Symetria osiowa
Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 1
Symetria względem osi OX
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$
Zmienia się znak drugiej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.
Symetria względem osi OY
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,y)$$
Zmienia się znak pierwszej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(-4,\,-2)$.
Symetria względem początku układu
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,-y)$$
To symetria środkowa o środku $(0,\,0)$ — zmieniają się obie współrzędne.
Symetria środkowa o dowolnym środku
Dla środka $S=(a,\,b)$ obrazem punktu $P=(x,\,y)$ jest:
$$P^{\prime}=(2a-x,\ 2b-y)$$
Wynika to z faktu, że $S$ jest środkiem odcinka $PP^{\prime}$.
Symetria względem prostej $y=x$
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (y,\,x)$$
Współrzędne zamieniają się miejscami — tak właśnie powstaje wykres funkcji odwrotnej.
Własności symetrii
- zachowuje odległości — figura i jej obraz są przystające
- zachowuje miary kątów i pola
- symetria osiowa zmienia orientację figury, środkowa ją zachowuje
- złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach prostopadłych daje symetrię środkową
Figury symetryczne
- kwadrat ma $4$ osie symetrii i środek symetrii
- prostokąt ma $2$ osie symetrii i środek symetrii
- romb ma $2$ osie symetrii (przekątne) i środek symetrii
- trójkąt równoboczny ma $3$ osie symetrii, ale nie ma środka symetrii
- koło ma nieskończenie wiele osi symetrii i środek symetrii
Na co uważać
Łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Zapamiętaj tak: symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$; symetria względem osi OY „odbija w poziomie”, więc rusza $x$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny jest dobrym kontrprzykładem.
∑Wzory 1
Co robi: podaje współrzędne obrazu punktu w podstawowych symetriach.
Elementy: symetria względem osi OX zmienia znak drugiej współrzędnej, względem osi OY — pierwszej, a symetria środkowa o środku $(a,\,b)$ obie, według wzoru wynikającego z tego, że środek symetrii jest środkiem odcinka łączącego punkt z jego obrazem.
Przykład: punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$ w symetrii względem OX, na $(-4,\,-2)$ względem OY i na $(-4,\,2)$ w symetrii względem początku układu.
Symetria względem prostej $y=x$: współrzędne zamieniają się miejscami, $(x,\,y)\to(y,\,x)$ — tak powstaje wykres funkcji odwrotnej.
Własności: każda symetria zachowuje odległości, kąty i pola, więc figura i jej obraz są przystające.
Pułapka: łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny ma trzy osie, ale środka nie ma.
🧩Quizy 1
✍Zadania 76
Oblicz odległość między punktami $A=(1,\,2)$ i $B=(4,\,6)$.
Dane są punkty $A=(2,\,3)$ i $B=(7,\,8)$. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$.
Obrazem punktu $A=(3,\ 5)$ w symetrii względem osi $OX$ jest:
Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach $A=(-3,\,5)$ i $B=(7,\,1)$.
Oblicz długość wektora $\vec{u}=[6,\,8]$.
Podaj obraz punktu $A=(-2,\ 4)$ w symetrii względem osi $OY$.
Odległość między punktami $A=(1,-2)$ i $B=(4,2)$ jest równa
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,1)$ i $B=(2,\,7)$.
Dane są wektory $\vec{u}=[3,\,-2]$ i $\vec{v}=[1,\,5]$. Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$ oraz $\vec{u}-\vec{v}$.
Podaj obraz punktu $A=(3,\ -7)$ w symetrii względem początku układu $O$.
Środkiem odcinka o końcach $A=(-3,5)$ i $B=(7,1)$ jest punkt
Prosta $k$ ma równanie $y=2x-5$. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do $k$ wynosi:
Oblicz iloczyn skalarny wektorów $\vec{u}=[2,\,3]$ i $\vec{v}=[4,\,-1]$.
Symetria względem początku układu przekształca $(x,\ y)$ na:
Okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ ma środek $S$ i promień $r$. Wtedy
Podaj środek i promień okręgu o równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=25$.
Dla wektora $\vec{u}=[4,\,-3]$ oblicz $2\vec{u}$ oraz $-\vec{u}$.
Punkt $A=(2,\ 3)$ i jego obraz $A'=(2,\ -3)$. Względem czego wykonano symetrię?
Okrąg o środku $S=(1,2)$ przechodzi przez punkt $P=(4,6)$. Ten okrąg ma równanie
Który punkt jest obrazem punktu $P=(4,\,-2)$ w symetrii względem osi OX?
Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
Obrazem punktu $(0,\ 5)$ w symetrii względem osi $OY$ jest:
Punkt $A=(1,1)$ jest środkiem odcinka $BC$, gdzie $B=(-3,4)$. Punkt $C$ ma współrzędne
Dane są punkty $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,4)$. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$ oraz jego długość.
Sprawdź, czy wektory $\vec{u}=[3,\,4]$ i $\vec{v}=[-4,\,3]$ są prostopadłe.
Punkt $B$ jest obrazem $A=(4,\ 1)$ w symetrii środkowej względem punktu $S=(1,\ 2)$. Wyznacz współrzędne $B$.
Punkt symetryczny do punktu $P=(3,-5)$ względem osi $Oy$ ma współrzędne
Proste $y=3x+2$ i $y=3x-7$ są:
Wyznacz współrzędne punktu $B$, jeśli $A=(1,\,4)$ i $\vec{AB}=[5,\,-2]$.
Podaj obrazy punktu $P=(5,\ -2)$ w symetriach względem: osi $OX$, osi $OY$ i początku układu.
Punkty $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(0,8)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie ma współrzędne
Oblicz odległość punktu $P=(3,\,4)$ od prostej o równaniu $3x+4y-10=0$.
Który wektor jest równoległy do $\vec{u}=[2,\,3]$?
Który punkt jest stały w symetrii względem początku układu?
Dany jest okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-1)^2=13$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Punkt $A=(1,3)$ leży na tym okręgu.
- Środek tego okręgu leży na osi $Oy$.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$, $C=(0,\,3)$ jest prostokątny, i oblicz jego pole.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,0]$ i $\vec{v}=[1,\,1]$.
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=2x+3$ względem osi $OX$.
Punkty $A=(-1,2)$, $B=(5,0)$, $C=(6,4)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz współrzędne wierzchołka $D$.
Które równanie opisuje okrąg o środku $S=(0,\,0)$ i promieniu $4$?
Obrazem punktu $P=(5,\,-3)$ w symetrii względem osi OY jest punkt:
Obrazem punktu $(a,\ b)$ w symetrii względem prostej $y=x$ jest:
W równoległoboku $ABCD$ dane są $A=(1,-2)$ i $B=(7,1)$, a przekątne przecinają się w punkcie $P=(5,4)$. Oblicz długość boku $BC$ oraz obwód równoległoboku.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $P=(1,\,5)$ i równoległej do prostej $y=-2x+7$.
Punkt $S=(4,\,1)$ jest środkiem symetrii. Wyznacz obraz punktu $P=(6,\,5)$.
Trójkąt ma wierzchołki $A=(1,\ 1)$, $B=(4,\ 1)$, $C=(1,\ 5)$. Podaj współrzędne obrazu w symetrii względem osi $OY$.
Dane są wektory $\vec{u}=[3,\,-1]$ i $\vec{v}=[2,\,5]$. Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$ oraz $2\vec{u}$.
Sprawdź, czy punkty $A=(1,\,2)$, $B=(3,\,5)$ i $C=(7,\,11)$ leżą na jednej prostej.
Punkt $A'=(6,\ -1)$ jest obrazem $A$ w symetrii względem początku układu. Wyznacz $A$.
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,1)$, $C=(5,\,4)$, $D=(1,\,4)$ są wierzchołkami prostokąta. Jaka jest długość jego przekątnej?
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest ujemny. Co z tego wynika?
Funkcja, której wykres jest symetryczny względem osi $OY$, to funkcja:
Punkt $S=(3,\,2)$ jest środkiem odcinka $AB$, przy czym $A=(1,\,-1)$. Wyznacz współrzędne punktu $B$.
Dla jakiej wartości $m$ wektory $\vec{u}=[3,\,m]$ i $\vec{v}=[2,\,-6]$ są prostopadłe?
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=3x-1$ względem początku układu.
Wyznacz punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ oraz $y=-x+5$.
Wyznacz środek odcinka o końcach $A=(-2,\,7)$ i $B=(8,\,-1)$ oraz długość tego odcinka.
Obrazem punktu $(2,\ 8)$ w symetrii względem punktu $S=(2,\ 8)$ jest:
Czy punkt $P=(3,\,4)$ leży na okręgu o równaniu $x^2+y^2=25$?
Punkty $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$ i $C=(4,\,3)$ są wierzchołkami trójkąta. Korzystając z wektorów, sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny.
Punkt $A=(3,\ -4)$ odbito względem osi $OX$, otrzymując $A'$, a następnie $A'$ odbito względem osi $OY$, otrzymując $A''$. Wyznacz $A''$ i porównaj z symetrią środkową punktu $A$.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(2,\,5)$.
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(5,\,2)$ i $C=(6,\,6)$ są trzema wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz czwarty wierzchołek $D$.
Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do $(x-2)^2+(y-3)^2=9$ względem osi $OX$.
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,6)$.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,\sqrt3]$ i $\vec{v}=[1,\,0]$.
Punkty $A=(-3,\ 2)$ i $B=(5,\ 2)$ są symetryczne względem pewnej prostej pionowej. Wyznacz równanie tej prostej.
Okrąg ma środek $S=(2,\,1)$ i przechodzi przez punkt $P=(5,\,5)$. Wyznacz równanie tego okręgu i sprawdź, czy punkt $Q=(2,\,7)$ leży wewnątrz, na okręgu, czy na zewnątrz.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A=(0,\,0)$, $B=(5,\,1)$, $C=(2,\,4)$, korzystając ze wzoru wektorowego $P=\frac12\left|x_B y_C-x_C y_B\right|$.
Wykaż, że złożenie dwóch symetrii względem osi $OX$ (wykonanych jedna po drugiej) daje przekształcenie tożsamościowe.
