Obliczanie granic ciągów (2)

Gdy $n$ rośnie nieograniczenie, mianownik staje się coraz większy, a cały ułamek dąży do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

Odpowiedź: B. $0$.

Dzielimy licznik i mianownik przez $n$:

$$\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$$

Gdy $n\to\infty$, składnik $\frac1n$ dąży do zera:

$$\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac1n\right)=2$$

Odpowiedź: $2$.

1. Dzielimy przez $n^2$: $\frac{3-\frac1n}{2+\frac5{n^2}}\to\frac32$.

Odpowiedź: $\tfrac32$

Stopnie licznika i mianownika są równe ($2$), więc granica to iloraz współczynników przy najwyższej potędze:

$$\frac{3}{2}=1{,}5$$

Odpowiedź: C. $\frac32$.

1. Stopień licznika mniejszy od stopnia mianownika: $\frac{\frac2n+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}\to0$.

Odpowiedź: $0$

Stopień licznika ($1$) jest mniejszy od stopnia mianownika ($2$), więc mianownik rośnie znacznie szybciej.

Dzieląc przez $n^2$:

$$\frac{\frac1n+\frac{2}{n^2}}{1} \ \longrightarrow \ 0$$

Odpowiedź: $0$.

1. $\sqrt{n^2+4n}-n=\frac{n^2+4n-n^2}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}$.
2. Dzielimy przez $n$: $\frac{4}{\sqrt{1+\frac4n}+1}\to\frac42=2$.

Odpowiedź: $2$

Stopień licznika ($3$) jest większy od stopnia mianownika ($2$), więc licznik rośnie szybciej.

Dzielimy przez $n^2$:

$$\frac{n-\frac2n}{1+\frac{1}{n^2}} \ \longrightarrow \ \frac{\infty}{1}=\infty$$

Wniosek: ciąg jest rozbieżny do plus nieskończoności.

Odpowiedź: $+\infty$.

1. $\binom{n+1}2=\frac{(n+1)n}{2}=\frac{n^2+n}2$.
2. $\frac{n^2+n}{2(n^2+3)}\to\frac12$.

Odpowiedź: $\tfrac12$

Wyrazy ciągu to $\frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \ldots$ — coraz mniejsze, ale zawsze dodatnie.

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$$

Odpowiedź: A. zbieżny do $0$.

1. Dla $x\ne3$: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to6$.

Odpowiedź: $6$

Krok 1 — sprawdzamy warunek zbieżności. Iloraz to $q=\frac12$, a $|q|<1$, więc szereg jest zbieżny.

Krok 2 — wzór na sumę:

$$S=\frac{a_1}{1-q}$$

Krok 3 — podstawiamy $a_1=1$, $q=\frac12$:

$$S=\frac{1}{1-\frac12}=\frac{1}{\frac12}=2$$

Odpowiedź: $S=2$.

1. $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$, więc dla $x\ne1$: $\frac{x+2}{x-1}$.
2. $x\to1^-$: licznik $\to3\gt 0$, mianownik $\to0^-$. Granica: $-\infty$.

Odpowiedź: $-\infty$

Warunek zbieżności szeregu geometrycznego dotyczy wyłącznie ilorazu:

$$|q|<1$$

Dlaczego: tylko wtedy kolejne wyrazy maleją co do wartości bezwzględnej na tyle szybko, że ich suma jest skończona.

Odpowiedź: D. $|q|<1$.

1. Dzielimy przez $3^n$: $\frac{1+\left(\frac23\right)^n}{3-\left(\frac13\right)^n}\to\frac{1+0}{3-0}=\frac13$.

Odpowiedź: $\tfrac13$

Krok 1 — wyznaczamy iloraz:

$$q=\frac{2}{6}=\frac13$$

Ponieważ $\left|\frac13\right|<1$, szereg jest zbieżny.

Krok 2 — suma:

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac13}=\frac{6}{\frac23}=6\cdot\frac32=9$$

Odpowiedź: $S=9$.

1. $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac1{\sqrt{x+4}+2}$.
2. Dla $x\to0$: $\frac1{2+2}=\frac14$.

Odpowiedź: $\tfrac14$

Składnik $\frac{5}{n}$ dąży do zera, gdy $n$ rośnie:

$$\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac5n\right)=3-0=3$$

Odpowiedź: $3$.

1. $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2$.
2. $\frac{n^2+n}{2(n^2-3n)}\to\frac12$.

Odpowiedź: $\tfrac12$

Wyrazy ciągu rosną nieograniczenie: $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots$

$$\lim_{n\to\infty}(2n+1)=+\infty$$

Ciąg jest rozbieżny — nie ma granicy skończonej.

Odpowiedź: B. rozbieżny do $+\infty$.

1. $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$.
2. Ciągłość: $f(2)=\lim_{x\to2}f(x) \Rightarrow m=4$.

Odpowiedź: $m=4$

Stopnie są równe, więc dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:

$$\frac{4-\frac1n}{2+\frac3n} \ \longrightarrow \ \frac{4-0}{2+0}=2$$

Skrót: iloraz współczynników przy $n^2$, czyli $\frac42=2$.

Odpowiedź: $2$.

Warunek zbieżności to $|q|<1$, czyli:

$$|x|<1$$

Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną:

$$x\in(-1,\,1)$$

Uwaga: końce nie należą — dla $x=1$ szereg to $a_1+a_1+a_1+\ldots$ (rozbieżny), a dla $x=-1$ wyrazy oscylują i suma nie ma granicy.

Odpowiedź: $x\in(-1,\,1)$.

Mamy $a_1=\frac12$ oraz $q=\frac12$:

$$S=\frac{\frac12}{1-\frac12}=\frac{\frac12}{\frac12}=1$$

Intuicja: dodając kolejne połówki reszty, zbliżamy się do całości, ale nigdy jej nie przekraczamy.

Odpowiedź: C. $1$.

Licznik jest stały, a mianownik rośnie nieograniczenie:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n^2+1}=0$$

Odpowiedź: $0$.

Dla ciągu A dzielimy przez $n$:

$$\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac1n} \ \longrightarrow \ 1$$

Ciąg jest zbieżny do $1$.

Pozostałe rosną nieograniczenie, więc są rozbieżne.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — korzystamy ze wzoru na sumę:

$$S=\frac{a_1}{1-q} \quad\Rightarrow\quad 12=\frac{8}{1-q}$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$12(1-q)=8 \quad\Rightarrow\quad 1-q=\frac{8}{12}=\frac23 \quad\Rightarrow\quad q=\frac13$$

Krok 3 — sprawdzamy warunek zbieżności: $\left|\frac13\right|<1$ ✔

Weryfikacja: $\frac{8}{1-\frac13}=\frac{8}{\frac23}=12$ ✔

Odpowiedź: $q=\frac13$.

Liczymy granicę każdego składnika osobno (obie istnieją i są skończone).

Krok 1 — pierwszy ułamek (stopnie równe):

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n+1}=\frac{2}{1}=2$$

Krok 2 — drugi ułamek:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{1}=1$$

Krok 3 — różnica granic:

$$2-1=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — pierwsze odbicie:

$$a_1=9\cdot\frac13=3\ \text{m}$$

Krok 2 — kolejne odbicia tworzą szereg geometryczny o ilorazie $q=\frac13$ (a $|q|<1$, więc zbieżny):

$$3+1+\frac13+\ldots$$

Krok 3 — suma:

$$S=\frac{3}{1-\frac13}=\frac{3}{\frac23}=4{,}5\ \text{m}$$

Kontrola sensu: suma jest skończona, mimo nieskończenie wielu odbić — to typowa cecha szeregu zbieżnego.

Odpowiedź: $4{,}5$ m.

Krok 1 — rozpisujemy jako szereg:

$$0{,}(3)=0{,}3+0{,}03+0{,}003+\ldots$$

Krok 2 — rozpoznajemy parametry. Pierwszy wyraz $a_1=0{,}3=\frac{3}{10}$, a iloraz $q=0{,}1=\frac{1}{10}$ (bo $|q|<1$, szereg jest zbieżny).

Krok 3 — suma:

$$S=\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{3}{9}=\frac13$$

Wniosek: $0{,}(3)=\frac13$ — to dowód, że rozwinięcie okresowe zawsze odpowiada liczbie wymiernej.

Odpowiedź: $\frac13$.