Środek odcinka

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Podstawiamy współrzędne:

$$|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Warto zapamiętać: to klasyczny trójkąt o bokach $3$, $4$, $5$ — wzór na odległość to po prostu twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.

Odpowiedź: C. $|AB|=5$.

Od współrzędnych końca odejmujemy współrzędne początku:

$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]=[7-2,\ 8-3]=[5,\,5]$$

Uwaga na kolejność: odwrotne odejmowanie dałoby wektor przeciwny $\vec{BA}=[-5,\,-5]$.

Odpowiedź: C. $[5,\,5]$.

W postaci kierunkowej $y=ax+b$ współczynnik kierunkowy to liczba przy $x$:

$$a=3$$

Liczba $-2$ to wyraz wolny $b$ (miejsce przecięcia z osią OY).

Odpowiedź: B. $3$.

Środek odcinka ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców:

$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Pierwsza współrzędna:

$$\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Druga współrzędna:

$$\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Sprawdzenie: od $A$ do $S$ przesuwamy się o $(5,\,-2)$ i od $S$ do $B$ tak samo. Zgadza się.

Odpowiedź: $S=(2,\,3)$.

Długość wektora liczymy jak przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

$$|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Odpowiedź: $|\vec{u}|=10$.

Krok 1 — zapisujemy postać kierunkową z $a=2$:

$$y=2x+b$$

Krok 2 — podstawiamy punkt $P$:

$$5=2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=3$$

$$y=2x+3$$

Sprawdzenie: $2\cdot1+3=5$ ✔

Odpowiedź: $y=2x+3$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7-1}{2-0}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $A$ leży na osi OY, więc od razu odczytujemy $b=1$.

$$y=3x+1$$

Sprawdzenie dla punktu $B$: $3\cdot2+1=7$. Zgadza się.

Odpowiedź: $y=3x+1$.

Działania wykonujemy na odpowiadających sobie współrzędnych.

Suma:

$$\vec{u}+\vec{v}=[3+1,\ -2+5]=[4,\,3]$$

Różnica:

$$\vec{u}-\vec{v}=[3-1,\ -2-5]=[2,\,-7]$$

Odpowiedź: $\vec{u}+\vec{v}=[4,\,3]$, $\vec{u}-\vec{v}=[2,\,-7]$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Podstawiamy $A=3$, $B=4$, $C=-19$, $P=(1,\,1)$:

$$d=\frac{|3\cdot1+4\cdot1-19|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-12|}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4$$

Uwaga: prosta musi być w postaci ogólnej (z zerem po prawej) — inaczej wzór da zły wynik.

Odpowiedź: $d=2{,}4$.

Warunek prostopadłości prostych o współczynnikach kierunkowych $a_1$ i $a_2$:

$$a_1\cdot a_2=-1$$

Podstawiamy $a_1=2$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Pułapka: nie wystarczy zmienić znak ($-2$) ani samo odwrócić ułamek ($\frac12$) — trzeba zrobić obie rzeczy naraz.

Odpowiedź: B. $a_2=-\frac12$.

Iloczyn skalarny to suma iloczynów odpowiadających współrzędnych:

$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=2\cdot4+3\cdot(-1)=8-3=5$$

Kluczowe: wynikiem jest liczba, a nie wektor — odpowiedź B mnoży współrzędne osobno i jest błędna.

Odpowiedź: A. $5$.

Warunek prostopadłości: $a_1\cdot a_2=-1$. Dla $a_1=2$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Reguła: współczynnik prostej prostopadłej to odwrotność ze zmienionym znakiem.

Odpowiedź: A. $-\frac12$.

Równanie okręgu w postaci kanonicznej to:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

gdzie $S=(a,\,b)$ jest środkiem, a $r$ promieniem.

Odczytujemy środek — uwaga na znaki. Mamy $(x-2)$, więc $a=2$. Mamy $(y+3)$, czyli $(y-(-3))$, więc $b=-3$.

Promień: $r^2=25$, zatem $r=5$.

Odpowiedź: $S=(2,\,-3)$, $r=5$.

Mnożąc wektor przez liczbę, mnożymy obie współrzędne.

$$2\vec{u}=[8,\,-6]$$

$$-\vec{u}=[-4,\,3]$$

Interpretacja: wektor $2\vec{u}$ ma ten sam kierunek i zwrot, ale jest dwa razy dłuższy. Wektor $-\vec{u}$ ma tę samą długość, lecz przeciwny zwrot.

Odpowiedź: $2\vec{u}=[8,\,-6]$, $-\vec{u}=[-4,\,3]$.

Metoda podstawy i wysokości. Bok $AB$ jest poziomy, więc łatwo go zmierzyć:

$$a=|AB|=5-1=4$$

Wysokość to pionowa odległość $C$ od prostej $y=1$:

$$h=6-1=5$$

Pole:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{4\cdot5}{2}=10$$

Odpowiedź: $P=10$.

Symetria względem osi OX zmienia znak drugiej współrzędnej:

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$

Zatem $P=(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.

Dla porównania: symetria względem osi OY dałaby $(-4,\,-2)$, a symetria względem początku układu $(-4,\,2)$.

Odpowiedź: A. $(4,\,2)$.

Ze wzoru $\vec{u}\circ\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$ widać, że dla kąta $90^\circ$ mamy $\cos 90^\circ=0$, więc cały iloczyn się zeruje.

$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$$

Uwaga: odpowiedź D opisuje wektory równoległe, czyli sytuację przeciwną.

Odpowiedź: B.

Równanie okręgu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ ma środek $S=(a,\,b)$.

Uwaga na znaki: $(x-3)$ daje $a=3$; $(y+1)=(y-(-1))$ daje $b=-1$.

Promień: $r^2=16$, więc $r=4$.

Odpowiedź: C. $S=(3,\,-1)$, $r=4$.

Krok 1 — współrzędne wektora. Od końca odejmujemy początek:

$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]=[5-1,\ 4-2]=[4,\,2]$$

Krok 2 — długość wektora:

$$|\vec{AB}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$$

Uwaga na kolejność: gdybyśmy odjęli odwrotnie, dostalibyśmy wektor $\vec{BA}=[-4,\,-2]$ — przeciwny, ale o tej samej długości.

Odpowiedź: $\vec{AB}=[4,\,2]$, $|\vec{AB}|=2\sqrt5$.

Liczymy iloczyn skalarny:

$$\vec{u}\circ\vec{v}=3\cdot(-4)+4\cdot3=-12+12=0$$

Iloczyn wynosi zero, więc wektory są prostopadłe.

Warto zauważyć: wektor prostopadły do $[a,\,b]$ otrzymujemy, zamieniając współrzędne miejscami i zmieniając jeden znak: $[-b,\,a]$.

Odpowiedź: tak, wektory są prostopadłe.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{7-1}{4-2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $A$:

$$1=3\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=-5$$

$$y=3x-5$$

Sprawdzenie dla $B$: $3\cdot4-5=7$ ✔

Odpowiedź: $y=3x-5$.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Tutaj oba wynoszą $3$.

Wyrazy wolne są różne ($2$ oraz $-7$), więc proste się nie pokrywają.

Sprawdzenie: gdyby miały punkt wspólny, zachodziłoby $3x+2=3x-7$, czyli $2=-7$ — sprzeczność, więc punktu wspólnego nie ma.

Odpowiedź: D.

Przesunięcie punktu o wektor polega na dodaniu współrzędnych:

$$B=A+\vec{AB}=(1+5,\ 4+(-2))=(6,\,2)$$

Sprawdzenie: $\vec{AB}=[6-1,\ 2-4]=[5,\,-2]$ ✔

Odpowiedź: $B=(6,\,2)$.

Podstawiamy do wzoru $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$:

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Uwaga: po prawej stronie stoi kwadrat promienia, czyli $25$, a nie $5$.

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-3)^2=25$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej $Ax+By+C=0$:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Krok 1 — licznik. Mamy $A=3$, $B=4$, $C=-10$:

$$|3\cdot3+4\cdot4-10|=|9+16-10|=|15|=15$$

Krok 2 — mianownik:

$$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 3 — dzielimy:

$$d=\frac{15}{5}=3$$

Uwaga: prostą trzeba najpierw zapisać w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie), inaczej wzór da zły wynik.

Odpowiedź: $d=3$.

Wektory są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego:

$$[4,\,6]=2\cdot[2,\,3]$$

Sprawdzenie warunkiem: dla wektorów równoległych zachodzi $u_x v_y-u_y v_x=0$. Tutaj $2\cdot6-3\cdot4=12-12=0$ ✔

Uwaga: wektory B i C są prostopadłe do $\vec{u}$, a nie równoległe.

Odpowiedź: D. $[4,\,6]$.

Oba współczynniki kierunkowe są równe ($a=2$), więc proste są równoległe. Różne wyrazy wolne ($3$ i $-4$) oznaczają, że się nie pokrywają.

Odpowiedź: D. równoległe i różne.

Krok 1 — długości boków:

$$|AB|=\sqrt{4^2+0^2}=4,\qquad |AC|=\sqrt{0^2+3^2}=3$$

$$|BC|=\sqrt{(0-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$$

Krok 2 — sprawdzamy twierdzenie odwrotne do Pitagorasa:

$$3^2+4^2=9+16=25=5^2$$

Równość zachodzi, więc trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku $A$.

Krok 3 — pole. Przyprostokątne to $|AB|=4$ i $|AC|=3$:

$$P=\frac{4\cdot3}{2}=6$$

Odpowiedź: trójkąt jest prostokątny, jego pole wynosi $6$.

Krok 1 — iloczyn skalarny:

$$\vec{u}\circ\vec{v}=1\cdot1+0\cdot1=1$$

Krok 2 — długości wektorów:

$$|\vec{u}|=1,\qquad |\vec{v}|=\sqrt{1+1}=\sqrt2$$

Krok 3 — cosinus kąta:

$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Krok 4 — odczytujemy kąt:

$$\alpha=45^\circ$$

Odpowiedź: kąt wynosi $45^\circ$.

Przecięcie z osią OY: tam $x=0$, więc $y=0+1=1$ — punkt $(0,\,1)$.

Przecięcie z osią OX: tam $y=0$, więc:

$$0=x+1 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

punkt $(-1,\,0)$.

Zapamiętaj: na osi OY zeruje się $x$, na osi OX zeruje się $y$.

Odpowiedź: z OY w $(0,\,1)$, z OX w $(-1,\,0)$.

Dla środka w początku układu równanie upraszcza się do:

$$x^2+y^2=r^2$$

Podstawiamy $r=4$, czyli $r^2=16$:

$$x^2+y^2=16$$

Najczęstszy błąd to wpisanie po prawej stronie promienia zamiast jego kwadratu — odpowiedź C opisuje okrąg o promieniu $2$.

Odpowiedź: B.

Symetria względem osi OY zmienia znak pierwszej współrzędnej:

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,y)$$

$$P=(5,\,-3) \ \longrightarrow \ (-5,\,-3)$$

Dla porównania: symetria względem OX dałaby $(5,\,3)$, a względem początku układu $(-5,\,3)$.

Odpowiedź: A. $(-5,\,-3)$.

Podstawiamy współrzędne do lewej strony równania:

$$1^2+2^2=1+4=5$$

Wynik równy prawej stronie, więc punkt leży na okręgu.

Reguła: wynik mniejszy niż $r^2$ oznaczałby wnętrze, większy — zewnętrze.

Odpowiedź: B. tak.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Proste równoległe mają ten sam współczynnik, więc $a=-2$:

$$y=-2x+b$$

Krok 2 — wyznaczamy $b$, podstawiając współrzędne punktu $P$:

$$5=-2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad 5=-2+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

Krok 3 — zapisujemy wynik:

$$y=-2x+7$$

Wniosek: punkt $P$ leżał na danej prostej, więc szukana prosta jest z nią tożsama. Warto to zauważyć — nie jest to błąd rachunkowy.

Odpowiedź: $y=-2x+7$.

W symetrii środkowej o środku $S=(a,\,b)$ obraz punktu ma współrzędne:

$$P^{\prime}=(2a-x,\ 2b-y)$$

Podstawiamy:

$$P^{\prime}=(2\cdot4-6,\ 2\cdot1-5)=(2,\,-3)$$

Sprawdzenie: $S$ powinien być środkiem odcinka $PP^{\prime}$. Rzeczywiście: $\left(\frac{6+2}{2},\ \frac{5+(-3)}{2}\right)=(4,\,1)$ ✔

Odpowiedź: $P^{\prime}=(2,\,-3)$.

Krok 1 — współczynnik prostej prostopadłej. Dla $a_1=\frac12$:

$$\frac12\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $P=(0,\,4)$ leży na osi OY, więc $b=4$.

$$y=-2x+4$$

Odpowiedź: $y=-2x+4$.

Dodawanie wektorów — dodajemy odpowiadające sobie współrzędne:

$$\vec{u}+\vec{v}=[3+2,\ -1+5]=[5,\,4]$$

Mnożenie przez liczbę — mnożymy obie współrzędne:

$$2\vec{u}=[2\cdot3,\ 2\cdot(-1)]=[6,\,-2]$$

Uwaga: wektor $2\vec{u}$ ma ten sam kierunek i zwrot co $\vec{u}$, ale jest dwa razy dłuższy.

Odpowiedź: $\vec{u}+\vec{v}=[5,\,4]$, $2\vec{u}=[6,\,-2]$.

Punkty leżą na jednej prostej, gdy wektory je łączące są równoległe.

Krok 1 — wyznaczamy wektory:

$$\vec{AB}=[2,\,3],\qquad \vec{AC}=[6,\,9]$$

Krok 2 — sprawdzamy warunek równoległości:

$$u_x v_y-u_y v_x=2\cdot9-3\cdot6=18-18=0$$

Warunek jest spełniony, a dodatkowo widać wprost, że $\vec{AC}=3\vec{AB}$.

Odpowiedź: tak, punkty są współliniowe.

Ze wzoru na odległość punktu od prostej, dla $A=1$, $B=1$, $C=-6$, $P=(0,\,0)$:

$$d=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$$

Przybliżenie: $3\sqrt2\approx4{,}24$.

Odpowiedź: $d=3\sqrt2\approx4{,}24$.

Krok 1 — wymiary prostokąta. Bok $AB$ jest poziomy:

$$|AB|=5-1=4$$

Bok $BC$ jest pionowy:

$$|BC|=4-1=3$$

Krok 2 — przekątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$d=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Można też policzyć wprost odległość $|AC|$ ze wzoru na odległość punktów — wynik będzie ten sam.

Odpowiedź: C. $d=5$.

Ze wzoru $\vec{u}\circ\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$ długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje $\cos\alpha$.

Cosinus jest ujemny dla kątów z przedziału $(90^\circ,\,180^\circ)$, czyli dla kątów rozwartych.

Zestawienie: iloczyn dodatni — kąt ostry, zerowy — prosty, ujemny — rozwarty.

Odpowiedź: C.

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców:

$$S=\left(\frac{-2+6}{2},\ \frac{4+(-2)}{2}\right)=(2,\,1)$$

Odpowiedź: A. $(2,\,1)$.

Ze wzoru na środek odcinka układamy dwa równania:

$$\frac{x_A+x_B}{2}=3,\qquad \frac{y_A+y_B}{2}=2$$

Pierwsza współrzędna:

$$\frac{1+x_B}{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 1+x_B=6 \quad\Rightarrow\quad x_B=5$$

Druga współrzędna:

$$\frac{-1+y_B}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad -1+y_B=4 \quad\Rightarrow\quad y_B=5$$

Sprawdzenie: środek odcinka o końcach $(1,\,-1)$ i $(5,\,5)$ to $\left(\frac{1+5}{2},\ \frac{-1+5}{2}\right)=(3,\,2)$. Zgadza się.

Odpowiedź: $B=(5,\,5)$.

Warunek prostopadłości to zerowanie iloczynu skalarnego:

$$3\cdot2+m\cdot(-6)=0$$

Rozwiązujemy:

$$6-6m=0 \quad\Rightarrow\quad m=1$$

Sprawdzenie: dla $\vec{u}=[3,\,1]$ mamy $3\cdot2+1\cdot(-6)=0$ ✔

Odpowiedź: $m=1$.

Krok 1 — długości boków. Trójkąt jest prostokątny (przyprostokątne leżą na osiach):

$$|AB|=6,\qquad |AC|=8,\qquad |BC|=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24$$

Krok 3 — obwód:

$$O=6+8+10=24$$

Krok 4 — promień okręgu wpisanego ze wzoru $r=\frac{P}{p}$, gdzie $p=\frac{O}{2}=12$:

$$r=\frac{24}{12}=2$$

Odpowiedź: $P=24$, $O=24$, $r=2$.

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość $y$, więc przyrównujemy prawe strony:

$$2x-1=-x+5$$

Krok 1 — porządkujemy równanie:

$$2x+x=5+1 \quad\Rightarrow\quad 3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 2 — obliczamy $y$, podstawiając do dowolnego z równań:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-2+5=3$. Zgadza się.

Odpowiedź: punkt przecięcia to $(2,\,3)$.

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{-2+8}{2},\ \frac{7+(-1)}{2}\right)=(3,\,3)$$

Krok 2 — długość odcinka:

$$|AB|=\sqrt{(8-(-2))^2+(-1-7)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$$

Przybliżenie: $2\sqrt{41}\approx12{,}8$.

Odpowiedź: $S=(3,\,3)$, $|AB|=2\sqrt{41}\approx12{,}8$.

Na osi OX zeruje się $y$:

$$0=-x+5 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Punkt przecięcia to $(5,\,0)$.

Uwaga: odpowiedź A ($0,\,5$) to punkt przecięcia z osią OY, nie OX.

Odpowiedź: C. $(5,\,0)$.

Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania:

$$3^2+4^2=9+16=25$$

Otrzymana wartość jest równa prawej stronie, więc punkt spełnia równanie i leży na okręgu.

Jak czytać wynik: gdyby suma wyszła mniejsza od $25$, punkt leżałby wewnątrz koła, a gdyby większa — na zewnątrz.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — wektory wychodzące z wierzchołka $B$ (tam podejrzewamy kąt prosty):

$$\vec{BA}=[0-4,\ 0-0]=[-4,\,0]$$

$$\vec{BC}=[4-4,\ 3-0]=[0,\,3]$$

Krok 2 — iloczyn skalarny:

$$\vec{BA}\circ\vec{BC}=(-4)\cdot0+0\cdot3=0$$

Iloczyn wynosi zero, więc kąt przy wierzchołku $B$ jest prosty.

Zaleta metody wektorowej: od razu wskazuje, przy którym wierzchołku leży kąt prosty — twierdzenie Pitagorasa mówi tylko, że taki kąt istnieje.

Odpowiedź: tak, trójkąt jest prostokątny z kątem prostym przy $B$.

Prosta jest styczna, gdy jej odległość od środka okręgu równa się promieniowi.

Krok 1 — środek i promień. Okrąg ma środek $S=(0,\,0)$ i $r=\sqrt2$.

Krok 2 — prosta w postaci ogólnej: $x-y+1=0$, czyli $A=1$, $B=-1$, $C=1$.

Krok 3 — odległość środka od prostej:

$$d=\frac{|1\cdot0-1\cdot0+1|}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Krok 4 — porównanie. $d=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71$, a $r=\sqrt2\approx1{,}41$. Ponieważ $dnie jest styczna — jest sieczną (przecina okrąg w dwóch punktach).

Odpowiedź: nie, prosta jest sieczną, bo $d

Metoda 1 — podstawa i wysokość. Bok $AB$ leży na osi OX, więc jako podstawę bierzemy:

$$a=|AB|=6$$

Wysokość opuszczona na tę podstawę to po prostu druga współrzędna punktu $C$:

$$h=5$$

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15$$

Metoda 2 — wzór wyznacznikowy (dla dowolnego położenia trójkąta):

$$P=\frac12\left|x_B\cdot y_C-x_C\cdot y_B\right|=\frac12\left|6\cdot5-2\cdot0\right|=\frac{30}{2}=15$$

Obie metody dają ten sam wynik.

Odpowiedź: $P=15$.

Kluczowa własność: w równoległoboku $ABCD$ boki $AB$ i $DC$ są równoległe i równej długości, więc $\vec{AB}=\vec{DC}$.

Krok 1 — wyznaczamy $\vec{AB}$:

$$\vec{AB}=[5-1,\ 2-1]=[4,\,1]$$

Krok 2 — z warunku $\vec{AD}=\vec{BC}$ wyznaczamy $D$ jako $A$ przesunięte o wektor $\vec{BC}$:

$$\vec{BC}=[6-5,\ 6-2]=[1,\,4]$$

$$D=A+\vec{BC}=(1+1,\ 1+4)=(2,\,5)$$

Sprawdzenie: $\vec{DC}=[6-2,\ 6-5]=[4,\,1]=\vec{AB}$ ✔

Odpowiedź: $D=(2,\,5)$.

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{2+6}{2},\ \frac{1+5}{2}\right)=(4,\,3)$$

Krok 2 — współczynnik odcinka $AB$:

$$a_{AB}=\frac{5-1}{6-2}=1$$

Krok 3 — współczynnik symetralnej (prostopadła do $AB$):

$$a=-1$$

Krok 4 — wyraz wolny z warunku, że symetralna przechodzi przez środek $S$:

$$3=-1\cdot4+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

$$y=-x+7$$

Odpowiedź: $y=-x+7$.

Symetralna przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

Krok 1 — środek odcinka:

$$S=\left(\frac{1+5}{2},\ \frac{2+6}{2}\right)=(3,\,4)$$

Krok 2 — współczynnik kierunkowy odcinka $AB$:

$$a_{AB}=\frac{6-2}{5-1}=\frac{4}{4}=1$$

Krok 3 — współczynnik symetralnej z warunku prostopadłości:

$$1\cdot a=-1 \quad\Rightarrow\quad a=-1$$

Krok 4 — wyznaczamy $b$, podstawiając środek $S=(3,\,4)$:

$$4=-1\cdot3+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

$$y=-x+7$$

Sprawdzenie: punkt $S=(3,\,4)$ spełnia równanie, bo $-3+7=4$. Zgadza się.

Odpowiedź: $y=-x+7$.

Krok 1 — iloczyn skalarny:

$$\vec{u}\circ\vec{v}=1\cdot1+\sqrt3\cdot0=1$$

Krok 2 — długości:

$$|\vec{u}|=\sqrt{1+3}=2,\qquad |\vec{v}|=1$$

Krok 3 — cosinus kąta:

$$\cos\alpha=\frac{1}{2\cdot1}=\frac12$$

Krok 4 — kąt:

$$\alpha=60^\circ$$

Kontrola: wektor $\vec{v}$ leży wzdłuż osi OX, a $\vec{u}$ ma $\tg\alpha=\frac{\sqrt3}{1}=\sqrt3$, co odpowiada $60^\circ$ ✔

Odpowiedź: $60^\circ$.

Wzór na pole trójkąta o dowolnych wierzchołkach:

$$P=\frac12\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|$$

Krok 1 — wektory od $A$:

$$\vec{AB}=[3,\,1],\qquad \vec{AC}=[1,\,4]$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$P=\frac12\left|3\cdot4-1\cdot1\right|=\frac12\left|12-1\right|=\frac{11}{2}=5{,}5$$

Odpowiedź: $P=5{,}5$.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu, przez który okrąg przechodzi:

$$r=|SP|=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Krok 2 — równanie okręgu:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=25$$

Krok 3 — badamy punkt $Q$. Liczymy jego odległość od środka:

$$|SQ|=\sqrt{(2-2)^2+(7-1)^2}=\sqrt{0+36}=6$$

Porównanie z promieniem: $6>5$, więc punkt $Q$ leży na zewnątrz okręgu.

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-1)^2=25$; punkt $Q$ leży na zewnątrz okręgu.

Skoro wierzchołek $A$ leży w początku układu, wektory boków to wprost współrzędne punktów $B$ i $C$.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru:

$$P=\frac12\left|5\cdot4-2\cdot1\right|$$

Krok 2 — liczymy:

$$P=\frac12\left|20-2\right|=\frac{18}{2}=9$$

Dlaczego wartość bezwzględna: wyrażenie w środku może wyjść ujemne w zależności od kolejności wierzchołków, a pole zawsze jest dodatnie.

Odpowiedź: $P=9$.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu $A$:

$$r=|SA|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — równanie okręgu:

$$(x-1)^2+(y-2)^2=25$$

Krok 3 — sprawdzamy punkt $B=(-2,\,2)$:

$$(-2-1)^2+(2-2)^2=9+0=9$$

Wynik $9\neq25$, więc punkt $B$ nie leży na okręgu (leży wewnątrz, bo $9<25$).

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y-2)^2=25$; punkt $B$ nie leży na okręgu.