Tożsamości trygonometryczne

To wartość z tablicy kątów szczególnych, którą warto pamiętać:

$$\sin 30^\circ=\frac12$$

Pełny zestaw dla $30^\circ$: $\sin 30^\circ=\frac12$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$.

Odpowiedź: B. $\frac12$.

To podstawowy wzór redukcyjny — kąty $\alpha$ i $90^\circ-\alpha$ dopełniają się do kąta prostego:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Skąd to wynika: w trójkącie prostokątnym oba kąty ostre dopełniają się do $90^\circ$, a sinus jednego jest cosinusem drugiego.

Sprawdzenie: $\sin60^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: B. $\cos\alpha$.

Sinus zeruje się w punktach, gdzie wykres przecina oś:

$$x=0,\quad x=\pi \quad (\text{w } \langle0,\ 2\pi))$$

Ogólnie: $\sin x=0$ dla $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Odpowiedź: B. $x=0$ i $x=\pi$.

Podstawowa tożsamość trygonometryczna:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$

Skąd: to twierdzenie Pitagorasa w kole jednostkowym.

Odpowiedź: B.

$$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Odpowiedź: A.

Zamiany dokonujemy przez mnożenie przez $\frac{\pi}{180^\circ}$:

$$60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{60\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$$

Warto zapamiętać podstawowe zamiany: $180^\circ=\pi$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $30^\circ=\frac{\pi}{6}$.

Odpowiedź: $\frac{\pi}{3}$.

Krok 1 — zapisujemy kąt w dogodnej postaci:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$$

Kontrola ćwiartką: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Cosinus osiąga wartość $1$ tylko na początku okresu:

$$x=0$$

Dlaczego tylko jeden punkt: $\cos x=1$ zachodzi dla $x=2k\pi$, a w przedziale $\langle0,\ 2\pi)$ mieści się jedynie $x=0$.

Odpowiedź: $x=0$.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Kąt ostry → cosinus dodatni:

$$\cos x=\frac45$$

Odpowiedź: $\cos x=\frac45$.

Wartość z tablicy kątów szczególnych:

$$\sin30^\circ=\frac12$$

Odpowiedź: B. $\frac12$.

W drugą stronę mnożymy przez $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3\cdot180^\circ}{4}=\frac{540^\circ}{4}=135^\circ$$

Symbol $\pi$ się skraca, więc zostaje sam rachunek na liczbach.

Odpowiedź: $135^\circ$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny ✔

Odpowiedź: $-\frac12$.

Sinus osiąga maksimum $1$ w:

$$x=\frac{\pi}{2}$$

Interpretacja: to najwyższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{2}$.

Z definicji tangensa:

$$\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

Założenie: $\cos x\neq0$.

Odpowiedź: C. $\operatorname{tg}x$.

Sinus — bok naprzeciw do przeciwprostokątnej:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Cosinus — bok przy kącie do przeciwprostokątnej:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Na okręgu jednostkowym cosinus to współrzędna pozioma punktu. Dla kąta $90^\circ$ punkt leży na samej górze osi OY, więc jego współrzędna pozioma to zero:

$$\cos 90^\circ=0$$

Dla porównania: $\sin 90^\circ=1$ (współrzędna pionowa jest maksymalna).

Odpowiedź: A. $0$.

Kąt $180^\circ-\alpha$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, a jego wartość bezwzględna nie zmienia się:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Porównaj z sinusem: $\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$ — bez minusa, bo sinus w drugiej ćwiartce pozostaje dodatni.

Odpowiedź: B. $-\cos\alpha$.

Cosinus przyjmuje wartości tylko z przedziału $\langle-1,\ 1\rangle$:

$$-1\le\cos x\le1$$

Ponieważ $2>1$, równanie nie ma rozwiązań.

Zawsze sprawdzaj zakres: zanim rozwiążesz równanie trygonometryczne, upewnij się, że wartość mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Z jedynki trygonometrycznej, dla dowolnego kąta:

$$\sin^2 30^\circ+\cos^2 30^\circ=1$$

Sprawdzenie: $\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Tangens to sinus przez cosinus (lub bok naprzeciw przez bok przy):

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$.

Korzystamy z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Rozpoznanie: to klasyczny trójkąt $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac45$.

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Jak je zapamiętać. W sinusie funkcje się „mieszają” ($\sin\cos+\cos\sin$), a znak zgadza się ze znakiem w nawiasie. W cosinusie funkcje występują parami ($\cos\cos-\sin\sin$), a znak jest przeciwny do tego w nawiasie.

Odpowiedź: jak wyżej.

Tangens jest zerem tam, gdzie sinus jest zerem (a cosinus różny od zera):

$$x=0,\quad x=\pi$$

Ogólnie: $\operatorname{tg}x=0$ dla $x=k\pi$.

Odpowiedź: $x=0$ oraz $x=\pi$.

Przekształcamy jedynkę trygonometryczną:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin^2 x=1-\cos^2 x$$

Odpowiedź: A. $\sin^2 x$.

Dla $45^\circ$ przyprostokątne są równe, więc:

$$\operatorname{tg}45^\circ=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Dzielenie ułamków: mnożymy przez odwrotność mianownika, a piątki się skracają.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

Wystarczy podstawić $\beta=\alpha$ we wzorze na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$

Częsty błąd: $\sin2\alpha\neq2\sin\alpha$. Sprawdź dla $\alpha=30^\circ$: $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87$, a $2\sin30^\circ=1$.

Odpowiedź: C. $2\sin\alpha\cos\alpha$.

Wartość $\frac12$ sinus osiąga dwukrotnie w jednym okresie — raz w pierwszej, raz w drugiej ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{5\pi}{6}$$

Zasada: dla wartości z wnętrza $(-1,\ 1)$ sinus daje zwykle dwa rozwiązania na okres.

Odpowiedź: A. $2$.

$$\sin^2 x=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$

$$\sin x=\frac{5}{13}$$

Odpowiedź: $\sin x=\frac{5}{13}$.

Sposób 1 — jedynka trygonometryczna. Dla każdego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Więc wynik od razu wynosi $1$.

Sposób 2 — sprawdzenie liczbowe:

$$\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac34+\tfrac14=1$$

Odpowiedź: $1$.

Znak funkcji zależy od położenia punktu na okręgu jednostkowym:

• $\sin\alpha>0$ — punkt nad osią OX (ćwiartki I i II)
• $\cos\alpha<0$ — punkt na lewo od osi OY (ćwiartki II i III)

Oba warunki spełnia jednocześnie tylko ćwiartka II.

Pomocna reguła (kolejność znaków sinusa/cosinusa/tangensa po ćwiartkach): „wszystkie dodatnie” w I, „sinus” w II, „tangens” w III, „cosinus” w IV.

Odpowiedź: C. druga.

Krok 1 — rozkładamy na kąty znane:

$$75^\circ=45^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór na sinus sumy:

$$\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}$$

Krok 4 — zapisujemy jednym ułamkiem:

$$\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Kontrola sensu: $75^\circ$ jest blisko $90^\circ$, więc sinus powinien być bliski $1$ ✔

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość $\frac{\sqrt3}{2}$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$ (czyli $60^\circ$).

Krok 2 — druga ćwiartka. Sinus jest dodatni także w drugiej ćwiartce, gdzie kąt to $\pi-\frac{\pi}{3}$:

$$x=\frac{\pi}{3} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{2\pi}{3}$$

Kontrola: $\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{3}$ lub $x=\frac{2\pi}{3}$.

Krok 1 — zamieniamy tangens na $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+\cos x=\frac{\sin^2 x}{\cos x}+\cos x$$

Krok 2 — wspólny mianownik:

$$\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos x}$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\frac{1}{\cos x}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{\cos x}$.

$$\cos60^\circ=\frac12$$

Uwaga: $\cos60^\circ=\sin30^\circ$ — kąty dopełniające się do $90^\circ$.

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Krok 1 — zapisujemy kąt jako $180^\circ$ minus kąt ostry:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny. Sinus dla kąta w drugiej ćwiartce jest dodatni i zachodzi $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$:

$$\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac12$$

Kontrola znaku: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — rozkładamy kąt:

$$15^\circ=45^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — wzór na cosinus różnicy:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\cos15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Warto zauważyć: $\cos15^\circ=\sin75^\circ$ — bo kąty $15^\circ$ i $75^\circ$ dopełniają się do $90^\circ$.

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość bezwzględna $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$.

Krok 2 — ćwiartki. Cosinus jest ujemny w drugiej i trzeciej ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

Kontrola: $\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{2\pi}{3}$ lub $x=\frac{4\pi}{3}$.

Skracamy $\sin x$ i $\cos x$:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=1$$

Interpretacja: to iloczyn $\operatorname{tg}x$ i $\operatorname{ctg}x$, które są swoimi odwrotnościami.

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — definicja sinusa:

$$\sin\alpha=\frac{a}{10}=0{,}6$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$:

$$a=0{,}6\cdot10=6$$

Odpowiedź: $6$.

Funkcja sinus powtarza swoje wartości co pełny obrót:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Najmniejszą taką dodatnią liczbą jest $2\pi$, więc okres podstawowy to $2\pi$.

Uwaga na jednostki: w miary łukowej okres to $2\pi$, a nie $360$ — odpowiedź C myli radiany ze stopniami.

Dla porównania: tangens ma okres $\pi$.

Odpowiedź: D. $2\pi$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$135^\circ=180^\circ-45^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\operatorname{tg}\left(180^\circ-\alpha\right)=-\operatorname{tg}\alpha$$

$$\operatorname{tg}135^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce tangens jest ujemny, bo sinus jest dodatni, a cosinus ujemny ✔

Odpowiedź: B. $-1$.

Sinus zeruje się co pół okresu, w każdej wielokrotności $\pi$:

$$x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

Uwaga: odpowiedź B ($2k\pi$) obejmuje tylko $0,\ 2\pi,\ 4\pi,\dots$ — pomija $\pi,\ 3\pi,\dots$, gdzie sinus też jest zerem.

Odpowiedź: D. $x=k\pi$.

Wzór na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Uwaga: odpowiedź C to wzór na $\cos(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

Krok 2 — pierwiastkujemy (kąt ostry, więc $\sin\alpha>0$):

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$.

To bezpośrednie zastosowanie jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Tożsamość ta zachodzi dla dowolnego kąta, więc:

$$\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ=1$$

Kluczowa obserwacja: nie trzeba znać wartości $\sin 40^\circ$ ani $\cos 40^\circ$ — wynik jest $1$ niezależnie od kąta.

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — pierwszy składnik:

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — sumujemy:

$$\cos\alpha+\left(-\cos\alpha\right)=0$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $\sin120^\circ+\cos150^\circ=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0$ ✔

Odpowiedź: $0$ dla każdego $\alpha$.

Krok 1 — izolujemy sinus:

$$2\sin x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac12$$

Krok 2 — rozwiązania. Wartość $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{6}$, a sinus jest dodatni w I i II ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}$$

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{5\pi}{6}$.

Krok 1 — przekształcamy licznik jedynką trygonometryczną:

$$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}$$

Krok 3 — skracamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x \qquad ∎$$

Wniosek: tożsamość zachodzi dla każdego $x$, dla którego $\sin x\neq0$.

$$\sin90^\circ=1$$

Odpowiedź: A. $1$.

Dla kąta $45^\circ$ sinus i cosinus są równe:

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Zatem ich iloraz wynosi:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=1$$

Interpretacja: w trójkącie prostokątnym równoramiennym obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$.

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — punkt wyjścia:

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$

Krok 2 — korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$:

$$\cos2\alpha=\left(1-\sin^2\alpha\right)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $1-2\cdot\frac14=\frac12=\cos60^\circ$ ✔

Uwaga: odpowiedź B to $-\cos2\alpha$ — łatwo pomylić kolejność odejmowania.

Odpowiedź: A. $1-2\sin^2\alpha$.

Sinus osiąga minimum $-1$ w:

$$x=\frac{3\pi}{2}$$

Interpretacja: to najniższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: B. $x=\frac{3\pi}{2}$.

Wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\sin x\cos x$$

Odpowiedź: B. $2\sin x\cos x$.

Krok 1 — podstawiamy wartości:

$$\frac12\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac14+\frac34=1$$

Ciekawostka. To wzór na $\sin(30^\circ+60^\circ)=\sin90^\circ=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wiemy, że $\sin 30^\circ=\frac12$.

Krok 2 — szukamy wszystkich rozwiązań w zadanym przedziale. Sinus jest dodatni w ćwiartkach I i II, więc drugie rozwiązanie to:

$$180^\circ-30^\circ=150^\circ$$

Krok 3 — zestawiamy:

$$x=30^\circ \quad \text{lub} \quad x=150^\circ$$

Częsty błąd: podanie tylko $30^\circ$. Równanie z sinusem ma zwykle dwa rozwiązania na pełnym okręgu.

Odpowiedź: $x=30^\circ$ lub $x=150^\circ$.

Krok 1 — wyznaczamy cosinus z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2\alpha=1-\left(\frac35\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Krok 2 — wybieramy znak. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac45$$

Krok 3 — wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}=0{,}96$$

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\frac{24}{25}$.

Krok 1 — pierwiastkujemy obie strony. Uwaga na oba znaki:

$$\cos x=\frac12 \quad\text{lub}\quad \cos x=-\frac12$$

Krok 2 — dla $\cos x=\frac12$:

$$x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\frac{5\pi}{3}$$

Krok 3 — dla $\cos x=-\frac12$:

$$x=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\frac{4\pi}{3}$$

Częsty błąd: pominięcie ujemnego pierwiastka. Z $\cos^2 x=\frac14$ wynikają cztery rozwiązania, nie dwa.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}$.

Sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\cdot0{,}6\cdot0{,}8=0{,}96$$

Cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x=0{,}64-0{,}36=0{,}28$$

Kontrola jedynką: $0{,}96^2+0{,}28^2=0{,}9216+0{,}0784=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin2x=0{,}96$, $\cos2x=0{,}28$.

Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$

Krok 2 — wyciągamy pierwiastek, dobierając znak.

$$\sin\alpha=\pm\frac{5}{13}$$

Krok 3 — ustalamy znak. W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, więc:

$$\sin\alpha=\frac{5}{13}$$

Kluczowa uwaga: jedynka daje wartość bezwzględną — znak rozstrzyga informacja o ćwiartce. Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$210^\circ=180^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — wzory redukcyjne dla trzeciej ćwiartki:

$$\sin\left(180^\circ+\alpha\right)=-\sin\alpha,\qquad \cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\sin210^\circ=-\frac12,\qquad \cos210^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Kontrola ćwiartką: w trzeciej ćwiartce obie funkcje są ujemne ✔

Odpowiedź: $-\frac12$ oraz $-\frac{\sqrt3}{2}$.

Krok 1 — iloczyn jest zerem, gdy zeruje się czynnik:

$$\sin x=0 \quad\text{lub}\quad \cos x=0$$

Krok 2 — dla $\sin x=0$:

$$x=0,\qquad x=\pi$$

Krok 3 — dla $\cos x=0$:

$$x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2}$$

Uwaga: zamiast mnożyć przez... lepiej rozłożyć na czynniki. Można też zauważyć, że $\sin x\cos x=\frac12\sin2x=0$, co daje ten sam zbiór.

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Krok 1 — redukujemy wyrazy z $\sin^2 x$:

$$\cos^2 x+\sin^2 x$$

Krok 2 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — sinus kąta:

$$\sin30^\circ=\frac{a}{12}$$

Krok 2 — podstawiamy $\sin30^\circ=\frac12$:

$$\frac12=\frac{a}{12} \quad\Rightarrow\quad a=6$$

Odpowiedź: $6$.

Na okręgu jednostkowym kąt $180^\circ$ wskazuje punkt $(-1,\,0)$ — skrajnie po lewej stronie osi OX.

Cosinus to współrzędna pozioma tego punktu:

$$\cos 180^\circ=-1$$

Dla porządku: $\sin 180^\circ=0$ (współrzędna pionowa).

Odpowiedź: A. $-1$.

Sinus jest funkcją nieparzystą, więc zmiana znaku argumentu zmienia znak wartości:

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$

Cosinus zachowuje się inaczej — jest funkcją parzystą, więc $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$.

Na wykresie: sinus jest symetryczny względem początku układu, a cosinus względem osi $OY$.

Odpowiedź: B. $-\sin\alpha$.

Tangens ma okres $\pi$, więc $\operatorname{tg}x=1$ powtarza się co $\pi$:

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}$$

Uwaga na okres. Tangens ma okres $\pi$ (nie $2\pi$ jak sinus i cosinus), dlatego oba rozwiązania różnią się o $\pi$.

Odpowiedź: A. $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{5\pi}{4}$.

Rozpisujemy tangens:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x$$

Odpowiedź: A. $\sin x$.

$\operatorname{tg}45^\circ=1$, więc $\alpha=45^\circ$.

Odpowiedź: C. $45^\circ$.

Krok 1 — rozpoznajemy tangens:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha$$

Krok 2 — mnożymy, cosinus się skraca:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, bo dzielimy przez cosinus.

Odpowiedź: $\sin\alpha$.

Krok 1 — redukujemy licznik:

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

Krok 2 — redukujemy mianownik:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 3 — składamy:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, czyli $\alpha\neq90^\circ+k\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha$.

Krok 1 — izolujemy cosinus:

$$2\cos x=-\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Krok 2 — kąt podstawowy $\frac{\pi}{6}$, cosinus ujemny w II i III ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$

Kontrola: $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{5\pi}{6}$ lub $x=\frac{7\pi}{6}$.

Wzór na cosinus sumy:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Podstawiamy:

$$\cos75^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259$.

Krok 1 — model. Drabina to przeciwprostokątna, wysokość na ścianie to bok naprzeciw kąta $60^\circ$.

Krok 2 — sinus:

$$\sin60^\circ=\frac{h}{5}$$

Krok 3 — obliczamy ($\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$):

$$h=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33\ \text{m}$$

Odpowiedź: $\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33$ m.

Sposób 1 — podstawiamy wartości z tablicy:

$$\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\frac12=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$$

Sposób 2 — wzór na sinus sumy kątów:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)$$

$$=\sin(60^\circ+30^\circ)=\sin 90^\circ=1$$

Drugi sposób jest szybszy — warto rozpoznawać wzory na funkcje sumy kątów.

Odpowiedź: $1$.

We wzorze na cosinus znak jest przeciwny do tego w nawiasie:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Sprawdzenie skrajnym przypadkiem: dla $\beta=\alpha$ dostajemy $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, a przecież $\cos0^\circ=1$ ✔

Uwaga: odpowiedź D to wzór na $\sin(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: B.

Cosinus osiąga $1$ raz na okres $2\pi$. W przedziale o długości $4\pi$ mieszczą się dwa okresy:

$$x=0 \quad\text{oraz}\quad x=2\pi$$

Uwaga na przedział: $4\pi$ jest wyłączone (nawias otwarty), więc go nie liczymy.

Odpowiedź: C. $2$.

Jedna z postaci wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=2\cos^2 x-1$$

Wyprowadzenie: z $\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ i $\sin^2 x=1-\cos^2 x$.

Odpowiedź: C. $2\cos^2 x-1$.

$$\cos90^\circ=0$$

Odpowiedź: D. $0$.