Wykresy funkcji sinus i cosinus

Sinus przyjmuje wszystkie wartości od $-1$ do $1$ włącznie:

$$ZW=\langle-1,\ 1\rangle$$

Odpowiedź: C. $\langle-1,\ 1\rangle$.

Największa wartość $1$ dla $x=0$.

Najmniejsza wartość $-1$ dla $x=\pi$.

Odpowiedź: max $1$ w $x=0$, min $-1$ w $x=\pi$.

Amplituda to współczynnik przy sinusie — o tyle wykres rozciąga się w pionie:

$$A=3$$

Zbiór wartości funkcji $3\sin x$ to $\langle-3,\ 3\rangle$.

Odpowiedź: B. $3$.

Dodanie liczby do całej funkcji przesuwa wykres w pionie o tę liczbę:

$$y=\sin x+2 \Rightarrow \text{przesunięcie o } 2 \text{ w górę}$$

Zbiór wartości przesuwa się na $\langle1,\ 3\rangle$.

Odpowiedź: A. o $2$ w górę.

Amplituda $2$ rozciąga wykres cosinusa w pionie:

$$ZW=\langle-2,\ 2\rangle$$

Odpowiedź: $\langle-2,\ 2\rangle$.

Cosinus, tak jak sinus, ma okres $2\pi$:

$$\cos(x+2\pi)=\cos x$$

Odpowiedź: D. $2\pi$.

Krok 1 — przesunięcie. Odjęcie $\frac{\pi}{2}$ od argumentu przesuwa wykres o $\frac{\pi}{2}$ w prawo.

Krok 2 — rozpoznanie. Ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x$$

Interpretacja. Przesunięty sinus pokrywa się z wykresem $-\cos x$ — to ilustracja związku między sinusem a cosinusem.

Odpowiedź: przesunięcie o $\frac{\pi}{2}$ w prawo; to funkcja $-\cos x$.

Dla $y=\sin(bx)$ okres to $\frac{2\pi}{|b|}$:

$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$$

Interpretacja: współczynnik $2$ „ściska" wykres poziomo dwukrotnie.

Odpowiedź: B. $\pi$.

Krok 1 — przesunięcie o $1$ w górę. Zbiór wartości sinusa $\langle-1,\ 1\rangle$ przesuwa się:

$$ZW=\langle0,\ 2\rangle$$

Krok 2 — wartości skrajne:

$$\text{max}=2,\qquad \text{min}=0$$

Odpowiedź: $ZW=\langle0,\ 2\rangle$, max $2$, min $0$.

Ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin(x+\pi)=-\sin x$$

Geometrycznie: przesunięcie o $\pi$ (połowa okresu) odbija wykres sinusa względem osi $OX$.

Odpowiedź: A. $-\sin x$.

Znak minus przed funkcją odbija wykres względem osi $OX$ (wartości zmieniają znak).

Odpowiedź: C. symetrię względem osi $OX$.

Sinus zeruje się w punktach:

$$x=0,\quad x=\pi,\quad x=2\pi$$

W przedziale domkniętym $\langle0,\ 2\pi\rangle$ są trzy miejsca zerowe.

Uwaga na krańce: przedział jest domknięty z obu stron, więc $2\pi$ liczymy.

Odpowiedź: $3$.

Amplituda: $A=2$.

Okres: współczynnik przy $x$ to $1$, więc $T=2\pi$.

Zbiór wartości:

$$ZW=\langle-2,\ 2\rangle$$

Uwaga: amplituda zmienia zbiór wartości, ale nie okres. Okres zależy od współczynnika przy $x$, a nie przed sinusem.

Odpowiedź: $A=2$, $T=2\pi$, $ZW=\langle-2,2\rangle$.

Cosinus spełnia $\cos(-x)=\cos x$, więc jest parzysty — wykres symetryczny względem osi $OY$.

Odpowiedź: B. parzysta.

Ze wzoru redukcyjnego:

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$$

Interpretacja. Przesunięcie cosinusa o $\frac{\pi}{2}$ w prawo daje wykres sinusa. Sinus i cosinus to ta sama krzywa, przesunięta o ćwierć okresu.

Sprawdzenie dla $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos 0=1=\sin\frac{\pi}{2}$ ✔

Odpowiedź: $\sin x$.

Krok 1 — amplituda $3$ daje $\langle-3,\ 3\rangle$.

Krok 2 — przesunięcie o $1$ w dół:

$$\langle-3-1,\ 3-1\rangle=\langle-4,\ 2\rangle$$

Odpowiedź: D. $\langle-4,\ 2\rangle$.

Krok 1 — amplituda: $A=2$.

Krok 2 — zbiór wartości. $\langle-2,\ 2\rangle$ przesunięte o $1$ w dół:

$$ZW=\langle-3,\ 1\rangle$$

Krok 3 — wartość największa. Gdy $\sin x=1$, czyli $x=\frac{\pi}{2}$:

$$y=2\cdot1-1=1$$

Krok 4 — wartość najmniejsza. Gdy $\sin x=-1$, czyli $x=\frac{3\pi}{2}$:

$$y=2\cdot(-1)-1=-3$$

Odpowiedź: $A=2$, $ZW=\langle-3,\ 1\rangle$, max $1$ w $\frac{\pi}{2}$, min $-3$ w $\frac{3\pi}{2}$.

Krok 1 — wektor przesunięcia. Dodanie $\frac{\pi}{3}$ do argumentu przesuwa wykres o $\frac{\pi}{3}$ w lewo:

$$\vec{u}=\left[-\tfrac{\pi}{3},\ 0\right]$$

Krok 2 — miejsca zerowe. Sinus jest zerem, gdy argument to wielokrotność $\pi$:

$$x+\frac{\pi}{3}=k\pi \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{\pi}{3}+k\pi$$

Krok 3 — najbliższe zeru z prawej. Dla $k=1$:

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}$$

Uwaga na kierunek. Znak plus w nawiasie oznacza przesunięcie w lewo, nie w prawo — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: wektor $\left[-\frac{\pi}{3},0\right]$, miejsce zerowe $\frac{2\pi}{3}$.

Krok 1 — okres. Współczynnik przy $x$ to $2$:

$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$$

Krok 2 — amplituda i przesunięcie. Amplituda $3$, przesunięcie o $1$ w górę.

Krok 3 — zbiór wartości. Cosinus daje $\langle-1,1\rangle$, po pomnożeniu przez $3$: $\langle-3,3\rangle$, po przesunięciu o $1$:

$$ZW=\langle-2,\ 4\rangle$$

Uwaga. Okres zależy tylko od współczynnika przy $x$ ($2$), a zbiór wartości od amplitudy ($3$) i przesunięcia ($+1$) — to niezależne parametry.

Odpowiedź: $T=\pi$, $ZW=\langle-2,\ 4\rangle$.

Krok 1 — definicja okresu. Funkcja $f$ ma okres $T$, gdy $f(x+T)=f(x)$ dla każdego $x$.

Krok 2 — własność sinusa. Z definicji sinusa na okręgu jednostkowym pełny obrót o $2\pi$ wraca do tego samego punktu:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Warunek jest spełniony dla każdego $x$, więc $2\pi$ jest okresem.

Krok 3 — najmniejszy okres. Żadna mniejsza dodatnia liczba nie jest okresem — np. $\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)=-1\neq\sin\frac{\pi}{2}=1$, więc $\pi$ okresem nie jest. Zatem $2\pi$ to najmniejszy okres dodatni.

Krok 4 — powtarzalność wykresu. Skoro $\sin(x+2\pi)=\sin x$, to fragment wykresu nad dowolnym przedziałem $\langle a,\ a+2\pi)$ jest identyczny jak nad $\langle0,\ 2\pi)$ — wystarczy przesunąć argument o $2\pi$. $\qquad ∎$

Wniosek: wykres sinusa to nieskończone powtórzenie jednego „zęba" o szerokości $2\pi$.