Ruch po okręgu

Współrzędne punktu na okręgu jednostkowym to $(\cos\alpha,\ \sin\alpha)$. Dla $\alpha=0$:

$$(\cos0,\ \sin0)=(1,\ 0)$$

Odpowiedź: B. $(1,\ 0)$.

$$(\cos\tfrac{\pi}{2},\ \sin\tfrac{\pi}{2})=(0,\ 1)$$

Interpretacja: obrót o $90^\circ$ przenosi punkt z $(1,0)$ na szczyt okręgu.

Odpowiedź: $(0,\ 1)$.

Przesunięcie o $3$ w górę przenosi zbiór $\langle-1,1\rangle$:

$$\langle-1+3,\ 1+3\rangle=\langle2,\ 4\rangle$$

Odpowiedź: A. $\langle2,\ 4\rangle$.

Odjęcie $\frac{\pi}{4}$ od argumentu przesuwa wykres o $\frac{\pi}{4}$ w prawo.

Zasada: $f(x-p)$ to przesunięcie o $p$ w prawo (dla $p>0$).

Odpowiedź: o $\frac{\pi}{4}$ w prawo.

Okres $T$ to czas jednego pełnego obrotu ($2\pi$ radianów).

Prędkość kątowa: $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

Odpowiedź: C. $T$ sekund.

$$(\cos\pi,\ \sin\pi)=(-1,\ 0)$$

Interpretacja: obrót o $180^\circ$ przenosi punkt na przeciwną stronę okręgu.

Odpowiedź: $(-1,\ 0)$.

Krok 1 — amplituda $2$ daje $\langle-2,\ 2\rangle$.

Krok 2 — przesunięcie o $1$ w dół:

$$ZW=\langle-3,\ 1\rangle$$

Krok 3 — wartości skrajne: max $1$, min $-3$.

Odpowiedź: $ZW=\langle-3,1\rangle$, max $1$, min $-3$.

Dla okręgu o promieniu $r$ współrzędne to $(r\cos\alpha,\ r\sin\alpha)$:

$$x=2\cos\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$$

$$y=2\sin\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac12=1$$

Odpowiedź: $(\sqrt3,\ 1)$.

Odjęcie $2$ od funkcji to przesunięcie o $2$ w dół, czyli wektor $[0,\ -2]$.

Odpowiedź: D. $[0,\ -2]$.

Ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$$

Interpretacja: przesunięcie sinusa o $\frac{\pi}{2}$ w lewo daje wykres cosinusa.

Sprawdzenie dla $x=0$: $\sin\frac{\pi}{2}=1=\cos0$ ✔

Odpowiedź: $\cos x$.

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: B. $\frac{\pi}{2}$.

Krok 1 — przyrównujemy do zera:

$$\cos x+1=0 \quad\Rightarrow\quad \cos x=-1$$

Krok 2 — kiedy cosinus wynosi $-1$:

$$x=\pi$$

Interpretacja: wykres $\cos x+1$ dotyka osi $OX$ tylko w najniższym punkcie — dla $x=\pi$.

Odpowiedź: $x=\pi$.

Przekształcenie: znak minus odbija wykres względem osi $OX$ (wartości zmieniają znak).

Wartość w $x=0$:

$$y=-\cos0=-1$$

Interpretacja: tam gdzie cosinus ma maksimum ($1$), $-\cos x$ ma minimum ($-1$).

Odpowiedź: odbicie względem osi $OX$; $y(0)=-1$.

Amplituda to współczynnik przy sinusie:

$$A=4$$

Zbiór wartości to $\langle-4,\ 4\rangle$.

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — sprowadzamy kąt do jednego obrotu. Odejmujemy pełny obrót $2\pi$:

$$\frac{5\pi}{2}-2\pi=\frac{5\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$$

Krok 2 — współrzędne dla $\frac{\pi}{2}$:

$$(\cos\tfrac{\pi}{2},\ \sin\tfrac{\pi}{2})=(0,\ 1)$$

Interpretacja: obrót o $\frac{5\pi}{2}$ to jeden pełny obrót plus ćwierć — kończy na szczycie okręgu.

Odpowiedź: $(0,\ 1)$.

Ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin(x-\pi)=-\sin x$$

Interpretacja: przesunięcie o $\pi$ (połowa okresu) odwraca wykres sinusa.

Odpowiedź: C. $-\sin x$.

Krok 1 — amplituda: $A=3$.

Krok 2 — zbiór wartości. $\langle-3,3\rangle$ przesunięte o $2$ w górę:

$$ZW=\langle-1,\ 5\rangle$$

Krok 3 — wartość największa. Gdy $\cos x=1$, czyli $x=0$:

$$y=3\cdot1+2=5$$

Odpowiedź: $A=3$, $ZW=\langle-1,5\rangle$, max $5$ w $x=0$.

Krok 1 — kąt obrotu. Pełny obrót ($2\pi$) trwa $60$ minut, więc $15$ minut to ćwierć obrotu:

$$\alpha=\frac{15}{60}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}$$

Krok 2 — droga końca wskazówki to długość łuku:

$$l=r\alpha=10\cdot\frac{\pi}{2}=5\pi\approx15{,}7\ \text{cm}$$

Interpretacja. Koniec wskazówki porusza się ruchem jednostajnym po okręgu — w $15$ min pokonuje ćwierć obwodu.

Odpowiedź: kąt $\frac{\pi}{2}$, droga $5\pi$ cm.

Krok 1 — składowa pozioma. $x-\frac{\pi}{6}$ oznacza przesunięcie o $\frac{\pi}{6}$ w prawo.

Krok 2 — składowa pionowa. $+1$ to przesunięcie o $1$ w górę.

Krok 3 — wektor:

$$\vec{u}=\left[\frac{\pi}{6},\ 1\right]$$

Krok 4 — zbiór wartości. Przesunięcie poziome nie zmienia zakresu, pionowe podnosi go o $1$:

$$ZW=\langle0,\ 2\rangle$$

Uwaga. Amplituda pozostaje $1$ (brak współczynnika przed sinusem), więc zbiór wartości ma „szerokość" $2$.

Odpowiedź: wektor $\left[\frac{\pi}{6},1\right]$, $ZW=\langle0,2\rangle$.

Krok 1 — współrzędne punktu. Punkt na okręgu jednostkowym odpowiadający kątowi $\alpha$ ma współrzędne:

$$x=\cos\alpha,\qquad y=\sin\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy do wyrażenia $x^2+y^2$:

$$x^2+y^2=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 \qquad ∎$$

Interpretacja. To dowód, że definicja sinusa i cosinusa przez okrąg jednostkowy jest spójna z równaniem tego okręgu $x^2+y^2=1$. Jedynka trygonometryczna to po prostu twierdzenie Pitagorasa dla promienia jednostkowego.

Sprawdzenie dla $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12+\frac12=1$ ✔