Nierówności trygonometryczne

Sinus jest dodatni w pierwszej i drugiej ćwiartce, czyli tam, gdzie wykres leży nad osią:

$$x\in(0,\ \pi)$$

Odpowiedź: B. $(0,\ \pi)$.

Cosinus jest dodatni w pierwszej i czwartej ćwiartce:

$$x\in\left(0,\ \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right)$$

Interpretacja: to fragmenty, gdzie wykres cosinusa jest nad osią — na krańcach okresu.

Odpowiedź: $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$.

1. $x=\frac\pi3$ lub $x=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}3$.

Odpowiedź: $\tfrac\pi3,\ \tfrac{2\pi}3$

Tangens to $\frac{\sin x}{\cos x}$, więc jest nieokreślony tam, gdzie $\cos x=0$:

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

W tych punktach wykres tangensa ma asymptoty pionowe.

Odpowiedź: C. $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.

1. $2x=\pm\frac\pi3+2k\pi \Rightarrow x=\pm\frac\pi6+k\pi$.

Odpowiedź: $x=\pm\tfrac\pi6+k\pi,\ k\in\mathbb Z$

Okres: $\pi$ — dwa razy krótszy niż sinusa i cosinusa.

Zbiór wartości: $\mathbb{R}$ — tangens przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.

Odpowiedź: okres $\pi$, $ZW=\mathbb{R}$.

1. $t=\sin x$: $2t^2-t-1=0 \Rightarrow t=1$ lub $t=-\frac12$.
2. $\sin x=1 \Rightarrow x=\frac\pi2$.
3. $\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=\frac{7\pi}6$ lub $x=\frac{11\pi}6$.

Odpowiedź: $\tfrac\pi2,\ \tfrac{7\pi}6,\ \tfrac{11\pi}6$

Sinus osiąga $\frac12$ po raz pierwszy (dla dodatnich $x$) w:

$$x=\frac{\pi}{6}$$

Od tego punktu $\sin x\ge\frac12$ aż do $\frac{5\pi}{6}$.

Odpowiedź: A. $\frac{\pi}{6}$.

1. $2\sin x\cos x-\cos x=0 \Rightarrow \cos x(2\sin x-1)=0$.
2. $\cos x=0$: $\frac\pi2$, $\frac{3\pi}2$.
3. $\sin x=\frac12$: $\frac\pi6$, $\frac{5\pi}6$.

Odpowiedź: $\tfrac\pi6,\ \tfrac\pi2,\ \tfrac{5\pi}6,\ \tfrac{3\pi}2$

W pierwszej ćwiartce sinus i cosinus są dodatnie, więc tangens też:

$$\operatorname{tg}x>0 \ \text{dla całego } \left(0,\ \frac{\pi}{2}\right)$$

Odpowiedź: $x\in\left(0,\ \frac{\pi}{2}\right)$.

1. $2(1-\sin^2x)+3\sin x-3=0 \Rightarrow 2\sin^2x-3\sin x+1=0$.
2. $\sin x=1$ lub $\sin x=\frac12$.
3. $x=\frac\pi2+2k\pi$; $x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}6+2k\pi$.

Odpowiedź: $x=\tfrac\pi2+2k\pi$ lub $x=\tfrac\pi6+2k\pi$ lub $x=\tfrac{5\pi}6+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

Krok 1 — kąty, gdzie $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$:

$$x=\frac{\pi}{4} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{3\pi}{4}$$

Krok 2 — sinus jest większy lub równy między tymi wartościami (nad poziomem $\frac{\sqrt2}{2}$):

$$x\in\left\langle\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}\right\rangle$$

Odpowiedź: $\left\langle\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right\rangle$.

1. Gdyby $\cos x=0$, to $\sin^2x=0$ — sprzeczność z jedynką. Dzielimy przez $\cos^2x$:
2. $\operatorname{tg}^2x-(1+\sqrt3)\operatorname{tg} x+\sqrt3=0 \Rightarrow (\operatorname{tg} x-1)(\operatorname{tg} x-\sqrt3)=0$.
3. $\operatorname{tg} x=1 \Rightarrow x=\frac\pi4$; $\operatorname{tg} x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac\pi3$ (w $[0,\pi]$).

Odpowiedź: $\tfrac\pi4,\ \tfrac\pi3$

Krok 1 — kąty, gdzie $\cos x=-\frac12$:

$$x=\frac{2\pi}{3} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{4\pi}{3}$$

Krok 2 — cosinus jest mniejszy lub równy $-\frac12$ między tymi wartościami (poniżej poziomu):

$$x\in\left\langle\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}\right\rangle$$

Odpowiedź: $\left\langle\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right\rangle$.

1. $\sin3x+\sin x=2\sin2x\cos x=0$.
2. $\sin2x=0 \Rightarrow x=\frac{k\pi}2$; $\cos x=0 \Rightarrow x=\frac\pi2+k\pi$ — zawiera się w poprzedniej serii.
3. Odpowiedź: $x=\frac{k\pi}2$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{k\pi}2,\ k\in\mathbb Z$

Tangens jest rosnący w każdym przedziale między kolejnymi asymptotami (np. w $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$).

Uwaga: nie jest rosnący „w całości" — między przedziałami są asymptaty, a okres wynosi $\pi$ (nie $2\pi$).

Odpowiedź: D. rosnąca.

1. $2\cos^2x-1+3\cos x+2=0 \Rightarrow 2\cos^2x+3\cos x+1=0$.
2. $\cos x=-\frac12$ lub $\cos x=-1$.
3. $x=\frac{2\pi}3$, $\frac{4\pi}3$, $\pi$.

Odpowiedź: $\tfrac{2\pi}3,\ \pi,\ \tfrac{4\pi}3$

Sinus jest ujemny w trzeciej i czwartej ćwiartce, czyli tam, gdzie wykres jest pod osią:

$$x\in(\pi,\ 2\pi)$$

Odpowiedź: $x\in(\pi,\ 2\pi)$.

1. $2\sin5x\cos3x=\sin8x+\sin2x$.
2. Równanie: $\sin8x+\sin2x=\sin8x+\frac12 \Rightarrow \sin2x=\frac12$.
3. $2x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $2x=\frac{5\pi}6+2k\pi$, więc $x=\frac\pi{12}+k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$.

Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{12}+k\pi$ lub $x=\tfrac{5\pi}{12}+k\pi$, $k\in\mathbb Z$

Asymptoty są w punktach zerowania cosinusa:

$$x=\frac{\pi}{2} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{3\pi}{2}$$

W przedziale $(0,\ 2\pi)$ są dwie.

Odpowiedź: B. $2$.

1. $\sin x(2\sin x-1)\gt 0 \iff \sin x\lt 0$ lub $\sin x\gt \frac12$.
2. $\sin x\gt \frac12$: $x\in\left(\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right)$.
3. $\sin x\lt 0$: $x\in(\pi,2\pi)$.
4. Suma: $\left(\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right)\cup(\pi,2\pi)$.

Odpowiedź: $x\in\left(\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6\right)\cup(\pi,2\pi)$

Korzystamy z wartości dla kątów podstawowych:

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1$$

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3$$

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}$$

Odpowiedź: $1$, $\sqrt3$, $\frac{\sqrt3}{3}$.

Krok 1 — izolujemy sinus:

$$\sin x<\frac12$$

Krok 2 — kąty równości $\sin x=\frac12$: $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6}$.

Krok 3 — sinus jest mniejszy od $\frac12$ poza przedziałem między nimi:

$$x\in\left\langle0,\ \frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6},\ 2\pi\right\rangle$$

Odpowiedź: $\left\langle0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6},2\pi\right\rangle$.

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus ujemny, więc:

$$\operatorname{tg}x=\frac{(+)}{(-)}<0$$

Znaki tangensa w ćwiartkach: I dodatni, II ujemny, III dodatni, IV ujemny.

Odpowiedź: A. ujemny.

Krok 1 — kąt podstawowy: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1$.

Krok 2 — okres tangensa to $\pi$, więc kolejne rozwiązanie:

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}$$

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{4}$ lub $x=\frac{5\pi}{4}$.

Cosinus osiąga wartość $1$ tylko dla $x=2k\pi$. Wszędzie indziej $\cos x<1$.

Odpowiedź: C. dla wszystkich $x$ oprócz $x=2k\pi$.

Krok 1 — kąty równości $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$:

$$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{11\pi}{6}$$

Krok 2 — cosinus jest większy od $\frac{\sqrt3}{2}$ w pobliżu $x=0$ (gdzie cosinus jest największy). To fragment od $0$ do $\frac{\pi}{6}$ oraz od $\frac{11\pi}{6}$ do $2\pi$:

$$x\in\left\langle0,\ \frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6},\ 2\pi\right)$$

Uwaga. Rozwiązanie „rozpada się" na dwa kawałki na krańcach przedziału, bo cosinus ma maksimum w $x=0$ i wraca do niego przy $2\pi$.

Odpowiedź: $\left\langle0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6},2\pi\right)$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ \pi\rangle$, to $u\in\langle0,\ 2\pi\rangle$.

Krok 2 — nierówność $\sin u>0$ zachodzi dla $u\in(0,\ \pi)$.

Krok 3 — wracamy do $x=\frac{u}{2}$:

$$0<2x<\pi \quad\Rightarrow\quad 0

Wniosek: $x\in\left(0,\ \frac{\pi}{2}\right)$.

Uwaga. Argument $2x$ „ściska" wykres — trzeba przełożyć zarówno nierówność, jak i granice przedziału.

Odpowiedź: $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$.

Krok 1 — dwa warunki. Tangens musi być określony (mianownik jego definicji $\neq0$) ORAZ różny od zera (nasz mianownik):

Krok 2 — tangens nieokreślony dla $\cos x=0$:

$$x\neq\frac{\pi}{2},\qquad x\neq\frac{3\pi}{2}$$

Krok 3 — tangens równy zero dla $\sin x=0$:

$$x\neq\pi \quad (\text{w }(0,\ 2\pi))$$

Krok 4 — dziedzina:

$$x\in(0,\ 2\pi)\setminus\left\{\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}\right\}$$

Uwaga. $\frac{1}{\operatorname{tg}x}=\operatorname{ctg}x$, a cotangens jest nieokreślony właśnie tam, gdzie $\sin x=0$ lub tangens nie istnieje.

Odpowiedź: $(0,2\pi)$ bez $\left\{\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Krok 1 — korzystamy z parzystości sinusa i cosinusa. Sinus jest nieparzysty, cosinus parzysty:

$$\sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x$$

Krok 2 — liczymy $\operatorname{tg}(-x)$:

$$\operatorname{tg}(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\operatorname{tg}x$$

Krok 3 — wniosek. Warunek $\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x$ oznacza nieparzystość. $\qquad ∎$

Interpretacja graficzna. Wykres tangensa jest symetryczny względem początku układu współrzędnych — obrót o $180^\circ$ wokół punktu $(0,0)$ nakłada go na siebie.

Sprawdzenie: $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1=-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$ ✔