienionym znakiem — to wektor przeciwny.
Działania
$$\vec{u}\pm\vec{v}=[u_1\pm v_1,\ u_2\pm v_2],\qquad k\vec{u}=[ku_1,\ ku_2]$$
Mnożenie przez liczbę dodatnią zmienia długość, zachowując kierunek i zwrot. Liczba ujemna dodatkowo odwraca zwrot.
Długość wektora
$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa w przebraniu.
Wektor jednostkowy
$$\vec{e}=\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$$
Dla $\vec{u}=[3,-4]$ długość wynosi $5$, więc $\vec{e}=\left[\frac35,-\frac45\right]$. Sprawdzenie: $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$ ✔
Iloczyn skalarny
$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$$
Wynikiem jest liczba, nie wektor — to pierwsza rzecz do zapamiętania.
Co mówi znak iloczynu
- dodatni — kąt ostry
- zero — kąt prosty
- ujemny — kąt rozwarty
Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
Prostopadłość i równoległość
$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$$
$$\vec{u}\parallel\vec{v} \iff \vec{v}=k\vec{u} \ \text{dla pewnego } k$$
Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$. Natomiast $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są równoległe, bo pierwszy to podwojony drugi.
Kąt między wektorami
$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
Dla $[1,\,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,\,1]$: iloczyn to $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
Kwadrat długości
$$\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$$
Bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$, a $\cos0^\circ=1$.
Zastosowania
Przesunięcie punktu: do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora.
Czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$: korzystamy z $\vec{AD}=\vec{BC}$.
Kąt prosty w trójkącie: wystarczy pokazać, że iloczyn skalarny dwóch boków wychodzących z wierzchołka wynosi zero.
Na co uważać
Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po parach” dającym wektor — wynik jest liczbą. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca, nie odwrotnie.
∑Wzory 3
Co robi: pozwala policzyć kąt między wektorami oraz natychmiast rozstrzygnąć, czy są prostopadłe.
Elementy: $u_1$, $u_2$ to współrzędne wektora, $\alpha$ — kąt między wektorami. Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Co mówi znak: dodatni — kąt ostry, zero — kąt prosty, ujemny — kąt rozwarty. Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
Warunek prostopadłości: $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$. Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$.
Kąt: $\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$. Dla $[1,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,1]$ iloczyn wynosi $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
Przydatna tożsamość: $\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$, bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$.
Pułapka: nie myl z „mnożeniem po współrzędnych” dającym wektor — iloczyn skalarny daje liczbę. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca: $\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$.
Co robi: liczy iloczyn skalarny i wiąże go z kątem między wektorami.
Elementy: wektory prostopadłe mają iloczyn skalarny równy $0$.
Przykład: $[2,3]\cdot[4,-1]=8-3=5$.
Co robi: opisuje wektory współrzędnymi i pozwala obliczyć kąt między nimi bez rysunku.
Elementy: $\vec{u}=[u_1,u_2]$. Iloczyn skalarny daje liczbę (nie wektor). Kluczowy wniosek: $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$.
Przykład: $\vec{u}=[3,4]$, $\vec{v}=[4,-3]$: $\vec{u}\circ\vec{v}=12-12=0$, więc wektory są prostopadłe. Ich długości: $|\vec{u}|=|\vec{v}|=5$.
Pułapka: wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Odwrócenie kolejności daje wektor przeciwny $\vec{BA}=-\vec{AB}$.
🧩Quizy 1
✍Zadania 51
Dane są punkty $A=(2,\,3)$ i $B=(7,\,8)$. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$.
Wektor o początku $A=(1,\,2)$ i końcu $B=(5,\,7)$ ma współrzędne:
Oblicz długość wektora $\vec{u}=[6,\,8]$.
Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$, gdy $\vec{u}=[3,-1]$ i $\vec{v}=[2,\,5]$.
Oblicz odległość punktu $P=(3,4)$ od prostej $3x-4y+12=0$.
Dane są wektory $\vec{u}=[3,\,-2]$ i $\vec{v}=[1,\,5]$. Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$ oraz $\vec{u}-\vec{v}$.
Oblicz długość wektora $\vec{u}=[6,\,8]$.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(4,1)$, $C=(1,3)$.
Oblicz iloczyn skalarny wektorów $\vec{u}=[2,\,3]$ i $\vec{v}=[4,\,-1]$.
Iloczyn skalarny wektorów $[2,\,3]$ i $[4,-1]$ wynosi:
Dana jest prosta $k:\ 2x-y+3=0$ i punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do $k$ przechodzącej przez $P$, punkt przecięcia prostych $k$ i $l$ oraz odległość punktu $P$ od prostej $k$.
Dla wektora $\vec{u}=[4,\,-3]$ oblicz $2\vec{u}$ oraz $-\vec{u}$.
Oblicz $3\vec{u}$, gdy $\vec{u}=[-2,\,4]$.
Wyznacz współrzędne punktu $P^\prime$ symetrycznego do punktu $P=(5,0)$ względem prostej $y=x+1$.
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
Wektory są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny:
Prostokąt $ABCD$ ma wierzchołki $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(6,4)$, $D=(0,4)$. Punkt $M$ jest środkiem boku $BC$. Prosta $AM$ przecina przekątną $BD$ w punkcie $P$. Oblicz współrzędne punktu $P$ i pole trójkąta $ABP$.
Sprawdź, czy wektory $\vec{u}=[3,\,4]$ i $\vec{v}=[-4,\,3]$ są prostopadłe.
Sprawdź, czy wektory $\vec{u}=[3,\,4]$ i $\vec{v}=[-8,\,6]$ są prostopadłe.
Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=(-2,1)$, $B=(4,-1)$, $C=(2,5)$. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ oraz pole trójkąta.
Wyznacz współrzędne punktu $B$, jeśli $A=(1,\,4)$ i $\vec{AB}=[5,\,-2]$.
Oblicz $\vec{u}-\vec{v}$ oraz $|\vec{u}-\vec{v}|$, gdy $\vec{u}=[7,\,3]$ i $\vec{v}=[4,-1]$.
Punkty $A=(-1,2)$ i $B=(5,4)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Wierzchołek $C$ leży na prostej $y=x-3$. Oblicz współrzędne punktu $C$ i pole trójkąta $ABC$.
Który wektor jest równoległy do $\vec{u}=[2,\,3]$?
Wektory $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są:
Dane są punkty $A=(1,2)$ i $B=(4,6)$. Wyznacz współrzędne punktu $C$ takiego, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $A$ i $|AC|=10$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,0]$ i $\vec{v}=[1,\,1]$.
Punkt $A=(2,\,1)$ przesunięto o wektor $\vec{u}=[5,-3]$. Podaj współrzędne obrazu punktu $A$.
Oblicz miarę kąta ostrego między prostymi $y=2x$ oraz $y=-3x+1$.
Obrazem punktu $P=(5,\,-3)$ w symetrii względem osi OY jest punkt:
Wektor $\vec{u}=[a,\,3]$ jest prostopadły do $\vec{v}=[6,\,2]$. Wtedy $a$ wynosi:
Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(8,0)$, $C=(2,6)$. Wyznacz środek ciężkości $S$, środek okręgu opisanego $O$ i ortocentrum $H$ tego trójkąta. Wykaż, że punkty $S$, $O$, $H$ leżą na jednej prostej.
Punkt $S=(4,\,1)$ jest środkiem symetrii. Wyznacz obraz punktu $P=(6,\,5)$.
Oblicz $2\vec{u}-3\vec{v}$, gdy $\vec{u}=[1,\,4]$ i $\vec{v}=[2,-1]$.
Sprawdź, czy punkty $A=(1,\,2)$, $B=(3,\,5)$ i $C=(7,\,11)$ leżą na jednej prostej.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,0]$ i $\vec{v}=[1,\,1]$.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest ujemny. Co z tego wynika?
Iloczyn skalarny wektora ze sobą, czyli $\vec{u}\circ\vec{u}$, jest równy:
Dla jakiej wartości $m$ wektory $\vec{u}=[3,\,m]$ i $\vec{v}=[2,\,-6]$ są prostopadłe?
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(4,\,2)$, $C=(5,\,5)$ są trzema wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz współrzędne punktu $D$.
Wyznacz środek odcinka o końcach $A=(-2,\,7)$ i $B=(8,\,-1)$ oraz długość tego odcinka.
Jeśli iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest ujemny, to kąt między nimi jest:
Punkty $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$ i $C=(4,\,3)$ są wierzchołkami trójkąta. Korzystając z wektorów, sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,\sqrt3]$ i $\vec{v}=[\sqrt3,\,1]$.
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,2)$ i $C=(6,\,6)$ są trzema wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz czwarty wierzchołek $D$.
Dane są punkty $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$, $C=(4,\,3)$. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny, korzystając z iloczynu skalarnego, i oblicz jego pole.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,\sqrt3]$ i $\vec{v}=[1,\,0]$.
Wyznacz wektor jednostkowy o tym samym kierunku i zwrocie co $\vec{u}=[3,-4]$.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(5,\,1)$, $C=(2,\,4)$, korzystając ze wzoru wektorowego $P=\frac12\left|x_B y_C-x_C y_B\right|$.
Dane są wektory $\vec{u}=[2,\,1]$ i $\vec{v}=[m,\,4]$. Dla jakiej wartości $m$ wektory są równoległe, a dla jakiej prostopadłe?
