Wzajemne położenie dwóch okręgów

Ogólna postać równania okręgu:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Dla środka $(0,0)$ i $r=5$:

$$x^2+y^2=25$$

Uwaga: po prawej stronie stoi promień do kwadratu, a nie sam promień.

Odpowiedź: B. $x^2+y^2=25$.

Porównujemy z postacią $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$:

$$a=2,\qquad b=-3,\qquad r=\sqrt{16}=4$$

Uwaga na znak. Zapis $(y+3)^2$ to $\bigl(y-(-3)\bigr)^2$, więc druga współrzędna środka jest ujemna. To najczęstsza pomyłka przy odczytywaniu.

Odpowiedź: $S=(2,\ -3)$, $r=4$.

Podstawiamy do wzoru ogólnego:

$$(x-1)^2+\bigl(y-(-2)\bigr)^2=3^2$$

$$(x-1)^2+(y+2)^2=9$$

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y+2)^2=9$.

Podstawiamy współrzędne punktu:

$$3^2+4^2=9+16=25$$

Lewa strona równa się prawej, więc punkt leży na okręgu.

Interpretacja: odległość punktu $(3,4)$ od początku układu wynosi dokładnie $5$ — to znana trójka pitagorejska $3$, $4$, $5$.

Odpowiedź: tak, punkt leży na okręgu.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

$$d=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $d=5$.

Porównujemy odległość środków z sumą promieni:

$$r_1+r_2=3+4=7=d$$

Gdy $d=r_1+r_2$, okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny i leżą na zewnątrz siebie — są styczne zewnętrznie.

Pełna klasyfikacja: $d>r_1+r_2$ — rozłączne zewnętrznie; $d=r_1+r_2$ — styczne zewnętrznie; $|r_1-r_2|\lt d\lt r_1+r_2$ — przecinające się; $d=|r_1-r_2|$ — styczne wewnętrznie; $d\lt |r_1-r_2|$ — jeden wewnątrz drugiego.

Odpowiedź: B. styczne zewnętrznie.

Krok 1 — liczymy wartości graniczne:

$$r_1+r_2=7,\qquad |r_1-r_2|=3$$

Krok 2 — porównujemy z $d=3$:

$$d=|r_1-r_2|$$

Krok 3 — wniosek. Okręgi są styczne wewnętrznie — mniejszy leży wewnątrz większego i dotyka go w jednym punkcie.

Odpowiedź: styczne wewnętrznie.

Dwa różne okręgi mogą mieć $0$, $1$ albo $2$ punkty wspólne. „Przecinające się” oznacza właśnie dwa punkty.

Jeden punkt to styczność, zero — rozłączność. Nieskończenie wiele punktów wspólnych miałyby tylko okręgi identyczne.

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1 — na osi $OX$ zachodzi $y=0$:

$$x^2+0=25$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x^2=25 \quad\Rightarrow\quad x=5 \ \text{lub}\ x=-5$$

Krok 3 — punkty:

$$(5,\ 0) \quad\text{oraz}\quad (-5,\ 0)$$

Uwaga: pierwiastkując równanie kwadratowe, bierzemy oba znaki — pominięcie ujemnego to typowy błąd.

Odpowiedź: $(5,0)$ i $(-5,0)$.

Krok 1 — odczytujemy promień:

$$r^2=16 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi r^2=16\pi\approx50{,}27$$

Skrót: we wzorze na pole i tak występuje $r^2$, a to dokładnie liczba stojąca po prawej stronie nierówności — pierwiastkowanie było zbędne.

Odpowiedź: $P=16\pi$.

Krok 1 — odczytujemy dane okręgu: $S=(3,\ 4)$, $r=3$.

Krok 2 — odległość punktu od środka:

$$d=\sqrt{3^2+4^2}=5$$

Krok 3 — porównujemy z promieniem:

$$5>3 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt leży na zewnątrz}$$

Reguła: $d\lt r$ — wewnątrz, $d=r$ — na okręgu, $d>r$ — na zewnątrz.

Odpowiedź: C. na zewnątrz.

Krok 1 — promień to odległość środka od punktu na okręgu:

$$r=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — układamy równanie:

$$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$

Sprawdzenie punktem $A$: $9+16=25$ ✔

Odpowiedź: $(x-2)^2+(y-3)^2=25$.

Suma dwóch kwadratów jest zerem tylko wtedy, gdy oba składniki są zerami:

$$x=0 \quad\text{i}\quad y=0$$

Zbiorem rozwiązań jest jeden punkt $(0,\ 0)$ — to okrąg „zdegenerowany” o promieniu zerowym.

Dla porównania: równanie $x^2+y^2=-1$ opisuje zbiór pusty, bo suma kwadratów nigdy nie jest ujemna.

Odpowiedź: B. jeden punkt.

Krok 1 — odczytujemy dane:

$$S_1=(1,\ 2),\ r_1=3;\qquad S_2=(5,\ 5),\ r_2=2$$

Krok 2 — odległość środków:

$$d=\sqrt{(5-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5$$

Krok 3 — wartości graniczne:

$$r_1+r_2=5,\qquad |r_1-r_2|=1$$

Krok 4 — porównanie:

$$d=r_1+r_2=5$$

Wniosek. Okręgi są styczne zewnętrznie — mają dokładnie jeden punkt wspólny i leżą po przeciwnych stronach stycznej poprowadzonej w tym punkcie.

Odpowiedź: styczne zewnętrznie.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^2+6x\right)+\left(y^2-8y\right)+9=0$$

Krok 2 — uzupełniamy do kwadratów. Bierzemy połowę współczynnika przy zmiennej i podnosimy do kwadratu:

$$x^2+6x=(x+3)^2-9$$

$$y^2-8y=(y-4)^2-16$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$(x+3)^2-9+(y-4)^2-16+9=0$$

Krok 4 — porządkujemy:

$$(x+3)^2+(y-4)^2=16$$

Krok 5 — odczytujemy: $S=(-3,\ 4)$ oraz $r=4$.

Sprawdzenie sensowności. Prawa strona wyszła dodatnia, więc równanie faktycznie opisuje okrąg. Gdyby wyszło zero — byłby to punkt, a przy liczbie ujemnej zbiór pusty.

Odpowiedź: $(x+3)^2+(y-4)^2=16$, $S=(-3,4)$, $r=4$.

Krok 1 — szukamy punktów wspólnych. Podstawiamy $y=r$ do równania okręgu:

$$x^2+r^2=r^2$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=0$$

Krok 3 — wniosek. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a to właśnie definicja styczności prostej i okręgu. $\qquad ∎$

Krok 4 — punkt styczności:

$$(0,\ r)$$

Sposób alternatywny. Odległość środka $(0,0)$ od prostej poziomej $y=r$ wynosi $r$ — dokładnie tyle, ile promień. A warunek styczności prostej i okręgu to właśnie równość odległości środka od prostej i promienia.

Sprawdzenie dla $r=5$: prosta $y=5$ dotyka okręgu $x^2+y^2=25$ w punkcie $(0,5)$, czyli w jego najwyższym punkcie ✔

1. $(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-12=0 \Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=25$.

Odpowiedź: $S=(2,-3)$, $r=5$

1. $(x-1)^2+(y+2)^2=5-m$; okrąg, gdy $5-m\gt 0$.

Odpowiedź: $m\lt 5$

1. $r=d(S,l)=\frac{|12+3+10|}{5}=5$.
2. $(x-3)^2+(y+1)^2=25$.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y+1)^2=25$

1. $x^2+(x+1)^2=25 \Rightarrow x^2+x-12=0 \Rightarrow x=3$ lub $x=-4$.
2. Punkty $(3,4)$, $(-4,-3)$; długość $\sqrt{49+49}=7\sqrt2$.

Odpowiedź: $(3,4)$, $(-4,-3)$; $7\sqrt2$

1. $S_1=(1,2)$, $r_1=2$; $S_2=(4,6)$, $r_2=3$; $|S_1S_2|=\sqrt{9+16}=5=r_1+r_2$ — styczne zewnętrznie.
2. Punkt styczności leży na odcinku $S_1S_2$ w odległości $2$ od $S_1$: $S_1+\frac25[3,4]=\left(\frac{11}5,\frac{18}5\right)$.

Odpowiedź: styczne zewnętrznie w punkcie $\left(\tfrac{11}5,\tfrac{18}5\right)$

1. Odejmujemy: $x^2+y^2-\big[(x-4)^2+(y-2)^2\big]=0 \Rightarrow 8x+4y-20=0 \Rightarrow y=5-2x$.
2. $x^2+(5-2x)^2=10 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=1$ lub $x=3$.
3. $A=(1,3)$, $B=(3,-1)$; prosta $AB$: $y=-2x+5$.

Odpowiedź: $A=(1,3)$, $B=(3,-1)$; $y=-2x+5$

1. Kąt $BAC$ jest prosty, więc $BC$ jest średnicą. Środek: $(3,4)$, $r=\frac{|BC|}2=5$.
2. $(x-3)^2+(y-4)^2=25$.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y-4)^2=25$

1. $|OP|=\sqrt{10}\gt \sqrt5$ — punkt zewnętrzny. Prosta pionowa $x=3$ ma odległość $3\ne\sqrt5$ — nie jest styczna.
2. $y-1=m(x-3)$, czyli $mx-y+1-3m=0$. Styczność: $\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt5$.
3. $(1-3m)^2=5(m^2+1) \Rightarrow 4m^2-6m-4=0 \Rightarrow m=2$ lub $m=-\frac12$.
4. $y=2x-5$ oraz $y=-\frac12x+\frac52$.

Odpowiedź: $y=2x-5$ oraz $y=-\tfrac12x+\tfrac52$

1. Środek leży na symetralnej $AB$: środek odcinka $(2,1)$, $a_{AB}=1$, symetralna $y=-x+3$.
2. $x+1=-x+3 \Rightarrow x=1$, $S=(1,2)$.
3. $r^2=|SA|^2=0+4=4$ (kontrola $|SB|^2=4+0$ ✓).

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y-2)^2=4$

1. $x^2=x+2 \Rightarrow x=2$ lub $x=-1$: $A=(-1,1)$, $B=(2,4)$.
2. Środek: $\left(\frac12,\frac52\right)$, $r^2=\frac{|AB|^2}4=\frac{9+9}4=\frac92$.
3. Oś $Oy$ ($x=0$): $\frac14+\left(y-\frac52\right)^2=\frac92 \Rightarrow \left(y-\frac52\right)^2=\frac{17}4$.
4. $y=\frac{5\pm\sqrt{17}}2$.

Odpowiedź: $\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac52\right)^2=\tfrac92$; $\left(0,\tfrac{5\pm\sqrt{17}}2\right)$