Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$
W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$
Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.
$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r<0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|<1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q<1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Ten sam wzór z $q<1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|<1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Co robi: oblicza kwotę na lokacie po $n$ okresach, gdy odsetki są dopisywane do kapitału i same zaczynają procentować.
Elementy: $K_0$ to kapitał początkowy, $p$ oprocentowanie w procentach za jeden okres, $n$ liczba okresów kapitalizacji, $K_n$ kwota końcowa.
Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ rocznie daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł. Bez kapitalizacji byłoby $1200$ zł — te dodatkowe $10$ zł to właśnie odsetki od odsetek.
Podatek od zysku: od naliczonych odsetek bank pobiera $19\%$, więc do wypłaty zostaje $0{,}81$ ich wartości.
Pułapka: gdy kapitalizacja jest częstsza niż roczna, $p$ trzeba podzielić przez liczbę okresów w roku, a $n$ odpowiednio zwiększyć. Przy oprocentowaniu $12\%$ z kapitalizacją miesięczną liczymy $\left(1+\frac{1}{100}\right)^{12}$, a nie $1{,}12$.
Iloraz ciągu geometrycznego $2$, $6$, $18$, $54$, … wynosi:
Oblicz piąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym $a_1=5$ i $q=2$.
Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=1$ i $q=2$.
Liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest dodatnia wartość $x$?
Wkład $1000$ zł oprocentowany jest na $5\%$ rocznie (kapitalizacja roczna). Ile będzie na koncie po dwóch latach?
Ciąg geometryczny ma $a_1=8$ i $q=\frac12$. Który wyraz jest równy $1$?
W ciągu geometrycznym $a_2=12$ i $a_4=108$. Wyznacz $a_1$ oraz $q$, zakładając $q>0$.
Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu $3$, $-6$, $12$, $-24$, …
Lokata $2000$ zł na $10\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wynosi kapitał po trzech latach?
Oblicz sumę szeregu geometrycznego $8+4+2+1+\dots$
Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy:
Po ilu latach kapitał $1000$ zł na $20\%$ rocznie przekroczy $2000$ zł przy kapitalizacji rocznej?
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Ich iloczyn wynosi $216$, a środkowa liczba to $a_2$. Wyznacz $a_2$.
Suma szeregu $1+\frac13+\frac19+\dots$ wynosi:
Wartość samochodu spada co roku o $15\%$. Ile będzie wart po trzech latach samochód kupiony za $60\ 000$ zł?
W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=-1$. Ile wynosi $a_{10}$?
Bank oferuje $12\%$ rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile wyniesie kapitał z $5000$ zł po roku? Porównaj z kapitalizacją roczną.
Liczby $x-1$, $x+1$, $2x+4$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.
Piłka spuszczona z wysokości $2$ m odbija się za każdym razem na $60\%$ poprzedniej wysokości. Oblicz łączną drogę, jaką przebędzie do zatrzymania.
Wykaż, że jeżeli liczby $a$, $b$, $c$ tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich, to $b=\sqrt{ac}$. Sprawdź to dla $a=2$, $c=18$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.