StartKlasyKlasa 3 LO › Procent składany

Procent składany

Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Ciągi arytmetyczne i geometryczne — wzory i zastosowania

Dwa rodzaje ciągów

Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.

Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.

Wyraz ogólny

$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$

$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$

W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.

Suma początkowych wyrazów

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$

$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$

Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.

Wyraz środkowy

$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$

To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.

Sprytne podstawienia

Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.

Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.

Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.

Monotoniczność

Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r<0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.

Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.

Szereg geometryczny

$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|<1$$

Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q<1$, ale szereg jest rozbieżny.

Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.

Procent składany

$$K_n=K_0(1+p)^n$$

To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:

$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$

Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.

Spadek wartości

Ten sam wzór z $q<1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.

Na co uważać

Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|<1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.

Wzory 1

Procent składany i kapitalizacja odsetek
$$K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$

Co robi: oblicza kwotę na lokacie po $n$ okresach, gdy odsetki są dopisywane do kapitału i same zaczynają procentować.

Elementy: $K_0$ to kapitał początkowy, $p$ oprocentowanie w procentach za jeden okres, $n$ liczba okresów kapitalizacji, $K_n$ kwota końcowa.

Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ rocznie daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł. Bez kapitalizacji byłoby $1200$ zł — te dodatkowe $10$ zł to właśnie odsetki od odsetek.

Podatek od zysku: od naliczonych odsetek bank pobiera $19\%$, więc do wypłaty zostaje $0{,}81$ ich wartości.

Pułapka: gdy kapitalizacja jest częstsza niż roczna, $p$ trzeba podzielić przez liczbę okresów w roku, a $n$ odpowiednio zwiększyć. Przy oprocentowaniu $12\%$ z kapitalizacją miesięczną liczymy $\left(1+\frac{1}{100}\right)^{12}$, a nie $1{,}12$.

🧩Quizy 1

Zadania 34

Zadanie nr 1

Iloraz ciągu geometrycznego $2$, $6$, $18$, $54$, … wynosi:

A $2$
B $4$
C $3$
D $6$
Zadanie nr 2

Oblicz piąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym $a_1=5$ i $q=2$.

Zadanie nr PP10.1

$15\%$ liczby $240$ jest równe

A $36$
B $16$
C $3{,}6$
D $225$
Zadanie nr 3

Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=1$ i $q=2$.

Zadanie nr PP10.2

Cenę towaru równą $80$ zł podwyższono o $25\%$. Nowa cena jest równa

A $100$ zł
B $105$ zł
C $20$ zł
D $60$ zł
Zadanie nr 4

Liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest dodatnia wartość $x$?

A $14{,}5$
B $10$
C $12$
D $5$
Zadanie nr PP10.3

Po obniżce o $20\%$ kurtka kosztuje $96$ zł. Przed obniżką kurtka kosztowała

A $120$ zł
B $115{,}20$ zł
C $116$ zł
D $76{,}80$ zł
Zadanie nr 5

Wkład $1000$ zł oprocentowany jest na $5\%$ rocznie (kapitalizacja roczna). Ile będzie na koncie po dwóch latach?

Zadanie nr PP10.4

Cenę towaru podwyższono o $10\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$. W porównaniu z ceną początkową cena końcowa

A nie zmieniła się
B zmalała o $1\%$
C wzrosła o $1\%$
D zmalała o $10\%$
Zadanie nr 6

Ciąg geometryczny ma $a_1=8$ i $q=\frac12$. Który wyraz jest równy $1$?

A czwarty
B trzeci
C piąty
D ósmy
Zadanie nr PP10.5

Liczba $a$ jest o $25\%$ większa od liczby dodatniej $b$. Wynika stąd, że liczba $b$ jest mniejsza od liczby $a$ o

A $25\%$
B $20\%$
C $75\%$
D $80\%$
Zadanie nr 7

W ciągu geometrycznym $a_2=12$ i $a_4=108$. Wyznacz $a_1$ oraz $q$, zakładając $q>0$.

Zadanie nr PP10.6

Oprocentowanie kredytu wzrosło z $5\%$ do $7\%$. Oznacza to, że oprocentowanie wzrosło o

A $2$ punkty procentowe, czyli o $40\%$
B $2\%$, czyli o $2$ punkty procentowe
C $40$ punktów procentowych
D $20\%$
Zadanie nr 8

Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu $3$, $-6$, $12$, $-24$, …

Zadanie nr PP10.7

Na lokatę dwuletnią z oprocentowaniem $4\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek wpłacono $5000$ zł. Po dwóch latach (bez podatku) na lokacie będzie

A $5408$ zł
B $5400$ zł
C $5416$ zł
D $5200$ zł
Zadanie nr 9

Lokata $2000$ zł na $10\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wynosi kapitał po trzech latach?

A $2600$ zł
B $2400$ zł
C $2200$ zł
D $2662$ zł
Zadanie nr PP10.8

Kurtka kosztowała $400$ zł. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

  1. Po obniżce o $15\%$ kurtka kosztuje $340$ zł.
  2. Po dwóch kolejnych obniżkach o $10\%$ kurtka kosztuje $320$ zł.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P 1. P, 2. P
P/F 1. P, 2. F
F/P 1. F, 2. P
F/F 1. F, 2. F
Zadanie nr 10

Oblicz sumę szeregu geometrycznego $8+4+2+1+\dots$

Zadanie nr PP10.9

Kwotę $2000$ zł złożono na lokatę na $3$ lata z oprocentowaniem $5\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek. Oblicz kwotę na lokacie po $3$ latach (pomiń podatek).

Zadanie nr 11

Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy:

A $q>1$
B $|q|<1$
C $q<0$
D $q=1$
Zadanie nr PP10.10

Cenę roweru obniżono o $20\%$, a po miesiącu nową cenę podwyższono o $15\%$. Po tych zmianach rower kosztuje $1472$ zł. Oblicz cenę początkową roweru i ustal, o ile procent cena końcowa różni się od ceny początkowej.

Zadanie nr 12

Po ilu latach kapitał $1000$ zł na $20\%$ rocznie przekroczy $2000$ zł przy kapitalizacji rocznej?

Zadanie nr 13

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Ich iloczyn wynosi $216$, a środkowa liczba to $a_2$. Wyznacz $a_2$.

Zadanie nr 14

Suma szeregu $1+\frac13+\frac19+\dots$ wynosi:

A $1{,}25$
B $2$
C $1{,}5$
D $3$
Zadanie nr 15

Wartość samochodu spada co roku o $15\%$. Ile będzie wart po trzech latach samochód kupiony za $60\ 000$ zł?

Zadanie nr 16

W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=-1$. Ile wynosi $a_{10}$?

A $-3$
B $3$
C $0$
D $-30$
Zadanie nr 17

Bank oferuje $12\%$ rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile wyniesie kapitał z $5000$ zł po roku? Porównaj z kapitalizacją roczną.

Zadanie nr 18

Liczby $x-1$, $x+1$, $2x+4$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.

Zadanie nr 19

Piłka spuszczona z wysokości $2$ m odbija się za każdym razem na $60\%$ poprzedniej wysokości. Oblicz łączną drogę, jaką przebędzie do zatrzymania.

Zadanie nr 20

Wykaż, że jeżeli liczby $a$, $b$, $c$ tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich, to $b=\sqrt{ac}$. Sprawdź to dla $a=2$, $c=18$.

Zadanie nr 2 · Matura 2026
Klient wpłacił do banku \(10000\) \(zł\) na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa:
A \(1200 zł\)
B \(1236 zł\)
C \(1836 zł\)
D \(3600 zł\)
Zadanie nr 5 · Próbny 2024

Pani Aniela wpłaciła $60\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym roku bank doliczał odsetki w wysokości $p\%$ w skali roku (procent składany). Po dwóch latach na lokacie było $67\,925,76$ zł. Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

A $6\%$
B $6,4\%$
C $6,5\%$
D $7\%$
Zadanie nr 3 · Próbny 2023

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym roku bank doliczał odsetki w wysokości $5\%$ od kwoty bieżącego kapitału. Po dwóch latach pan Grzegorz odebrał $4851$ zł (bez podatków). Kwota wpłacona na lokatę była równa

A $4300$ zł
B $4400$ zł
C $4500$ zł
D $4600$ zł
Zadanie nr 3 · Próbny 2017
Nowy samochód kosztował \(80\) tys. zł. Po każdym roku użytkowania jego wartość spadała o \(15\%\) w stosunku do wartości z roku poprzedniego. Po trzech latach od zakupu jego wartość była równa:
A \(36 000 zł\)
B \(44 000 zł\)
C \(49 130 zł\)
D \(57 800 zł\)
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas