Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Pochodna mówi, jak nachylona jest styczna do wykresu — a więc czy funkcja rośnie, czy maleje:
Punkty, w których $f^{\prime}(x)=0$ lub pochodna nie istnieje, nazywamy krytycznymi. Tylko tam może wystąpić ekstremum lokalne.
Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza. Ekstremum jest wtedy, gdy pochodna dodatkowo zmienia znak:
Klasyczny kontrprzykład: dla $f(x)=x^3$ mamy $f^{\prime}(x)=3x^2$, więc $f^{\prime}(0)=0$, ale pochodna jest dodatnia po obu stronach zera. Funkcja cały czas rośnie — ekstremum nie ma, jest tam punkt przegięcia.
Zbadajmy $f(x)=x^3-3x$. Pochodna:
$$f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
Miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ i $x=1$. Znak pochodnej: dodatni dla $x<-1$, ujemny na $(-1,\,1)$, dodatni dla $x>1$.
Zatem w $x=-1$ jest maksimum lokalne $f(-1)=2$, a w $x=1$ minimum lokalne $f(1)=-2$.
Oprócz ekstremów lokalnych sprawdzamy zawsze końce przedziału — wartość największa może być właśnie tam.
Nie myl miejsca zerowego funkcji ($f(x)=0$) z miejscem zerowym pochodnej ($f^{\prime}(x)=0$) — to zupełnie różne rzeczy. Pamiętaj też, że wnioski o monotoniczności formułujemy dla przedziałów, a nie dla pojedynczych punktów.
Co robi: wyznacza przedziały monotoniczności oraz maksima i minima lokalne — podstawa zadań optymalizacyjnych.
Elementy: punkty, w których $f'(x)=0$, to punkty stacjonarne (kandydaci na ekstrema). Zmiana znaku z $+$ na $-$ daje maksimum, z $-$ na $+$ — minimum.
Przykład: $f(x)=x^3-3x$: $f'(x)=3x^2-3=0$ dla $x=\pm 1$. Znak $f'$: $+,-,+$, więc maksimum w $x=-1$, minimum w $x=1$.
Pułapka: $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale ekstremum nie ma (brak zmiany znaku). Przy szukaniu wartości najmniejszej/największej na przedziale domkniętym sprawdź też końce przedziału.
Funkcja jest rosnąca, gdy jej pochodna jest:
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=x^2$.
Oblicz $f^\prime(1)$ dla $f(x)=x^3-6x^2+5$.
W ekstremum lokalnym pochodna:
Wyznacz wszystkie $m$, dla których funkcja $f(x)=x^3+mx^2+3x-1$ jest rosnąca w $\mathbb R$.
Oblicz pochodną funkcji $f(x)=x^3$.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^3-2x+1$ w punkcie o odciętej $1$.
Dla $f(x)=x^2-4x$ znajdź $x$, dla którego $f'(x)=0$.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x}$ w punkcie o odciętej $1$.
Dla $f(x)=x^2-4x$ podaj przedział, w którym funkcja jest malejąca.
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$.
Oblicz pochodną $f(x)=x^2-4x$.
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=x^3-3x$ w przedziale $[-2,3]$.
Oblicz pochodną $f(x)=5x$.
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$.
Pochodna funkcji stałej wynosi:
Punkt $P=(x_0,2)$, gdzie $x_0\gt 0$, należy do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{3x^2+1}{x^2+1}$. Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f$ w punkcie $P$.
Oblicz $f'(3)$ dla $f(x)=x^2$.
Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji $f(x)=x^3-3x+2$ równoległych do prostej $y=9x$.
Dla $f(x)=x^2-6x$ znajdź $x$, gdzie $f'(x)=0$.
Wyznacz wszystkie wartości $k$, dla których równanie $x^3-3x^2-9x+1=k$ ma trzy różne rozwiązania.
Podaj przedział, gdzie $f(x)=x^2-6x$ rośnie.
Gdy $f'(x)<0$, funkcja jest:
Oblicz pochodną $f(x)=x^3+x$.
Czy $f(x)=x^3$ ma ekstremum w $x=0$? (zbadaj znak pochodnej)
Dla $f(x)=-x^2+4x$ znajdź maksimum.
Oblicz $f'(x)$ dla $f(x)=2x^3-3x^2$.
Napisz równanie stycznej do $f(x)=x^2$ w $(3,9)$.
Pochodna $f(x)=x^4$ to:
Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli $f(x)=x^2-8x+3$ metodą pochodnej.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.