Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

To podstawowy wzór redukcyjny — kąty $\alpha$ i $90^\circ-\alpha$ dopełniają się do kąta prostego:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Skąd to wynika: w trójkącie prostokątnym oba kąty ostre dopełniają się do $90^\circ$, a sinus jednego jest cosinusem drugiego.

Sprawdzenie: $\sin60^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: B. $\cos\alpha$.

Podstawowa tożsamość trygonometryczna:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$

Skąd: to twierdzenie Pitagorasa w kole jednostkowym.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — zapisujemy kąt w dogodnej postaci:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$$

Kontrola ćwiartką: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Kąt ostry → cosinus dodatni:

$$\cos x=\frac45$$

Odpowiedź: $\cos x=\frac45$.

1. $\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny ✔

Odpowiedź: $-\frac12$.

Z definicji tangensa:

$$\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

Założenie: $\cos x\neq0$.

Odpowiedź: C. $\operatorname{tg}x$.

1. $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-\frac29=\frac79$.

Odpowiedź: $\tfrac79$

Kąt $180^\circ-\alpha$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, a jego wartość bezwzględna nie zmienia się:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Porównaj z sinusem: $\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$ — bez minusa, bo sinus w drugiej ćwiartce pozostaje dodatni.

Odpowiedź: B. $-\cos\alpha$.

Z jedynki trygonometrycznej, dla dowolnego kąta:

$$\sin^2 30^\circ+\cos^2 30^\circ=1$$

Sprawdzenie: $\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

1. $\sin^215^\circ=\frac{1-\cos30^\circ}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{2}=\frac{2-\sqrt3}4$.

Odpowiedź: $\tfrac{2-\sqrt3}{4}$

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Jak je zapamiętać. W sinusie funkcje się „mieszają” ($\sin\cos+\cos\sin$), a znak zgadza się ze znakiem w nawiasie. W cosinusie funkcje występują parami ($\cos\cos-\sin\sin$), a znak jest przeciwny do tego w nawiasie.

Odpowiedź: jak wyżej.

Przekształcamy jedynkę trygonometryczną:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin^2 x=1-\cos^2 x$$

Odpowiedź: A. $\sin^2 x$.

1. $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-1=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Wystarczy podstawić $\beta=\alpha$ we wzorze na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$

Częsty błąd: $\sin2\alpha\neq2\sin\alpha$. Sprawdź dla $\alpha=30^\circ$: $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87$, a $2\sin30^\circ=1$.

Odpowiedź: C. $2\sin\alpha\cos\alpha$.

$$\sin^2 x=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$

$$\sin x=\frac{5}{13}$$

Odpowiedź: $\sin x=\frac{5}{13}$.

1. $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$, $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ (przy czym $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$).
2. $\frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Krok 1 — rozkładamy na kąty znane:

$$75^\circ=45^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór na sinus sumy:

$$\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}$$

Krok 4 — zapisujemy jednym ułamkiem:

$$\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Kontrola sensu: $75^\circ$ jest blisko $90^\circ$, więc sinus powinien być bliski $1$ ✔

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Krok 1 — zamieniamy tangens na $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+\cos x=\frac{\sin^2 x}{\cos x}+\cos x$$

Krok 2 — wspólny mianownik:

$$\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos x}$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\frac{1}{\cos x}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{\cos x}$.

1. $\sin2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=\frac45$, $\cos2\alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=-\frac35$.
2. Kontrola: w III ćwiartce $\sin\alpha=-\frac2{\sqrt5}$, $\cos\alpha=-\frac1{\sqrt5}$, więc $\sin2\alpha=2\cdot\frac2{5}=\frac45$ ✓.

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\tfrac45$, $\cos2\alpha=-\tfrac35$

Krok 1 — rozkładamy kąt:

$$15^\circ=45^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — wzór na cosinus różnicy:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\cos15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Warto zauważyć: $\cos15^\circ=\sin75^\circ$ — bo kąty $15^\circ$ i $75^\circ$ dopełniają się do $90^\circ$.

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Skracamy $\sin x$ i $\cos x$:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=1$$

Interpretacja: to iloczyn $\operatorname{tg}x$ i $\operatorname{ctg}x$, które są swoimi odwrotnościami.

Odpowiedź: $1$.

1. $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$.
2. $=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x=2\sin x(1-\sin^2x)+\sin x-2\sin^3x$.
3. $=3\sin x-4\sin^3x$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$135^\circ=180^\circ-45^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\operatorname{tg}\left(180^\circ-\alpha\right)=-\operatorname{tg}\alpha$$

$$\operatorname{tg}135^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce tangens jest ujemny, bo sinus jest dodatni, a cosinus ujemny ✔

Odpowiedź: B. $-1$.

Wzór na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Uwaga: odpowiedź C to wzór na $\cos(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: D.

1. $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2=2\cos60^\circ\sin45^\circ=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2$.

Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt2}{2}$

Krok 1 — pierwszy składnik:

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — sumujemy:

$$\cos\alpha+\left(-\cos\alpha\right)=0$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $\sin120^\circ+\cos150^\circ=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0$ ✔

Odpowiedź: $0$ dla każdego $\alpha$.

Krok 1 — przekształcamy licznik jedynką trygonometryczną:

$$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}$$

Krok 3 — skracamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x \qquad ∎$$

Wniosek: tożsamość zachodzi dla każdego $x$, dla którego $\sin x\neq0$.

1. $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos2\alpha\cdot1$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Krok 1 — punkt wyjścia:

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$

Krok 2 — korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$:

$$\cos2\alpha=\left(1-\sin^2\alpha\right)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $1-2\cdot\frac14=\frac12=\cos60^\circ$ ✔

Uwaga: odpowiedź B to $-\cos2\alpha$ — łatwo pomylić kolejność odejmowania.

Odpowiedź: A. $1-2\sin^2\alpha$.

Wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\sin x\cos x$$

Odpowiedź: B. $2\sin x\cos x$.

1. $\cos\alpha=\frac45$, $\sin\beta=\frac{12}{13}$ (kąty ostre).
2. $\sin(\alpha+\beta)=\frac35\cdot\frac5{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$.
3. $\cos(\alpha-\beta)=\frac45\cdot\frac5{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}$.

Odpowiedź: $\sin(\alpha+\beta)=\tfrac{63}{65}$, $\cos(\alpha-\beta)=\tfrac{56}{65}$

Krok 1 — wyznaczamy cosinus z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2\alpha=1-\left(\frac35\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Krok 2 — wybieramy znak. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac45$$

Krok 3 — wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}=0{,}96$$

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\frac{24}{25}$.

Sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\cdot0{,}6\cdot0{,}8=0{,}96$$

Cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x=0{,}64-0{,}36=0{,}28$$

Kontrola jedynką: $0{,}96^2+0{,}28^2=0{,}9216+0{,}0784=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin2x=0{,}96$, $\cos2x=0{,}28$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$210^\circ=180^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — wzory redukcyjne dla trzeciej ćwiartki:

$$\sin\left(180^\circ+\alpha\right)=-\sin\alpha,\qquad \cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\sin210^\circ=-\frac12,\qquad \cos210^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Kontrola ćwiartką: w trzeciej ćwiartce obie funkcje są ujemne ✔

Odpowiedź: $-\frac12$ oraz $-\frac{\sqrt3}{2}$.

Krok 1 — redukujemy wyrazy z $\sin^2 x$:

$$\cos^2 x+\sin^2 x$$

Krok 2 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$

Odpowiedź: $1$.

Sinus jest funkcją nieparzystą, więc zmiana znaku argumentu zmienia znak wartości:

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$

Cosinus zachowuje się inaczej — jest funkcją parzystą, więc $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$.

Na wykresie: sinus jest symetryczny względem początku układu, a cosinus względem osi $OY$.

Odpowiedź: B. $-\sin\alpha$.

Rozpisujemy tangens:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x$$

Odpowiedź: A. $\sin x$.

Krok 1 — redukujemy licznik:

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

Krok 2 — redukujemy mianownik:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 3 — składamy:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, czyli $\alpha\neq90^\circ+k\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha$.

Wzór na cosinus sumy:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Podstawiamy:

$$\cos75^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259$.

We wzorze na cosinus znak jest przeciwny do tego w nawiasie:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Sprawdzenie skrajnym przypadkiem: dla $\beta=\alpha$ dostajemy $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, a przecież $\cos0^\circ=1$ ✔

Uwaga: odpowiedź D to wzór na $\sin(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: B.

Jedna z postaci wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=2\cos^2 x-1$$

Wyprowadzenie: z $\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ i $\sin^2 x=1-\cos^2 x$.

Odpowiedź: C. $2\cos^2 x-1$.

Krok 1 — rozkładamy na kąty znane:

$$105^\circ=60^\circ+45^\circ$$

Krok 2 — wzór na cosinus sumy:

$$\cos105^\circ=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt6}{4}$$

Krok 4 — jeden ułamek:

$$\cos105^\circ=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\approx-0{,}259$$

Kontrola znaku: $105^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, więc cosinus musi być ujemny — i jest, bo $\sqrt6>\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$.

Krok 1 — wspólny mianownik $\sin x(1+\cos x)$:

$$\frac{\sin^2 x+(1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$$

Krok 2 — rozwijamy licznik:

$$\sin^2 x+1+2\cos x+\cos^2 x$$

Krok 3 — grupujemy jedynkę trygonometryczną:

$$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)+1+2\cos x=1+1+2\cos x=2+2\cos x$$

Krok 4 — wyłączamy $2$ i skracamy:

$$\frac{2(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)}=\frac{2}{\sin x} \qquad ∎$$

Kluczowy moment. Czynnik $(1+\cos x)$ skrócił się — to dlatego licznik trzeba było rozwinąć i zwinąć jedynką trygonometryczną.

Wniosek: obie strony są równe $\frac{2}{\sin x}$, więc tożsamość zachodzi dla wszystkich dopuszczalnych $x$.

Krok 1 — cosinus podwojonego kąta. Wybieramy postać zależną tylko od cosinusa:

$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-\frac{25}{25}=\frac{7}{25}$$

Krok 2 — wyznaczamy sinus. Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, więc:

$$\sin\alpha=\frac35$$

Krok 3 — sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$$

Kontrola jedynką: $\left(\frac{7}{25}\right)^2+\left(\frac{24}{25}\right)^2=\frac{49+576}{625}=\frac{625}{625}=1$ ✔

Uwaga na ćwiartkę. Znak sinusa musieliśmy odczytać z położenia kąta — sama jedynka trygonometryczna daje dwie możliwości.

Odpowiedź: $\cos2\alpha=\frac{7}{25}$, $\sin2\alpha=-\frac{24}{25}$.

Krok 1 — związek tangensa z sinusem i cosinusem:

$$\frac{\sin x}{\cos x}=2 \quad\Rightarrow\quad \sin x=2\cos x$$

Krok 2 — podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:

$$(2\cos x)^2+\cos^2 x=1 \quad\Rightarrow\quad 5\cos^2 x=1$$

Krok 3 — wyznaczamy cosinus (ostry → dodatni):

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$$

Krok 4 — sinus:

$$\sin x=2\cos x=\frac{2\sqrt5}{5}$$

Kontrola: $\frac{4\cdot5}{25}+\frac{5}{25}=\frac{25}{25}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin x=\frac{2\sqrt5}{5}$, $\cos x=\frac{\sqrt5}{5}$.

Krok 1 — redukujemy każdy czynnik osobno:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin\alpha\cdot\sin\alpha+\left(-\cos\alpha\right)\cdot\cos\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha$$

Krok 3 — rozpoznajemy wzór:

$$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)=-\cos2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=45^\circ$: wyrażenie wyjściowe daje $\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=0$, a $-\cos90^\circ=0$ ✔

Odpowiedź: $-\cos2\alpha$.

Krok 1 — zauważamy dopełnienie do $90^\circ$. Kąty $10^\circ$ i $80^\circ$ dopełniają się, a ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin80^\circ=\cos10^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin^2 10^\circ+\sin^2 80^\circ=\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ=1$$

Sprytny trik. Nie trzeba znać wartości $\sin10^\circ$ — wystarczyło rozpoznać dopełnienie kątów i zastosować jedynkę.

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — rozpisujemy lewą stronę. Pierwszy składnik:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — dodajemy. Składniki z $\cos\alpha\sin\beta$ mają przeciwne znaki i się redukują:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=2\sin\alpha\cos\beta \qquad ∎$$

Do czego to służy. Wzór czytany od prawej do lewej zamienia iloczyn na sumę — a sumy łatwiej się całkuje i rozwiązuje w równaniach trygonometrycznych. Analogicznie odejmowanie tych wzorów daje $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$.

Sprawdzenie dla $\alpha=60^\circ$, $\beta=30^\circ$: lewa strona to $\sin90^\circ+\sin30^\circ=1+\frac12=\frac32$, prawa $2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ ✔

Krok 1 — zapisujemy $2x$ jako sumę:

$$\sin2x=\sin(x+x)$$

Krok 2 — stosujemy wzór na sinus sumy:

$$\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x$$

Krok 3 — redukujemy identyczne składniki:

$$\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x \qquad ∎$$

Uwaga. Analogicznie ze wzoru na cosinus sumy dostajemy $\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ — wszystkie wzory na kąt podwojony pochodzą ze wzorów na sumę kątów.

Sprawdzenie dla $x=30^\circ$: $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, a $2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔