Okrąg w układzie współrzędnych

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Podstawiamy współrzędne:

$$|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Warto zapamiętać: to klasyczny trójkąt o bokach $3$, $4$, $5$ — wzór na odległość to po prostu twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.

Odpowiedź: C. $|AB|=5$.

W postaci kierunkowej $y=ax+b$ współczynnik kierunkowy to liczba przy $x$:

$$a=3$$

Liczba $-2$ to wyraz wolny $b$ (miejsce przecięcia z osią OY).

Odpowiedź: B. $3$.

Ogólna postać równania okręgu:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Dla środka $(0,0)$ i $r=5$:

$$x^2+y^2=25$$

Uwaga: po prawej stronie stoi promień do kwadratu, a nie sam promień.

Odpowiedź: B. $x^2+y^2=25$.

Środek odcinka ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców:

$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Pierwsza współrzędna:

$$\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Druga współrzędna:

$$\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Sprawdzenie: od $A$ do $S$ przesuwamy się o $(5,\,-2)$ i od $S$ do $B$ tak samo. Zgadza się.

Odpowiedź: $S=(2,\,3)$.

Krok 1 — zapisujemy postać kierunkową z $a=2$:

$$y=2x+b$$

Krok 2 — podstawiamy punkt $P$:

$$5=2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=3$$

$$y=2x+3$$

Sprawdzenie: $2\cdot1+3=5$ ✔

Odpowiedź: $y=2x+3$.

Porównujemy z postacią $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$:

$$a=2,\qquad b=-3,\qquad r=\sqrt{16}=4$$

Uwaga na znak. Zapis $(y+3)^2$ to $\bigl(y-(-3)\bigr)^2$, więc druga współrzędna środka jest ujemna. To najczęstsza pomyłka przy odczytywaniu.

Odpowiedź: $S=(2,\ -3)$, $r=4$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7-1}{2-0}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $A$ leży na osi OY, więc od razu odczytujemy $b=1$.

$$y=3x+1$$

Sprawdzenie dla punktu $B$: $3\cdot2+1=7$. Zgadza się.

Odpowiedź: $y=3x+1$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Podstawiamy $A=3$, $B=4$, $C=-19$, $P=(1,\,1)$:

$$d=\frac{|3\cdot1+4\cdot1-19|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-12|}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4$$

Uwaga: prosta musi być w postaci ogólnej (z zerem po prawej) — inaczej wzór da zły wynik.

Odpowiedź: $d=2{,}4$.

Podstawiamy do wzoru ogólnego:

$$(x-1)^2+\bigl(y-(-2)\bigr)^2=3^2$$

$$(x-1)^2+(y+2)^2=9$$

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y+2)^2=9$.

Warunek prostopadłości prostych o współczynnikach kierunkowych $a_1$ i $a_2$:

$$a_1\cdot a_2=-1$$

Podstawiamy $a_1=2$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Pułapka: nie wystarczy zmienić znak ($-2$) ani samo odwrócić ułamek ($\frac12$) — trzeba zrobić obie rzeczy naraz.

Odpowiedź: B. $a_2=-\frac12$.

Warunek prostopadłości: $a_1\cdot a_2=-1$. Dla $a_1=2$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Reguła: współczynnik prostej prostopadłej to odwrotność ze zmienionym znakiem.

Odpowiedź: A. $-\frac12$.

Równanie $x^2+y^2=9$ opisuje sam okrąg — brzeg figury.

Nierówność nieostra $x^2+y^2\le9$ dołącza wnętrze, więc opisuje koło wraz z brzegiem.

Promień: $r=\sqrt9=3$.

Odpowiedź: B. koło o promieniu $3$.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

gdzie $S=(a,\,b)$ jest środkiem, a $r$ promieniem.

Odczytujemy środek — uwaga na znaki. Mamy $(x-2)$, więc $a=2$. Mamy $(y+3)$, czyli $(y-(-3))$, więc $b=-3$.

Promień: $r^2=25$, zatem $r=5$.

Odpowiedź: $S=(2,\,-3)$, $r=5$.

Metoda podstawy i wysokości. Bok $AB$ jest poziomy, więc łatwo go zmierzyć:

$$a=|AB|=5-1=4$$

Wysokość to pionowa odległość $C$ od prostej $y=1$:

$$h=6-1=5$$

Pole:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{4\cdot5}{2}=10$$

Odpowiedź: $P=10$.

Podstawiamy współrzędne punktu:

$$3^2+4^2=9+16=25$$

Lewa strona równa się prawej, więc punkt leży na okręgu.

Interpretacja: odległość punktu $(3,4)$ od początku układu wynosi dokładnie $5$ — to znana trójka pitagorejska $3$, $4$, $5$.

Odpowiedź: tak, punkt leży na okręgu.

Symetria względem osi OX zmienia znak drugiej współrzędnej:

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$

Zatem $P=(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.

Dla porównania: symetria względem osi OY dałaby $(-4,\,-2)$, a symetria względem początku układu $(-4,\,2)$.

Odpowiedź: A. $(4,\,2)$.

Równanie okręgu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ ma środek $S=(a,\,b)$.

Uwaga na znaki: $(x-3)$ daje $a=3$; $(y+1)=(y-(-1))$ daje $b=-1$.

Promień: $r^2=16$, więc $r=4$.

Odpowiedź: C. $S=(3,\,-1)$, $r=4$.

Przepisujemy równanie w postaci wzorcowej:

$$\bigl(x-(-1)\bigr)^2+(y-2)^2=2^2$$

Stąd $S=(-1,\ 2)$ oraz $r=2$.

Zasada: we wzorze występuje odejmowanie, więc znaki we współrzędnych środka są przeciwne do tych widocznych w nawiasach.

Odpowiedź: B. $(-1,\ 2)$.

Krok 1 — współrzędne wektora. Od końca odejmujemy początek:

$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]=[5-1,\ 4-2]=[4,\,2]$$

Krok 2 — długość wektora:

$$|\vec{AB}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$$

Uwaga na kolejność: gdybyśmy odjęli odwrotnie, dostalibyśmy wektor $\vec{BA}=[-4,\,-2]$ — przeciwny, ale o tej samej długości.

Odpowiedź: $\vec{AB}=[4,\,2]$, $|\vec{AB}|=2\sqrt5$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{7-1}{4-2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $A$:

$$1=3\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=-5$$

$$y=3x-5$$

Sprawdzenie dla $B$: $3\cdot4-5=7$ ✔

Odpowiedź: $y=3x-5$.

Krok 1 — grupujemy wyrazy z tą samą zmienną:

$$\left(x^2-4x\right)+\left(y^2+6y\right)-3=0$$

Krok 2 — uzupełniamy każdą grupę do kwadratu:

$$x^2-4x=(x-2)^2-4$$

$$y^2+6y=(y+3)^2-9$$

Krok 3 — wstawiamy z powrotem:

$$(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3=0$$

Krok 4 — porządkujemy:

$$(x-2)^2+(y+3)^2=16$$

Odpowiedź: $S=(2,\ -3)$, $r=4$.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Tutaj oba wynoszą $3$.

Wyrazy wolne są różne ($2$ oraz $-7$), więc proste się nie pokrywają.

Sprawdzenie: gdyby miały punkt wspólny, zachodziłoby $3x+2=3x-7$, czyli $2=-7$ — sprzeczność, więc punktu wspólnego nie ma.

Odpowiedź: D.

Podstawiamy do wzoru $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$:

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Uwaga: po prawej stronie stoi kwadrat promienia, czyli $25$, a nie $5$.

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-3)^2=25$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

$$d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $d=5$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Krok 1 — licznik. Mamy $A=3$, $B=4$, $C=-10$:

$$|3\cdot3+4\cdot4-10|=|9+16-10|=|15|=15$$

Krok 2 — mianownik:

$$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 3 — dzielimy:

$$d=\frac{15}{5}=3$$

Uwaga: prostą trzeba najpierw zapisać w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie), inaczej wzór da zły wynik.

Odpowiedź: $d=3$.

Oba współczynniki kierunkowe są równe ($a=2$), więc proste są równoległe. Różne wyrazy wolne ($3$ i $-4$) oznaczają, że się nie pokrywają.

Odpowiedź: D. równoległe i różne.

Porównujemy odległość środków z sumą promieni:

$$r_1+r_2=3+4=7=d$$

Gdy $d=r_1+r_2$, okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny i leżą na zewnątrz siebie — są styczne zewnętrznie.

Pełna klasyfikacja: $d>r_1+r_2$ — rozłączne zewnętrznie; $d=r_1+r_2$ — styczne zewnętrznie; $|r_1-r_2|

Odpowiedź: B. styczne zewnętrznie.

Krok 1 — długości boków:

$$|AB|=\sqrt{4^2+0^2}=4,\qquad |AC|=\sqrt{0^2+3^2}=3$$

$$|BC|=\sqrt{(0-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$$

Krok 2 — sprawdzamy twierdzenie odwrotne do Pitagorasa:

$$3^2+4^2=9+16=25=5^2$$

Równość zachodzi, więc trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku $A$.

Krok 3 — pole. Przyprostokątne to $|AB|=4$ i $|AC|=3$:

$$P=\frac{4\cdot3}{2}=6$$

Odpowiedź: trójkąt jest prostokątny, jego pole wynosi $6$.

Przecięcie z osią OY: tam $x=0$, więc $y=0+1=1$ — punkt $(0,\,1)$.

Przecięcie z osią OX: tam $y=0$, więc:

$$0=x+1 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

punkt $(-1,\,0)$.

Zapamiętaj: na osi OY zeruje się $x$, na osi OX zeruje się $y$.

Odpowiedź: z OY w $(0,\,1)$, z OX w $(-1,\,0)$.

Krok 1 — liczymy wartości graniczne:

$$r_1+r_2=7,\qquad |r_1-r_2|=3$$

Krok 2 — porównujemy z $d=3$:

$$d=|r_1-r_2|$$

Krok 3 — wniosek. Okręgi są styczne wewnętrznie — mniejszy leży wewnątrz większego i dotyka go w jednym punkcie.

Odpowiedź: styczne wewnętrznie.

Dla środka w początku układu równanie upraszcza się do:

$$x^2+y^2=r^2$$

Podstawiamy $r=4$, czyli $r^2=16$:

$$x^2+y^2=16$$

Najczęstszy błąd to wpisanie po prawej stronie promienia zamiast jego kwadratu — odpowiedź C opisuje okrąg o promieniu $2$.

Odpowiedź: B.

Podstawiamy współrzędne do lewej strony równania:

$$1^2+2^2=1+4=5$$

Wynik równy prawej stronie, więc punkt leży na okręgu.

Reguła: wynik mniejszy niż $r^2$ oznaczałby wnętrze, większy — zewnętrze.

Odpowiedź: B. tak.

Dwa różne okręgi mogą mieć $0$, $1$ albo $2$ punkty wspólne. „Przecinające się” oznacza właśnie dwa punkty.

Jeden punkt to styczność, zero — rozłączność. Nieskończenie wiele punktów wspólnych miałyby tylko okręgi identyczne.

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Proste równoległe mają ten sam współczynnik, więc $a=-2$:

$$y=-2x+b$$

Krok 2 — wyznaczamy $b$, podstawiając współrzędne punktu $P$:

$$5=-2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad 5=-2+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

Krok 3 — zapisujemy wynik:

$$y=-2x+7$$

Wniosek: punkt $P$ leżał na danej prostej, więc szukana prosta jest z nią tożsama. Warto to zauważyć — nie jest to błąd rachunkowy.

Odpowiedź: $y=-2x+7$.

Krok 1 — współczynnik prostej prostopadłej. Dla $a_1=\frac12$:

$$\frac12\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $P=(0,\,4)$ leży na osi OY, więc $b=4$.

$$y=-2x+4$$

Odpowiedź: $y=-2x+4$.

Krok 1 — na osi $OX$ zachodzi $y=0$:

$$x^2+0=25$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x^2=25 \quad\Rightarrow\quad x=5 \ \text{lub}\ x=-5$$

Krok 3 — punkty:

$$(5,\ 0) \quad\text{oraz}\quad (-5,\ 0)$$

Uwaga: pierwiastkując równanie kwadratowe, bierzemy oba znaki — pominięcie ujemnego to typowy błąd.

Odpowiedź: $(5,0)$ i $(-5,0)$.

Dodawanie wektorów — dodajemy odpowiadające sobie współrzędne:

$$\vec{u}+\vec{v}=[3+2,\ -1+5]=[5,\,4]$$

Mnożenie przez liczbę — mnożymy obie współrzędne:

$$2\vec{u}=[2\cdot3,\ 2\cdot(-1)]=[6,\,-2]$$

Uwaga: wektor $2\vec{u}$ ma ten sam kierunek i zwrot co $\vec{u}$, ale jest dwa razy dłuższy.

Odpowiedź: $\vec{u}+\vec{v}=[5,\,4]$, $2\vec{u}=[6,\,-2]$.

Ze wzoru na odległość punktu od prostej, dla $A=1$, $B=1$, $C=-6$, $P=(0,\,0)$:

$$d=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$$

Przybliżenie: $3\sqrt2\approx4{,}24$.

Odpowiedź: $d=3\sqrt2\approx4{,}24$.

Krok 1 — odczytujemy promień:

$$r^2=16 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi r^2=16\pi\approx50{,}27$$

Skrót: we wzorze na pole i tak występuje $r^2$, a to dokładnie liczba stojąca po prawej stronie nierówności — pierwiastkowanie było zbędne.

Odpowiedź: $P=16\pi$.

Krok 1 — wymiary prostokąta. Bok $AB$ jest poziomy:

$$|AB|=5-1=4$$

Bok $BC$ jest pionowy:

$$|BC|=4-1=3$$

Krok 2 — przekątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Można też policzyć wprost odległość $|AC|$ ze wzoru na odległość punktów — wynik będzie ten sam.

Odpowiedź: C. $d=5$.

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców:

$$S=\left(\frac{-2+6}{2},\ \frac{4+(-2)}{2}\right)=(2,\,1)$$

Odpowiedź: A. $(2,\,1)$.

Krok 1 — odczytujemy dane okręgu: $S=(3,\ 4)$, $r=3$.

Krok 2 — odległość punktu od środka:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}=5$$

Krok 3 — porównujemy z promieniem:

$$5>3 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt leży na zewnątrz}$$

Reguła: $dr$ — na zewnątrz.

Odpowiedź: C. na zewnątrz.

Ze wzoru na środek odcinka układamy dwa równania:

$$\frac{x_A+x_B}{2}=3,\qquad \frac{y_A+y_B}{2}=2$$

Pierwsza współrzędna:

$$\frac{1+x_B}{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 1+x_B=6 \quad\Rightarrow\quad x_B=5$$

Druga współrzędna:

$$\frac{-1+y_B}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad -1+y_B=4 \quad\Rightarrow\quad y_B=5$$

Sprawdzenie: środek odcinka o końcach $(1,\,-1)$ i $(5,\,5)$ to $\left(\frac{1+5}{2},\ \frac{-1+5}{2}\right)=(3,\,2)$. Zgadza się.

Odpowiedź: $B=(5,\,5)$.

Krok 1 — długości boków. Trójkąt jest prostokątny (przyprostokątne leżą na osiach):

$$|AB|=6,\qquad |AC|=8,\qquad |BC|=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24$$

Krok 3 — obwód:

$$O=6+8+10=24$$

Krok 4 — promień okręgu wpisanego ze wzoru $r=\frac{P}{p}$, gdzie $p=\frac{O}{2}=12$:

$$r=\frac{24}{12}=2$$

Odpowiedź: $P=24$, $O=24$, $r=2$.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu na okręgu:

$$r=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — układamy równanie:

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Sprawdzenie punktem $A$: $9+16=25$ ✔

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-3)^2=25$.

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość $y$, więc przyrównujemy prawe strony:

$$2x-1=-x+5$$

Krok 1 — porządkujemy równanie:

$$2x+x=5+1 \quad\Rightarrow\quad 3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 2 — obliczamy $y$, podstawiając do dowolnego z równań:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-2+5=3$. Zgadza się.

Odpowiedź: punkt przecięcia to $(2,\,3)$.

Na osi OX zeruje się $y$:

$$0=-x+5 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Punkt przecięcia to $(5,\,0)$.

Uwaga: odpowiedź A ($0,\,5$) to punkt przecięcia z osią OY, nie OX.

Odpowiedź: C. $(5,\,0)$.

Suma dwóch kwadratów jest zerem tylko wtedy, gdy oba składniki są zerami:

$$x=0 \quad\text{i}\quad y=0$$

Zbiorem rozwiązań jest jeden punkt $(0,\ 0)$ — to okrąg „zdegenerowany” o promieniu zerowym.

Dla porównania: równanie $x^2+y^2=-1$ opisuje zbiór pusty, bo suma kwadratów nigdy nie jest ujemna.

Odpowiedź: B. jeden punkt.

Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania:

$$3^2+4^2=9+16=25$$

Otrzymana wartość jest równa prawej stronie, więc punkt spełnia równanie i leży na okręgu.

Jak czytać wynik: gdyby suma wyszła mniejsza od $25$, punkt leżałby wewnątrz koła, a gdyby większa — na zewnątrz.

Odpowiedź: A.

Prosta jest styczna, gdy jej odległość od środka okręgu równa się promieniowi.

Krok 1 — środek i promień. Okrąg ma środek $S=(0,\,0)$ i $r=\sqrt2$.

Krok 2 — prosta w postaci ogólnej: $x-y+1=0$, czyli $A=1$, $B=-1$, $C=1$.

Krok 3 — odległość środka od prostej:

$$d=\frac{|1\cdot0-1\cdot0+1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Krok 4 — porównanie. $d=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71$, a $r=\sqrt2\approx1{,}41$. Ponieważ $dnie jest styczna — jest sieczną (przecina okrąg w dwóch punktach).

Odpowiedź: nie, prosta jest sieczną, bo $d

Krok 1 — odczytujemy dane:

$$S_1=(1,\ 2),\ r_1=3;\qquad S_2=(5,\ 5),\ r_2=2$$

Krok 2 — odległość środków:

$$d=\sqrt{(5-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5$$

Krok 3 — wartości graniczne:

$$r_1+r_2=5,\qquad |r_1-r_2|=1$$

Krok 4 — porównanie:

$$d=r_1+r_2=5$$

Wniosek. Okręgi są styczne zewnętrznie — mają dokładnie jeden punkt wspólny i leżą po przeciwnych stronach stycznej poprowadzonej w tym punkcie.

Odpowiedź: styczne zewnętrznie.

Metoda 1 — podstawa i wysokość. Bok $AB$ leży na osi OX, więc jako podstawę bierzemy:

$$a=|AB|=6$$

Wysokość opuszczona na tę podstawę to po prostu druga współrzędna punktu $C$:

$$h=5$$

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15$$

Metoda 2 — wzór wyznacznikowy (dla dowolnego położenia trójkąta):

$$P=\frac12\left|x_B\cdot y_C-x_C\cdot y_B\right|=\frac12\left|6\cdot5-2\cdot0\right|=\frac{30}{2}=15$$

Obie metody dają ten sam wynik.

Odpowiedź: $P=15$.

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{2+6}{2},\ \frac{1+5}{2}\right)=(4,\,3)$$

Krok 2 — współczynnik odcinka $AB$:

$$a_{AB}=\frac{5-1}{6-2}=1$$

Krok 3 — współczynnik symetralnej (prostopadła do $AB$):

$$a=-1$$

Krok 4 — wyraz wolny z warunku, że symetralna przechodzi przez środek $S$:

$$3=-1\cdot4+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

$$y=-x+7$$

Odpowiedź: $y=-x+7$.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^2+6x\right)+\left(y^2-8y\right)+9=0$$

Krok 2 — uzupełniamy do kwadratów. Bierzemy połowę współczynnika przy zmiennej i podnosimy do kwadratu:

$$x^2+6x=(x+3)^2-9$$

$$y^2-8y=(y-4)^2-16$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$(x+3)^2-9+(y-4)^2-16+9=0$$

Krok 4 — porządkujemy:

$$(x+3)^2+(y-4)^2=16$$

Krok 5 — odczytujemy: $S=(-3,\ 4)$ oraz $r=4$.

Sprawdzenie sensowności. Prawa strona wyszła dodatnia, więc równanie faktycznie opisuje okrąg. Gdyby wyszło zero — byłby to punkt, a przy liczbie ujemnej zbiór pusty.

Odpowiedź: $(x+3)^2+(y-4)^2=16$, $S=(-3,4)$, $r=4$.

Symetralna przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{1+5}{2},\ \frac{2+6}{2}\right)=(3,\,4)$$

Krok 2 — współczynnik kierunkowy odcinka $AB$:

$$a_{AB}=\frac{6-2}{5-1}=\frac{4}{4}=1$$

Krok 3 — współczynnik symetralnej z warunku prostopadłości:

$$1\cdot a=-1 \quad\Rightarrow\quad a=-1$$

Krok 4 — wyznaczamy $b$, podstawiając środek $S=(3,\,4)$:

$$4=-1\cdot3+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

$$y=-x+7$$

Sprawdzenie: punkt $S=(3,\,4)$ spełnia równanie, bo $-3+7=4$. Zgadza się.

Odpowiedź: $y=-x+7$.

Wzór na pole trójkąta o dowolnych wierzchołkach:

$$P=\frac12\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|$$

Krok 1 — wektory od $A$:

$$\vec{AB}=[3,\,1],\qquad \vec{AC}=[1,\,4]$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$P=\frac12\left|3\cdot4-1\cdot1\right|=\frac12\left|12-1\right|=\frac{11}{2}=5{,}5$$

Odpowiedź: $P=5{,}5$.

Krok 1 — co oznacza styczność do osi. Odległość środka od osi $OY$ musi być równa promieniowi.

Krok 2 — odległość od osi $OY$ to wartość bezwzględna pierwszej współrzędnej:

$$r=|3|=3$$

Krok 3 — równanie:

$$(x-3)^2+(y-1)^2=9$$

Sprawdzenie. Punkt styczności to $(0,\ 1)$ — leży na osi $OY$, a podstawienie daje $9+0=9$ ✔

Analogicznie: gdyby okrąg miał być styczny do osi $OX$, promieniem byłaby druga współrzędna, czyli $r=|1|=1$.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y-1)^2=9$.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu, przez który okrąg przechodzi:

$$r=|SP|=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Krok 2 — równanie okręgu:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Krok 3 — badamy punkt $Q$. Liczymy jego odległość od środka:

$$|SQ|=\sqrt{(2-2)^2+(7-1)^2}=\sqrt{0+36}=6$$

Porównanie z promieniem: $6>5$, więc punkt $Q$ leży na zewnątrz okręgu.

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-1)^2=25$; punkt $Q$ leży na zewnątrz okręgu.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu $A$:

$$r=|SA|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — równanie okręgu:

$$(x-1)^2+(y-2)^2=25$$

Krok 3 — sprawdzamy punkt $B=(-2,\,2)$:

$$(-2-1)^2+(2-2)^2=9+0=9$$

Wynik $9\neq25$, więc punkt $B$ nie leży na okręgu (leży wewnątrz, bo $9<25$).

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y-2)^2=25$; punkt $B$ nie leży na okręgu.

Krok 1 — szukamy punktów wspólnych. Podstawiamy $y=r$ do równania okręgu:

$$x^2+r^2=r^2$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=0$$

Krok 3 — wniosek. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a to właśnie definicja styczności prostej i okręgu. $\qquad ∎$

Krok 4 — punkt styczności:

$$(0,\ r)$$

Sposób alternatywny. Odległość środka $(0,0)$ od prostej poziomej $y=r$ wynosi $r$ — dokładnie tyle, ile promień. A warunek styczności prostej i okręgu to właśnie równość odległości środka od prostej i promienia.

Sprawdzenie dla $r=5$: prosta $y=5$ dotyka okręgu $x^2+y^2=25$ w punkcie $(0,5)$, czyli w jego najwyższym punkcie ✔

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Punkt leży na okręgu, jeśli jego odległość od środka okręgu jest równa promieniowi. Obliczmy zatem długość odcinka \(|SA|\):
$$|SA|=\sqrt{(x_{A}-x_{S})^2+(y_{A}-y_{S})^2} \\
|SA|=\sqrt{(4-1)^2+(-7-(-3))^2} \\
|SA|=\sqrt{3^2+(-4)^2} \\
|SA|=\sqrt{9+16} \\
|SA|=\sqrt{25} \\
|SA|=5$$

Odległość jest równa promieniowi (\(r=5\)), więc punkt leży na okręgu. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Podstawiając dane \(S=(1,-3)\) i \(r=5\), otrzymujemy:
$$(x-1)^2+(y-(-3))^2=5^2 \\
(x-1)^2+(y+3)^2=25$$

W podanym stwierdzeniu po prawej stronie równania widnieje liczba \(5\) zamiast \(25\), czyli zdanie jest fałszem.

Krok 1. Obliczenie długości promienia okręgu.
Promień okręgu będzie równy długości odcinka \(PS\), który łączy punkt \(P\) ze środkiem okręgu \(S\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(S\) oraz \(P\).
$$|PS|=\sqrt{(x_{S}-x_{P})^2+(y_{S}-y_{P})^2} \\
|PS|=\sqrt{(2-0)^2+(4-0)^2} \\
|PS|=\sqrt{2^2+4^2} \\
|PS|=\sqrt{4+16} \\
|PS|=\sqrt{20}$$

Teoretycznie moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, ale tutaj nie jest to konieczne, zwłaszcza że za chwilę do równania okręgu będziemy potrzebować wartości \(r^2\). Możemy więc zapisać, że \(r=\sqrt{20}\).

Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień okręgu. W naszym przypadku \(a=2\) oraz \(b=4\), natomiast \(r^2=20\). Skoro tak, to poszukiwanym równaniem okręgu będzie:
$$(x-2)^2+(y-4)^2=20$$