Działania na pochodnych

Korzystamy ze wzoru na pochodną potęgi: $(x^n)^{\prime}=n x^{n-1}$.

$$f^{\prime}(x)=5x^4$$

Odpowiedź: B. $5x^4$.

Pochodna sumy to suma pochodnych:

$$(f+g)'=f'+g'$$

Odpowiedź: B. $f'(x)+g'(x)$.

Wzór $(x^n)'=n x^{n-1}$:

$$(x^3)'=3x^{2}$$

Odpowiedź: B. $3x^2$.

Różniczkujemy składnik po składniku:

$$(3x^2)^{\prime}=6x,\qquad (-4x)^{\prime}=-4,\qquad (7)^{\prime}=0$$

$$f^{\prime}(x)=6x-4$$

Pamiętaj: pochodna stałej to zero.

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=6x-4$.

$$f'(x)=2x+3,\qquad g'(x)=5$$

$$(f+g)'(x)=2x+3+5=2x+8$$

Odpowiedź: $(f+g)'(x)=2x+8$.

$$f'(x)=5x^{4}$$

Odpowiedź: $5x^4$.

1. $f^\prime(x)=3x^2-12x$, $f^\prime(1)=3-12=-9$.

Odpowiedź: $-9$

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=2x-3$$

Krok 2 — podstawiamy $x=2$:

$$f^{\prime}(2)=2\cdot2-3=1$$

Interpretacja: $f^{\prime}(2)=1$ to nachylenie stycznej do wykresu w punkcie o odciętej $2$.

Odpowiedź: $f^{\prime}(2)=1$.

Wzór na pochodną iloczynu:

$$(f\cdot g)'=f'g+fg'$$

Uwaga: to NIE jest iloczyn pochodnych — trzeba użyć pełnego wzoru.

Odpowiedź: C. $f'g+fg'$.

Pochodna stałej jest równa zeru:

$$(7)'=0$$

Odpowiedź: A. $0$.

1. $f^\prime(x)=3x^2+2mx+3\ge0$ dla każdego $x$ ⇔ $\Delta=4m^2-36\le0$ ⇔ $m\in[-3,3]$.

Odpowiedź: $m\in[-3,3]$

Funkcja stała nie zmienia wartości, więc jej tempo zmian (pochodna) wynosi zero:

$$f^{\prime}(x)=0$$

Odpowiedź: C. $0$.

Stosujemy wzór na pochodną iloczynu, gdzie $(\sin x)'=\cos x$:

$$f'(x)=1\cdot\sin x+x\cdot\cos x=\sin x+x\cos x$$

Odpowiedź: $f'(x)=\sin x+x\cos x$.

Pochodna funkcji liniowej to jej współczynnik kierunkowy:

$$f'(x)=4$$

Odpowiedź: $4$.

1. $f(1)=0$, $f^\prime(x)=3x^2-2$, $f^\prime(1)=1$.
2. $y=1\cdot(x-1)+0=x-1$.

Odpowiedź: $y=x-1$

Reguła iloczynu: $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$.

Krok 1 — pochodne czynników:

$$u=x^2+1,\ u^{\prime}=2x,\qquad v=x-3,\ v^{\prime}=1$$

Krok 2 — składamy:

$$f^{\prime}(x)=2x(x-3)+(x^2+1)\cdot1$$

Krok 3 — upraszczamy:

$$=2x^2-6x+x^2+1=3x^2-6x+1$$

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=3x^2-6x+1$.

Reguła łańcuchowa: pochodna funkcji zewnętrznej (w punkcie funkcji wewnętrznej) razy pochodna funkcji wewnętrznej:

$$\bigl[f(g(x))\bigr]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Odpowiedź: A. $f'(g(x))\cdot g'(x)$.

Różniczkujemy każdy składnik osobno:

$$f'(x)=2x+3$$

Uwaga: pochodna wyrazu wolnego $-5$ to $0$.

Odpowiedź: $f'(x)=2x+3$.

1. $f(x)=x+\frac3x$, $f(1)=4$.
2. $f^\prime(x)=1-\frac3{x^2}$, $f^\prime(1)=-2$.
3. $y=-2(x-1)+4=-2x+6$.

Odpowiedź: $y=-2x+6$

Reguła pochodnej funkcji złożonej: różniczkujemy „od zewnątrz”, a potem mnożymy przez pochodną wnętrza.

Krok 1 — pochodna zewnętrznej potęgi:

$$3(2x+1)^2$$

Krok 2 — mnożymy przez pochodną wnętrza $(2x+1)^{\prime}=2$:

$$f^{\prime}(x)=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$$

Najczęstszy błąd: pominięcie mnożenia przez pochodną wnętrza (tu przez $2$).

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=6(2x+1)^2$.

Krok 1 — funkcja zewnętrzna $u^3$, wewnętrzna $u=2x+1$.

Krok 2 — stosujemy regułę łańcuchową:

$$f'(x)=3(2x+1)^2\cdot(2x+1)'=3(2x+1)^2\cdot2$$

Krok 3 — porządkujemy:

$$f'(x)=6(2x+1)^2$$

Uwaga: nie zapomnij o pochodnej „wnętrza" ($2$) — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $f'(x)=6(2x+1)^2$.

Stały czynnik zostaje: $(2x^3)'=2\cdot3x^2=6x^2$.

Odpowiedź: C. $6x^2$.

1. $f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$.
2. $f^\prime\gt 0$ dla $x\lt -1$ lub $x\gt 3$; $f^\prime\lt 0$ dla $-1\lt x\lt 3$.
3. Maksimum: $f(-1)=-1-3+9+1=6$; minimum: $f(3)=27-27-27+1=-26$.

Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,-1]$ i $[3,\infty)$, maleje na $[-1,3]$; $f_{\max}=f(-1)=6$, $f_{\min}=f(3)=-26$

Zapisujemy pierwiastek jako potęgę: $\sqrt{x}=x^{1/2}$. Wtedy:

$$f^{\prime}(x)=\frac12 x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Odpowiedź: A. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Krok 1 — zewnętrzna $u^5$, wewnętrzna $u=x^2+1$.

Krok 2 — reguła łańcuchowa:

$$f'(x)=5\left(x^2+1\right)^4\cdot\left(x^2+1\right)'$$

Krok 3 — pochodna wnętrza to $2x$:

$$f'(x)=5\left(x^2+1\right)^4\cdot2x=10x\left(x^2+1\right)^4$$

Odpowiedź: $f'(x)=10x\left(x^2+1\right)^4$.

$$f'(x)=3x^2-12x$$

Odpowiedź: $3x^2-12x$.

1. $f^\prime(x)=3x^2-3=0 \iff x=\pm1$ (oba w przedziale).
2. $f(-2)=-2$, $f(-1)=2$, $f(1)=-2$, $f(3)=18$.
3. Najmniejsza: $-2$ (dla $x=-2$ i $x=1$), największa: $18$ (dla $x=3$).

Odpowiedź: najmniejsza $-2$, największa $18$

Współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w danym punkcie.

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=2x$$

Krok 2 — podstawiamy $x_0=3$:

$$a=f^{\prime}(3)=6$$

Odpowiedź: współczynnik kierunkowy stycznej wynosi $6$.

Stałą wyłączamy przed pochodną:

$$(c\cdot g)'=c\cdot g'$$

Odpowiedź: D. $c\cdot g'(x)$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=2x$$

Krok 2 — wartość w punkcie:

$$f'(3)=2\cdot3=6$$

Odpowiedź: $f'(3)=6$.

1. $D=\mathbb R\setminus\{1\}$. $f^\prime(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.
2. $f^\prime\gt 0$ dla $x\lt 0$ lub $x\gt 2$; $f^\prime\lt 0$ dla $x\in(0,1)\cup(1,2)$.
3. Maksimum lokalne $f(0)=0$, minimum lokalne $f(2)=4$.

Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,0]$ i $[2,\infty)$, maleje na $[0,1)$ i $(1,2]$; $f_{\max}=f(0)=0$, $f_{\min}=f(2)=4$

Pochodna funkcji liniowej $ax$ to jej współczynnik kierunkowy:

$$f^{\prime}(x)=4$$

Interpretacja: funkcja liniowa ma stałe nachylenie, więc jej pochodna jest stała.

Odpowiedź: D. $4$.

Krok 1 — zewnętrzna $\sin u$, wewnętrzna $u=3x$.

Krok 2 — reguła łańcuchowa (pamiętając $(\sin u)'=\cos u$):

$$f'(x)=\cos(3x)\cdot(3x)'=\cos(3x)\cdot3$$

Krok 3 — wynik:

$$f'(x)=3\cos(3x)$$

Odpowiedź: $f'(x)=3\cos(3x)$.

Pochodna sumy to suma pochodnych:

$$(f+g)'=f'+g'$$

Odpowiedź: D. $f'+g'$.

1. $\frac{3x_0^2+1}{x_0^2+1}=2 \Rightarrow x_0^2=1 \Rightarrow x_0=1$.
2. $f^\prime(x)=\frac{6x(x^2+1)-(3x^2+1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$, $f^\prime(1)=1$.
3. $y=1\cdot(x-1)+2=x+1$.

Odpowiedź: $y=x+1$

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=3x^2-6x$$

Krok 2 — miejsca zerowe pochodnej. Wyłączamy $3x$:

$$3x(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \ \text{ lub } \ x=2$$

Znaczenie: to kandydaci na ekstrema funkcji $f$.

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=3x^2-6x$; miejsca zerowe $x=0$ i $x=2$.

Sposób 1 — wzór na pochodną iloczynu:

$$f'(x)=1\cdot(x-3)+(x+1)\cdot1=x-3+x+1=2x-2$$

Sposób 2 — najpierw wymnożenie:

$$f(x)=x^2-2x-3 \quad\Rightarrow\quad f'(x)=2x-2$$

Oba dają ten sam wynik ✔

Wniosek: dla prostych iloczynów wymnożenie bywa szybsze niż wzór.

Odpowiedź: $f'(x)=2x-2$.

$$f'(x)=20x^3-4x+7$$

Odpowiedź: $20x^3-4x+7$.

1. $f^\prime(x)=3x^2-3=9 \Rightarrow x=\pm2$.
2. $f(2)=4$: $y=9(x-2)+4=9x-14$.
3. $f(-2)=0$: $y=9(x+2)=9x+18$.

Odpowiedź: $y=9x-14$ oraz $y=9x+18$

Funkcja złożona — różniczkujemy zewnętrzną potęgę i mnożymy przez pochodną wnętrza.

Krok 1 — zewnętrzna:

$$4(x^2-1)^3$$

Krok 2 — pochodna wnętrza $(x^2-1)^{\prime}=2x$:

$$f^{\prime}(x)=4(x^2-1)^3\cdot2x=8x(x^2-1)^3$$

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=8x(x^2-1)^3$.

Reguła łańcuchowa:

$$f'(x)=4(5x-2)^3\cdot5=20(5x-2)^3$$

Odpowiedź: B. $20(5x-2)^3$.

Geometryczna interpretacja pochodnej: $a=f'(x_0)$ to nachylenie stycznej.

Odpowiedź: B. $f'(x_0)$.

1. Funkcja $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$ (zadanie PR18.5): maksimum lokalne $6$ w $x=-1$, minimum lokalne $-26$ w $x=3$; $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$.
2. Prosta $y=k$ przecina wykres w trzech punktach ⇔ $k$ leży ściśle między minimum a maksimum lokalnym.
3. $k\in(-26,6)$.

Odpowiedź: $k\in(-26,6)$

Wzór na pochodną ilorazu:

$$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}$$

Uwaga na znak: w liczniku jest minus (inaczej niż w regule iloczynu), a kolejność wyrazów ma znaczenie.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — zewnętrzna $\cos u$, wewnętrzna $u=x^2$.

Krok 2 — reguła łańcuchowa (z $(\cos u)'=-\sin u$):

$$f'(x)=-\sin\left(x^2\right)\cdot\left(x^2\right)'=-\sin\left(x^2\right)\cdot2x$$

Krok 3 — porządkujemy:

$$f'(x)=-2x\sin\left(x^2\right)$$

Uwaga: $\cos(x^2)$ to funkcja złożona, nie mylić z $\cos^2 x=(\cos x)^2$.

Odpowiedź: $f'(x)=-2x\sin\left(x^2\right)$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=3x^2-2$$

Krok 2 — w punkcie $x_0=1$:

$$f'(1)=3-2=1$$

Odpowiedź: $f'(1)=1$.

Styczna pozioma ma współczynnik kierunkowy $0$, więc szukamy miejsca, gdzie pochodna się zeruje.

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=2x-4$$

Krok 2 — przyrównujemy do zera:

$$2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Interpretacja: to wierzchołek paraboli — tam styczna jest pozioma.

Odpowiedź: dla $x=2$.

Wzór na pochodną iloczynu:

$$f'(x)=(x^2)'\cos x+x^2(\cos x)'$$

$$f'(x)=2x\cos x+x^2\cdot(-\sin x)$$

$$f'(x)=2x\cos x-x^2\sin x$$

Odpowiedź: $f'(x)=2x\cos x-x^2\sin x$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=2x-4$$

Krok 2 — przyrównujemy do zera:

$$2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Interpretacja. W $x=2$ funkcja ma wierzchołek (minimum) — styczna pozioma.

Odpowiedź: $x=2$.

Równanie stycznej: $y=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Krok 1 — wartość funkcji i pochodnej w $x_0=1$:

$$f(1)=1,\qquad f^{\prime}(x)=2x,\quad f^{\prime}(1)=2$$

Krok 2 — podstawiamy do wzoru:

$$y=2(x-1)+1=2x-2+1=2x-1$$

Sprawdzenie: styczna przechodzi przez $(1,\,1)$: $2\cdot1-1=1$ ✔

Odpowiedź: $y=2x-1$.

To funkcja złożona: zewnętrzna $u^2$, wewnętrzna $u=\sin x$:

$$f'(x)=2\sin x\cdot(\sin x)'=2\sin x\cos x$$

Ciekawostka: $2\sin x\cos x=\sin2x$, więc $\left(\sin^2 x\right)'=\sin2x$.

Odpowiedź: A. $2\sin x\cos x$.

Znak pochodnej wskazuje monotoniczność: $f'(x)>0$ → funkcja rosnąca.

Odpowiedź: A. dodatnia.

$$f^{\prime}(x)=2x+1,\qquad f^{\prime}(0)=2\cdot0+1=1$$

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — reguła łańcuchowa:

$$f'(x)=2\left(3x^2-1\right)\cdot\left(3x^2-1\right)'$$

Krok 2 — pochodna wnętrza to $6x$:

$$f'(x)=2\left(3x^2-1\right)\cdot6x=12x\left(3x^2-1\right)$$

Krok 3 — rozwijamy (opcjonalnie):

$$f'(x)=36x^3-12x$$

Sprawdzenie: $f(x)=9x^4-6x^2+1$, $f'(x)=36x^3-12x$ ✔

Odpowiedź: $f'(x)=12x\left(3x^2-1\right)=36x^3-12x$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=2x-6$$

Krok 2 — miejsce zerowe pochodnej:

$$2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 3 — znak pochodnej. Dla $x<3$: $f'<0$ (malejąca); dla $x>3$: $f'>0$ (rosnąca).

Odpowiedź: malejąca na $(-\infty,3)$, rosnąca na $(3,+\infty)$.

Zapisujemy jako potęgę: $\frac{2}{x}=2x^{-1}$.

$$f^{\prime}(x)=2\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{2}{x^2}$$

Uwaga: ujemny wykładnik zwiększa się o $1$ do $-2$ (bo $-1-1=-2$), a znak wyniku jest ujemny.

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^2}$.

Różniczkujemy wyraz po wyrazie:

$$f'(x)=12x^3-4x$$

Uwaga: pochodna stałej $7$ to $0$ — nie przepisujemy jej do wyniku.

Odpowiedź: C. $12x^3-4x$.

$f'(x)=2x$, więc $f'(0)=0$ (styczna pozioma w wierzchołku).

Odpowiedź: C. $0$.

Interpretacja fizyczna: prędkość chwilowa to pochodna drogi po czasie.

Krok 1 — pochodna:

$$v(t)=s^{\prime}(t)=2t+3$$

Krok 2 — podstawiamy $t=2$:

$$v(2)=2\cdot2+3=7\ \text{m/s}$$

Odpowiedź: prędkość chwilowa wynosi $7$ m/s.

Krok 1 — reguła łańcuchowa:

$$f'(x)=3\left(x^2+2x\right)^2\cdot\left(x^2+2x\right)'$$

Krok 2 — pochodna wnętrza to $2x+2$:

$$f'(x)=3\left(x^2+2x\right)^2(2x+2)$$

Krok 3 — wartość w $x=1$. Najpierw wnętrze: $1^2+2\cdot1=3$, a $2\cdot1+2=4$:

$$f'(1)=3\cdot3^2\cdot4=3\cdot9\cdot4=108$$

Odpowiedź: $f'(x)=3\left(x^2+2x\right)^2(2x+2)$, $f'(1)=108$.

Krok 1 — punkt styczności: $f(2)=4$, więc $(2,4)$.

Krok 2 — współczynnik kierunkowy: $f'(x)=2x$, $f'(2)=4$.

Krok 3 — równanie stycznej $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$:

$$y=4(x-2)+4=4x-4$$

Sprawdzenie: dla $x=2$: $y=4$ ✔

Odpowiedź: $y=4x-4$.

Krok 1 — pochodna:

$$f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$

Krok 2 — miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ i $x=1$.

Krok 3 — znak pochodnej w przedziałach:

• dla $x<-1$: $f^{\prime}>0$ — funkcja rośnie
• dla $-1
• dla $x>1$: $f^{\prime}>0$ — funkcja rośnie

Wniosek: maksimum lokalne w $x=-1$, minimum lokalne w $x=1$.

Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,\,-1\rangle$ i $\langle 1,\,+\infty)$, maleje na $\langle -1,\,1\rangle$.

Krok 1 — punkt styczności:

$$f(3)=(3-1)^2=4 \quad\Rightarrow\quad P=(3,\ 4)$$

Krok 2 — pochodna regułą łańcuchową:

$$f'(x)=2(x-1)\cdot1=2(x-1)$$

Krok 3 — współczynnik kierunkowy:

$$f'(3)=2\cdot2=4$$

Krok 4 — równanie stycznej:

$$y=4(x-3)+4=4x-8$$

Sprawdzenie: dla $x=3$: $y=4$ ✔

Odpowiedź: $y=4x-8$.

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

Krok 2 — miejsca zerowe: $x=-1$ oraz $x=1$.

Krok 3 — znak pochodnej. Parabola $3(x^2-1)$ ramionami w górę: $f'>0$ na $(-\infty,-1)$, $f'<0$ na $(-1,1)$, $f'>0$ na $(1,\infty)$.

Krok 4 — ekstrema. W $x=-1$ zmiana $+\!\to\!-$ → maksimum $f(-1)=-1+3=2$; w $x=1$ zmiana $-\!\to\!+$ → minimum $f(1)=1-3=-2$.

Odpowiedź: maksimum $2$ w $x=-1$, minimum $-2$ w $x=1$.

Krok 1 — wartości w $x_0=2$:

$$f(2)=8,\qquad f^{\prime}(x)=3x^2,\quad f^{\prime}(2)=12$$

Krok 2 — wzór stycznej:

$$y=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=12(x-2)+8$$

Krok 3 — upraszczamy:

$$y=12x-24+8=12x-16$$

Sprawdzenie: dla $x=2$: $12\cdot2-16=8=f(2)$ ✔

Odpowiedź: $y=12x-16$.

Sposób 1 — wzór na iloczyn. $f=uv$ z $u=2x+3$, $v=x^2-1$:

$$f'(x)=2\left(x^2-1\right)+(2x+3)\cdot2x$$

$$=2x^2-2+4x^2+6x=6x^2+6x-2$$

Sposób 2 — wymnożenie najpierw:

$$f(x)=2x^3+3x^2-2x-3$$

$$f'(x)=6x^2+6x-2$$

Oba sposoby dają $6x^2+6x-2$ ✔

Wniosek. Wzór na pochodną iloczynu i wcześniejsze wymnożenie zawsze prowadzą do tego samego wyniku — wybór to kwestia wygody.

Odpowiedź: $f'(x)=6x^2+6x-2$.

Krok 1 — prędkość to pochodna drogi po czasie:

$$v(t)=s'(t)=2t+2$$

Krok 2 — w chwili $t=3$:

$$v(3)=2\cdot3+2=8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Interpretacja fizyczna. Pochodna drogi po czasie to prędkość chwilowa.

Odpowiedź: $8\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Krok 1 — oznaczenia i pochodne:

$$u=x,\ u^{\prime}=1,\qquad v=x+1,\ v^{\prime}=1$$

Krok 2 — reguła ilorazu:

$$f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}$$

Krok 3 — upraszczamy licznik:

$$=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$$

Obserwacja: pochodna jest zawsze dodatnia (mianownik to kwadrat), więc funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie.

Odpowiedź: $f^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$.

Krok 1 — reguła łańcuchowa. Zewnętrzna $u^2$, wewnętrzna $u=ax+b$:

$$f'(x)=2(ax+b)\cdot(ax+b)'$$

Krok 2 — pochodna wnętrza to $a$:

$$f'(x)=2(ax+b)\cdot a=2a(ax+b) \qquad ∎$$

Krok 3 — weryfikacja przez rozwinięcie. Rozwijamy najpierw funkcję:

$$f(x)=a^2x^2+2abx+b^2$$

$$f'(x)=2a^2x+2ab=2a(ax+b) \ ✔$$

Oba podejścia dają ten sam wynik, co potwierdza tezę.

Sprawdzenie liczbowe dla $a=2$, $b=1$, $x=1$: $2\cdot2\cdot(2+1)=12$, a z rozwinięcia $8\cdot1+4=12$ ✔

Krok 1 — pochodna:

$$f'(x)=3x^2+1$$

Krok 2 — szacujemy znak. Dla każdego $x$ mamy $3x^2\ge0$, więc:

$$f'(x)=3x^2+1\ge1>0$$

Krok 3 — wniosek. Pochodna jest dodatnia w całej dziedzinie, więc funkcja jest rosnąca na $\mathbb{R}$. $\quad∎$

Sprawdzenie: $f(0)=0$, $f(1)=2$, $f(2)=10$ — wartości rosną ✔

1. Krok 1. Uproszczenie wzoru funkcji. $$f(x)=\frac{x^{3}-3x+2}{x}=x^{2}-3+\frac{2}{x}=x^{2}-3+2x^{-1}.$$
2. Krok 2. Współrzędne punktu $P$. $$f(2)=4-3+\frac{2}{2}=2\ \Rightarrow\ P=(2,\,2).$$
3. Krok 3. Pochodna i współczynnik $a$. $$f'(x)=2x-2x^{-2}=2x-\frac{2}{x^{2}},\qquad a=f'(2)=4-\frac{2}{4}=\frac{7}{2}.$$
4. Krok 4. Wyznaczenie $b$.

   Styczna przechodzi przez $P=(2,2)$: $\;2=\tfrac{7}{2}\cdot 2+b\Rightarrow 2=7+b\Rightarrow b=-5.$

   Odpowiedź: $a=\dfrac{7}{2}$, $b=-5$ (styczna: $y=\tfrac{7}{2}x-5$).

1. Krok 1. Wyznaczenie $x_{0}$ z warunku $f(x_{0})=3$. $$\frac{3x_{0}^{2}-2x_{0}}{x_{0}^{2}+2x_{0}+8}=3.$$

   Mianownik $x^{2}+2x+8$ jest zawsze dodatni ($\Delta=4-32<0$), więc możemy mnożyć:

   $$3x_{0}^{2}-2x_{0}=3\left(x_{0}^{2}+2x_{0}+8\right)=3x_{0}^{2}+6x_{0}+24.$$ $$-2x_{0}=6x_{0}+24\ \Rightarrow\ -8x_{0}=24\ \Rightarrow\ x_{0}=-3.$$

   Zatem $P=(-3,\,3)$.

2. Krok 2. Pochodna (wzór na pochodną ilorazu).

   Dla $u=3x^{2}-2x$, $v=x^{2}+2x+8$ mamy $u'=6x-2$, $v'=2x+2$ oraz

   $$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(6x-2)(x^{2}+2x+8)-(3x^{2}-2x)(2x+2)}{(x^{2}+2x+8)^{2}}.$$
3. Krok 3. Współczynnik kierunkowy stycznej $a=f'(-3)$.

   Dla $x=-3$: $v=9-6+8=11$, $u=27+6=33$, $u'=-20$, $v'=-4$. Stąd

   $$f'(-3)=\frac{(-20)\cdot 11-33\cdot(-4)}{11^{2}}=\frac{-220+132}{121}=\frac{-88}{121}=-\frac{8}{11}.$$
4. Krok 4. Równanie stycznej.

   Styczna w $P=(-3,3)$: $y-3=a(x-(-3))$, czyli

   $$y-3=-\tfrac{8}{11}(x+3)\ \Rightarrow\ y=-\tfrac{8}{11}x-\tfrac{24}{11}+3=\boxed{-\tfrac{8}{11}x+\tfrac{9}{11}}.$$