Układy równań drugiego stopnia

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i ułożenie układu równań.
\(x\) - długość pierwszego boku prostokąta
\(y\) - długość drugiego boku prostokąta

Skoro pole prostokąta jest równe \(228\), to:
$$x\cdot y=228$$

Z treści zadania wynika też, że:
$$x-5=y+2$$

To oznacza, że otrzymamy układ równań:
$$\begin{cases}
x\cdot y=228 \           ,\
x-5=y+2
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie chyba rozwiązać ten układ metodą podstawiania, wyznaczając z pierwszego równania wartość igreka:
$$\begin{cases}
y=\frac{228}{x} \           ,\
x-5=y+2
\end{cases}$$

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$x-5=\frac{228}{x}+2 \quad\bigg/\cdot x \           ,\
x^2-5x=228+2x \           ,\
x^2-7x-228=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-228\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-228)=49-(-912)=961 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{961}=31$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-31}{2\cdot1}=\frac{7-31}{2}=\frac{-24}{2}=-12 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+31}{2\cdot1}=\frac{7+31}{2}=\frac{38}{2}=19$$

Ujemną wartość iksa musimy odrzucić, zatem zostaje nam \(x=19\).

Krok 4. Wyznaczenie długości boków prostokąta.
Wiemy już, że jeden z boków prostokąta ma długość \(x=19\). Drugą długość obliczymy korzystając z jednego z równań np.:
$$x\cdot y=228 \           ,\
19y=228 \           ,\
y=12$$

To oznacza, że prostokąt ma boki długości \(19\) oraz \(12\).

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania i ułożenie układu równań.
\(s\) - szerokość pierwszej działki
\(d\) - długość pierwszej działki
\(s+10\) - szerokość drugiej działki
\(d+15\) - długość drugiej działki

Skoro pole prostokąta to P=ab, to dla dwóch działek możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
s\cdot d=6000 \           ,\
(s+10)\cdot(d+15)=6000+2250
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Wymnóżmy najpierw poszczególne nawiasy w drugim równaniu, otrzymując wtedy:
\begin{cases}
s\cdot d=6000 \           ,\
sd+15s+10d+150=8250
\end{cases}

Zgodnie z pierwszym równaniem możemy podstawić do drugiego równania \(sd=6000\) oraz \(s=\frac{6000}{d}\), zatem:
$$6000+15\cdot\frac{6000}{d}+10d+150=8250 \           ,\
\frac{90000}{d}+10d-2100=0 \quad\bigg/\cdot d \           ,\
10d^2-2100d+90000=0 \quad\bigg/:10 \           ,\
d^2-210d+9000=0$$

Wykonanie ostatniego dzielenia przez \(10\) nie jest konieczne, ale dzięki temu będziemy operować na mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-210,\;c=9000\)
$$Δ=b^2-4ac=(-210)^2-4\cdot1\cdot9000=44100-36000=8100 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{8100}=90$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)-90}{2\cdot1}=\frac{210-90}{2}=\frac{120}{2}=60 \           ,\
d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)+90}{2\cdot1}=\frac{210+90}{2}=\frac{300}{2}=150$$

Krok 4. Wyznaczenie wymiarów działki.
Otrzymaliśmy dwa wyniki i żadnego z nich nie możemy wykluczyć. To oznacza, że to zadanie będzie miało dwa rozwiązania.
Jeśli długość działki jest równa \(d=60\), to szerokość wynosi:
$$s=\frac{6000}{d} \           ,\
s=\frac{6000}{60} \           ,\
s=100$$

Jeśli długość działki wynosi \(d=150\), to jej szerokością będzie:
$$s=\frac{6000}{150} \           ,\
s=40$$

Pierwsza działka ma wymiary \(60m\times100m\) lub \(150m\times40m\).

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(s\) - szerokość pierwszego boiska
\(d\) - długość pierwszego boiska
\(s-8\) - szerokość drugiego boiska
\(d+4\) - szerokość drugiego boiska
\(p=65\) - długość przekątnej boiska

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
W tym zadaniu możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa, bowiem długość i szerokość boiska stanowią przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a przekątna boiska byłaby wtedy przeciwprostokątną. Jeśli ułożymy dwa takie równania (dla pierwszego i drugiego boiska) to będziemy w stanie wyznaczyć długość i szerokość, zatem:
\begin{cases}
s^2+d^2=65^2 \           ,\
(s-8)^2+(d+4)^2=65^2
\end{cases}\begin{cases}
s^2+d^2=65^2 \           ,\
s^2-16s+64+d^2+8d+16=65^2
\end{cases}

Odejmując ten układ równań stronami pozbędziemy się zarówno \(s^2\) jaki i \(d^2\). Jeśli tego nie dostrzeżemy, to równie dobrze możemy podstawić po prawej stronie drugiego równania \(65^2=s^2+d^2\) i wtedy osiągniemy identyczny efekt, więc:
$$-16s+64+8d+16=0 \           ,\
-16s+8d+80=0 \           ,\
8d=16s-80 \           ,\
d=2s-10$$

Podstawiając teraz wyznaczoną wartość \(d=2s-10\) do pierwszego równania \(s^2+d^2=65^2\) otrzymamy:
$$s^2+(2s-10)^2=65^2 \           ,\
s^2+4s^2-40s+100=4225 \           ,\
5s^2-40s-4125=0 \quad\bigg/:5 \           ,\
s^2-8s-825=0$$

Ostatnie dzielenie przez \(5\) nie jest koniecznie, ale dzięki niemu będziemy mogli za chwilę pracować na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-825\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-825)=64-(-3300)=64+3300=3364 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{3364}=58$$

$$s_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-58}{2\cdot1}=\frac{8-58}{2}=\frac{-50}{2}=-25 \           ,\
s_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+58}{2\cdot1}=\frac{8+58}{2}=\frac{66}{2}=33$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników i wskazanie wymiarów obydwu boisk.
Wartość ujemną obliczoną w poprzednim kroku oczywiście odrzucamy, bo szerokość nie może być wartością ujemną. To oznacza, że szerokość pierwszego boiska jest równa \(s=33\). Długość tego boiska obliczymy korzystając z wybranego równania z kroku drugiego, np.:
$$d=2s-10 \           ,\
d=2\cdot33-10 \           ,\
d=66-10 \           ,\
d=56$$

Wymiary pierwszego boiska to: \(33\times56\).

Musimy jeszcze obliczyć wymiary drugiego boiska:
Szerokość drugiego boiska: \(s-8=33-8=25\)
Długość drugiego boiska: \(d+4=56+4=60\)

Wymiary drugiego boiska to: \(25\times60\).