Ciąg geometryczny (1)

Iloraz to stosunek wyrazu następnego do poprzedniego:

$$q=\frac{6}{2}=3$$

Sprawdzenie: $\frac{18}{6}=3$ oraz $\frac{54}{18}=3$ ✔ Iloraz musi być ten sam dla każdej kolejnej pary.

Odpowiedź: C. $q=3$.

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Odpowiedź: B.

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny:

$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}$$

$$a_5=5\cdot2^{4}=5\cdot16=80$$

Uwaga na wykładnik: to $n-1$, a nie $n$ — pierwszy wyraz nie jest jeszcze mnożony przez $q$.

Odpowiedź: $a_5=80$.

$$a_4=a_1\cdot q^3=2\cdot3^3=2\cdot27=54$$

Odpowiedź: $a_4=54$.

Wzór na sumę:

$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1}$$

$$S_7=1\cdot\frac{2^{7}-1}{2-1}=\frac{128-1}{1}=127$$

Sprawdzenie: $1+2+4+8+16+32+64=127$ ✔

Odpowiedź: $S_7=127$.

Iloraz to stosunek kolejnych wyrazów:

$$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3$$

Odpowiedź: $q=3$.

Własność środkowego wyrazu:

$$x^2=4\cdot25=100$$

$$x=10 \quad\text{lub}\quad x=-10$$

Dodatnia wartość to $10$.

Uwaga: $14{,}5$ to średnia arytmetyczna liczb $4$ i $25$ — byłaby poprawna dla ciągu arytmetycznego, nie geometrycznego.

Odpowiedź: B. $x=10$.

W ciągu geometrycznym $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q=\text{const}$.

Odpowiedź: A.

Wzór na procent składany:

$$K_n=K_0(1+p)^n$$

$$K_2=1000\cdot1{,}05^{2}=1000\cdot1{,}1025=1102{,}50\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $1102{,}50$ zł.

Każdy kolejny wyraz to poprzedni razy $q=2$:

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\dots$$

Odpowiedź: $6$, $12$, $24$.

Wypisujemy kolejne wyrazy:

$$8,\ 4,\ 2,\ 1,\ \tfrac12,\ \dots$$

Rachunkowo:

$$8\cdot\left(\tfrac12\right)^{n-1}=1 \quad\Rightarrow\quad \left(\tfrac12\right)^{n-1}=\tfrac18 \quad\Rightarrow\quad n-1=3$$

$$n=4$$

Odpowiedź: A. czwarty.

W ciągu C iloraz jest stały: $6:2=3$, $18:6=3$, $54:18=3$.

(Ciągi A i B są arytmetyczne.)

Odpowiedź: C. $2,6,18,54$.

Krok 1 — relacja między wyrazami:

$$a_4=a_2\cdot q^{2}$$

Krok 2 — wyznaczamy $q$:

$$q^{2}=\frac{108}{12}=9 \quad\Rightarrow\quad q=3 \ \ (q>0)$$

Krok 3 — pierwszy wyraz:

$$a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{12}{3}=4$$

Sprawdzenie: ciąg to $4$, $12$, $36$, $108$ ✔

Odpowiedź: $a_1=4$, $q=3$.

$$a_3=a_1\cdot q^2=4\cdot\left(\tfrac12\right)^2=4\cdot\tfrac14=1$$

Odpowiedź: $a_3=1$.

Krok 1 — iloraz:

$$q=\frac{-6}{3}=-2$$

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S_6=3\cdot\frac{(-2)^{6}-1}{-2-1}=3\cdot\frac{64-1}{-3}=3\cdot(-21)=-63$$

Sprawdzenie: $3-6+12-24+48-96=-63$ ✔

Uwaga: potęga parzysta liczby ujemnej jest dodatnia — $(-2)^6=64$, a nie $-64$.

Odpowiedź: $S_6=-63$.

Własność ciągu geometrycznego: kwadrat środkowego wyrazu = iloczyn sąsiadów:

$$b^2=4\cdot9=36 \quad\Rightarrow\quad b=6$$

(bierzemy wartość dodatnią)

Odpowiedź: $b=6$.

Podstawiamy do wzoru na procent składany:

$$K_3=2000\cdot1{,}1^{3}=2000\cdot1{,}331=2662\ \text{zł}$$

Skąd różnica względem $2600$ zł. Procent prosty dałby $3\cdot200=600$ zł odsetek. Przy składanym odsetki same procentują, stąd dodatkowe $62$ zł.

Odpowiedź: D. $2662$ zł.

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}$$

Odpowiedź: D.

Krok 1 — iloraz i warunek zbieżności:

$$q=\frac12,\qquad |q|<1 \ \ ✔$$

Krok 2 — wzór na sumę szeregu:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\tfrac12}=\frac{8}{\tfrac12}=16$$

Interpretacja: mimo nieskończenie wielu składników suma jest skończona — kolejne wyrazy maleją dostatecznie szybko.

Odpowiedź: $S=16$.

Wzór na sumę:

$$S_5=1\cdot\frac{1-2^5}{1-2}=\frac{1-32}{-1}=\frac{-31}{-1}=31$$

Sprawdzenie: $1+2+4+8+16=31$ ✔

Odpowiedź: $S_5=31$.

Suma szeregu istnieje tylko wtedy, gdy kolejne wyrazy dążą do zera, czyli gdy:

$$|q|<1$$

Dlaczego nie $q=1$: wtedy wszystkie wyrazy są równe $a_1$ i suma rośnie bez ograniczeń (o ile $a_1\neq0$).

Odpowiedź: B. $|q|<1$.

Między $a_2$ a $a_4$ są dwa mnożenia przez $q$:

$$\frac{a_4}{a_2}=q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2=\frac{54}{6}=9 \quad\Rightarrow\quad q=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

Krok 1 — warunek:

$$1000\cdot1{,}2^{\,n}>2000 \quad\Rightarrow\quad 1{,}2^{\,n}>2$$

Krok 2 — sprawdzamy kolejne potęgi:

$$1{,}2^{3}=1{,}728,\qquad 1{,}2^{4}=2{,}0736$$

Krok 3 — wniosek: warunek spełniony po raz pierwszy dla $n=4$.

Sprawdzenie: $1000\cdot2{,}0736=2073{,}60$ zł $>2000$ zł ✔, a po trzech latach było $1728$ zł, czyli za mało.

Odpowiedź: po $4$ latach.

$$a_6=1\cdot10^{5}=100\,000$$

Odpowiedź: $a_6=100\,000$.

Krok 1 — zapisujemy wyrazy przez środkowy:

$$\frac{a_2}{q},\qquad a_2,\qquad a_2q$$

Krok 2 — iloczyn. Ilorazy się skracają:

$$\frac{a_2}{q}\cdot a_2\cdot a_2q=a_2^{\,3}$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$a_2^{\,3}=216 \quad\Rightarrow\quad a_2=6$$

Warto zapamiętać. Zapis wyrazów w postaci $\frac{a}{q},\ a,\ aq$ jest standardową sztuczką — pozbywa się $q$ z iloczynu.

Odpowiedź: $a_2=6$.

Własność: $x^2=2\cdot8=16$, więc $x=4$ (dodatni).

Sprawdzenie: $2,4,8$ — iloraz $2$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Iloraz to $q=\frac13$, więc:

$$S=\frac{1}{1-\tfrac13}=\frac{1}{\tfrac23}=\frac32=1{,}5$$

Odpowiedź: C. $1{,}5$.

$$q=\frac{1/4}{1/2}=\frac12$$

Odpowiedź: A. $\frac12$.

Krok 1 — mnożnik rocznego spadku:

$$1-0{,}15=0{,}85$$

Krok 2 — po trzech latach:

$$60\ 000\cdot0{,}85^{3}=60\ 000\cdot0{,}614125=36\ 847{,}50\ \text{zł}$$

Uwaga: to procent składany „w dół” — łączny spadek wynosi około $38{,}6\%$, a nie $45\%$.

Odpowiedź: około $36\ 847{,}50$ zł.

Krok 1 — iloraz. $a_3=a_1 q^2$:

$$27=3q^2 \quad\Rightarrow\quad q^2=9 \quad\Rightarrow\quad q=3$$

Krok 2 — piąty wyraz:

$$a_5=a_1 q^4=3\cdot3^4=3\cdot81=243$$

Odpowiedź: $q=3$, $a_5=243$.

Podstawiamy do wzoru:

$$a_{10}=3\cdot(-1)^{9}=3\cdot(-1)=-3$$

Wykładnik jest nieparzysty ($n-1=9$), więc znak się zmienia. Ciąg wygląda tak: $3$, $-3$, $3$, $-3$, … — wyrazy o numerach parzystych są ujemne.

Odpowiedź: A. $-3$.

Dla $q=1$ każdy wyraz równa się poprzedniemu — ciąg stały.

Odpowiedź: C. stały.

Krok 1 — stopa za kwartał. Roczne $12\%$ dzielimy na cztery okresy:

$$\frac{12\%}{4}=3\%$$

Krok 2 — cztery kapitalizacje w roku:

$$K=5000\cdot1{,}03^{4}=5000\cdot1{,}12550881\approx5627{,}54\ \text{zł}$$

Krok 3 — kapitalizacja roczna dla porównania:

$$5000\cdot1{,}12=5600\ \text{zł}$$

Krok 4 — różnica:

$$5627{,}54-5600=27{,}54\ \text{zł}$$

Wniosek. Częstsza kapitalizacja daje więcej, bo odsetki zaczynają procentować wcześniej. Efektywna stopa roczna to tu około $12{,}55\%$.

Odpowiedź: około $5627{,}54$ zł, czyli o $27{,}54$ zł więcej.

Krok 1 — model ciągiem geometrycznym. $a_1=100$ (po $0$ h to stan początkowy), $q=2$. Po $5$ h to $a_1\cdot q^5$:

$$100\cdot2^5=100\cdot32=3200$$

Interpretacja. Wzrost wykładniczy — po każdej godzinie razy $2$.

Odpowiedź: $3200$ bakterii.

Krok 1 — warunek na wyraz środkowy:

$$(x+1)^2=(x-1)(2x+4)$$

Krok 2 — rozwijamy obie strony:

$$x^2+2x+1=2x^2+4x-2x-4=2x^2+2x-4$$

Krok 3 — porządkujemy:

$$0=x^2-5 \quad\Rightarrow\quad x^2=5$$

$$x=\sqrt5 \quad\text{lub}\quad x=-\sqrt5$$

Krok 4 — sprawdzamy założenia. W ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem. Dla $x=\sqrt5\approx2{,}24$ mamy wyrazy $\approx1{,}24$, $\approx3{,}24$, $\approx8{,}47$ — wszystkie niezerowe ✔ Dla $x=-\sqrt5\approx-2{,}24$ wyrazy to $\approx-3{,}24$, $\approx-1{,}24$, $\approx-0{,}47$ — również niezerowe ✔

Odpowiedź: $x=\sqrt5$ lub $x=-\sqrt5$.

Krok 1 — parametry: $a_1=1$, $q=3$, $n=5$.

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S_5=1\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=\frac{1-243}{-2}=\frac{-242}{-2}=121$$

Sprawdzenie: $1+3+9+27+81=121$ ✔

Odpowiedź: $121$.

Krok 1 — pierwszy spadek: $2$ m.

Krok 2 — kolejne odbicia. Każde wzniesienie na wysokość $h$ oznacza drogę $2h$ (w górę i z powrotem). Wysokości tworzą ciąg geometryczny:

$$1{,}2;\quad 0{,}72;\quad 0{,}432;\ \dots \qquad q=0{,}6$$

Krok 3 — suma wysokości odbić:

$$S=\frac{1{,}2}{1-0{,}6}=\frac{1{,}2}{0{,}4}=3\ \text{m}$$

Krok 4 — droga całkowita:

$$2+2\cdot3=8\ \text{m}$$

Uwaga na pułapkę. Pierwszy odcinek liczymy raz (piłka tylko spada), a każde odbicie — podwójnie. Pominięcie tego mnożnika $2$ daje błędne $5$ m.

Odpowiedź: $8$ m.

Krok 1 — procent składany = ciąg geometryczny. Każdego roku kwota rośnie razy $1{,}1$:

$$K_n=K_0\cdot(1{,}1)^n$$

Krok 2 — po $3$ latach:

$$K_3=1000\cdot(1{,}1)^3=1000\cdot1{,}331=1331\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $1331$ zł.

Krok 1 — zapis przez iloraz. Z definicji ciągu geometrycznego:

$$b=aq,\qquad c=aq^{2}$$

Krok 2 — iloczyn wyrazów skrajnych:

$$ac=a\cdot aq^{2}=(aq)^{2}=b^{2}$$

Krok 3 — pierwiastkujemy. Wyrazy są dodatnie, więc $b>0$ i bierzemy pierwiastek arytmetyczny:

$$b=\sqrt{ac} \qquad ∎$$

Nazwa. Liczbę $\sqrt{ac}$ nazywamy średnią geometryczną liczb $a$ i $c$ — to odpowiednik średniej arytmetycznej dla ciągów geometrycznych.

Sprawdzenie: dla $a=2$ i $c=18$ mamy $b=\sqrt{36}=6$, a ciąg $2$, $6$, $18$ istotnie ma stały iloraz $q=3$ ✔

Krok 1 — definicja stałego ilorazu. Skoro to ciąg geometryczny, iloraz kolejnych wyrazów jest równy:

$$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$b\cdot b=a\cdot c \quad\Rightarrow\quad b^2=ac \qquad ∎$$

Wniosek. Środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów: $b=\sqrt{ac}$. To odpowiednik własności „$2b=a+c$” dla ciągu arytmetycznego.

Sprawdzenie dla $2,6,18$: $6^2=36=2\cdot18$ ✔

1. Krok 1. Warunek geometryczny.

   $a_{2}=1+d$, $a_{3}=1+2d$, $a_{6}=1+5d$. Z warunku $a_{3}^{2}=a_{2}\cdot a_{6}$:

   $$(1+2d)^{2}=(1+d)(1+5d)\ \Rightarrow\ 1+4d+4d^{2}=1+6d+5d^{2}\ \Rightarrow\ d^{2}+2d=0\ \Rightarrow\ d(d+2)=0.$$

   $d=0$ dałoby ciąg stały (sprzeczność z ostatnim wyrazem $-2025$), więc $d=-2$.

2. Krok 2. Liczba wyrazów.

   $a_{n}=1+(n-1)(-2)=3-2n$. Z $a_{n}=-2025$: $3-2n=-2025\Rightarrow n=1014$ (i $1014>6$).

3. Krok 3. Suma. $$S_{1014}=\frac{a_{1}+a_{1014}}{2}\cdot 1014=\frac{1+(-2025)}{2}\cdot 1014=(-1012)\cdot 1014=-1\,026\,168.$$

Krok 1. Obliczenie wyrazów \(a_1\) oraz \(a_9\).
Podstawiając odpowiednie wartości \(n\) do wzoru ciągu, otrzymamy:
$$a_1=3\cdot1+5=3+5=8$$
$$a_9=3\cdot9+5=27+5=32$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_k\).
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$$a_{2}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając znane informacje do tej zależności, otrzymamy:
$$32^2=8\cdot a_{k} \\
1024=8\cdot a_{k} \\
a_{k}=128$$

Krok 3. Obliczenie \(k\).
Wiemy już, że nasz trzeci wyraz określony jako \(a_{k}\) jest równy \(128\). Celem zadania jest obliczenie ile wynosi to \(k\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując, musimy ustalić którym wyrazem ciągu \(a_{n}\) jest liczba \(128\). W tym celu musimy przyrównać \(128\) do wzoru \(a_{n}=3n+5\), otrzymując:
$$3n+5=128 \\
3n=123 \\
n=41$$

To oznacza, że jest to \(41.\) wyraz ciągu \(a_{n}\), czyli tym samym \(k=41\).

Rozwiązanie

1. $a_1=8,\ a_9=32$.
2. Warunek ciągu geometrycznego: $a_9^2=a_1\cdot a_k\Rightarrow 32^2=8\cdot a_k\Rightarrow a_k=128$.
3. $3k+5=128\Rightarrow 3k=123\Rightarrow k=41$.

Odpowiedź: $k=41$.

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najlepiej byłoby zauważyć, że \(a_{3}=a_{2}\cdot q\) oraz \(a_{6}=a_{7}:q\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{3}\cdot a_{6}=18 \\
(a_{2}\cdot q)\cdot(a_{7}:q)=18 \\
a_{2}\cdot a_{7}=18$$

Rozwiązanie

W ciągu geometrycznym $a_3\cdot a_6=a_1^2q^{7}$ oraz $a_2\cdot a_7=a_1^2q^{7}$ — są równe. Zatem $a_2\cdot a_7=18$.

Odpowiedź: $18$.

Krok 1. Obliczenie ilorazu \(q\).
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów naszego ciągu, możemy bez problemu obliczyć iloraz \(q\), zatem:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{9}{27} \\
q=\frac{1}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości czwartego wyrazu ciągu.
Do wartości czwartego wyrazu możemy dojść na różne sposoby. Przykładowo korzystając z własności ciągów geometrycznych moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q^2 \\
a_{4}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2 \\
a_{4}=9\cdot\frac{1}{9} \\
a_{4}=1$$

1. Krok 1. Zapis ciągu geometrycznego.

   Niech iloraz wynosi $q>1$ (ciąg rosnący): $y=xq$, $z=xq^{2}$.

2. Krok 2. Warunek arytmetyczny.

   W ciągu arytmetycznym $a_{1}=x$, $a_{2}=y$, $a_{6}=z$. Różnica $d=a_{2}-a_{1}=y-x$, a $a_{6}=a_{1}+5d$, więc

   $$z=x+5(y-x)=5y-4x.$$

   Podstawiając $y=xq$, $z=xq^{2}$: $\;xq^{2}=5xq-4x\Rightarrow q^{2}-5q+4=0\Rightarrow q=1\ \lor\ q=4.$

   Ciąg jest rosnący, więc $q=4$.

3. Krok 3. Wykorzystanie sumy. $$x+xq+xq^{2}=105\ \Rightarrow\ x(1+4+16)=105\ \Rightarrow\ 21x=105\ \Rightarrow\ x=5.$$
4. Odpowiedź. $x=5,\ y=20,\ z=80$ (sprawdzenie: $5,20,80$ — geometryczny $q=4$; $a_{1}=5,\ d=15,\ a_{6}=80$).

Krok 1. Obliczenie ilorazu \(q\) tego ciągu.
Już na pierwszy rzut oka widać, że ciąg musi być malejący, bo drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego. Jednak najpierw ustalmy iloraz \(q\) tego ciągu:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{6}{12} \\
q=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(m\).
Trzeci wyraz ciągu musi być równy \(a_{2}\cdot q\), czyli w naszym przypadku:
$$a_{3}=6\cdot\frac{1}{2} \\
a_{3}=3$$

Trzeci wyraz jest opisany wyrażeniem \(2m-1\), a skoro tak, to:
$$2m-1=3 \\
2m=4 \\
m=2$$

To oznacza, że ciąg jest malejący oraz \(m=2\).

Rozwiązanie

1. Iloraz $q=\tfrac{6}{12}=\tfrac12$. Trzeci wyraz $2m-1=6\cdot\tfrac12=3\Rightarrow m=2$.
2. $q=\tfrac12<1$ → ciąg malejący.

Odpowiedź: B (malejący) oraz 2 ($m=2$).

1. Krok 1. Bok kolejnego kwadratu.

   Wierzchołek $K_{n}$ dzieli bok $K_{n-1}$ o długości $s$ na części $\tfrac{s}{4}$ i $\tfrac{3s}{4}$. Bok kwadratu wpisanego jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $\tfrac{s}{4}$ i $\tfrac{3s}{4}$:

   $$s_{n}=\sqrt{\left(\tfrac{s}{4}\right)^{2}+\left(\tfrac{3s}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{s^{2}}{16}+\tfrac{9s^{2}}{16}}=\frac{s\sqrt{10}}{4}.$$
2. Krok 2. Iloraz ciągu obwodów.

   Obwód jest proporcjonalny do boku, więc iloraz to $q=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$. Ponieważ $\sqrt{10}\approx3{,}16$, mamy $0

3. Krok 3. Suma szeregu geometrycznego. $$S=\frac{P_{1}}{1-q}=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{4a}{\frac{4-\sqrt{10}}{4}}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}.$$
4. Krok 4. Usunięcie niewymierności z mianownika. $$S=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}\cdot\frac{4+\sqrt{10}}{4+\sqrt{10}}=\frac{16a(4+\sqrt{10})}{16-10}=\frac{16a(4+\sqrt{10})}{6}=\frac{8a\left(4+\sqrt{10}\right)}{3}.$$