Wartość najmniejsza i wartość największa funkcji

1. Krok 1. Pochodna (wzór na pochodną ilorazu). $$P'(x)=\frac{6x^{2}(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}=\frac{2x^{4}-96x^{2}}{(x^{2}-16)^{2}}=\frac{2x^{2}(x^{2}-48)}{(x^{2}-16)^{2}}.$$
2. Krok 2. Miejsce zerowe pochodnej.

   W dziedzinie $x>4$ znak zależy od $x^{2}-48$: $P'(x)=0\Rightarrow x^{2}=48\Rightarrow x=4\sqrt3\ (\approx6{,}93\in(4,10\rangle)$.

3. Krok 3. Charakter ekstremum.

   Dla $4\lt x\lt 4\sqrt3$: $P'(x)\lt 0$ (funkcja maleje); dla $x>4\sqrt3$: $P'(x)>0$ (rośnie). W $x=4\sqrt3$ jest więc minimum.

4. Krok 4. Najmniejsze pole. $$P(4\sqrt3)=\frac{2\left(4\sqrt3\right)^{3}}{(4\sqrt3)^{2}-16}=\frac{2\cdot 192\sqrt3}{48-16}=\frac{384\sqrt3}{32}=12\sqrt3.$$
5. Odpowiedź. Podstawa $x=4\sqrt3$ m, najmniejsze pole $P=12\sqrt3\ \text{m}^{2}$.

1. Krok 1. Pochodna. $$P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^{2}}=\frac{\sqrt3\,(a^{3}-13824)}{a^{2}}.$$
2. Krok 2. Miejsce zerowe pochodnej. $$P'(a)=0\ \Rightarrow\ a^{3}=13824\ \Rightarrow\ a=\sqrt[3]{13824}=24.$$

   Punkt $a=24$ leży poza dziedziną, bo $8\sqrt3\approx13{,}86\lt 24$.

3. Krok 3. Monotoniczność na dziedzinie.

   Dla $a\in(0,8\sqrt3\rangle$ mamy $a^{3}\lt 13824$, więc $P'(a)\lt 0$ — funkcja jest malejąca. Najmniejsza wartość jest zatem na prawym końcu przedziału, dla $a=8\sqrt3$.

4. Krok 4. Obliczenie najmniejszego pola.

   $(8\sqrt3)^{2}=192$, więc

   $$P(8\sqrt3)=\frac{192\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{8\sqrt3}=96\sqrt3+\frac{13824}{8}=96\sqrt3+1728.$$
5. Odpowiedź. Krawędź podstawy $a=8\sqrt3$, najmniejsze pole $P=1728+96\sqrt3$.

Krok 1. Odczyt z wykresu. Funkcja przyjmuje wartość $1$ na całych przedziałach, a „wgłębienia" są wyśrodkowane w punktach $-3\pi,\,-\pi,\,\pi,\,3\pi$, czyli tam, gdzie $\cos x=-1$. Najmniejsza wartość to około $\frac13$.

Krok 2. Sprawdzenie wzoru C. Rozpatrzmy $f(x)=\frac{|\cos x|-2}{\cos x-2}$.

Gdy $\cos x\ge 0$, to $|\cos x|=\cos x$, więc

$$f(x)=\frac{\cos x-2}{\cos x-2}=1.$$

Gdy $\cos x\lt 0$, to $|\cos x|=-\cos x$, więc

$$f(x)=\frac{-\cos x-2}{\cos x-2}.$$

Krok 3. Minimum. Dla $\cos x=-1$ (czyli $x=\pi+2k\pi$):

$$f(x)=\frac{1-2}{-1-2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}.$$

To dokładnie zgadza się z wykresem: wartość $1$ tam, gdzie $\cos x\ge0$, oraz wgłębienie sięgające $\frac13$ w punktach $x=\pm\pi,\pm3\pi$.

Uwaga: mianownik $\cos x-2$ nigdy nie jest zerem, bo $\cos x\le 1\lt 2$, więc funkcja jest określona dla każdego $x$.

Odpowiedź: C

Krok 1. Pomysł — rozkład na sumę kwadratów. Spróbujmy zapisać lewą stronę jako sumę kwadratów powiększoną o liczbę dodatnią. Zacznijmy od uzupełnienia $x^{4}$ do pełnego kwadratu:

$$\left(x^{2}-1\right)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1\ \Longrightarrow\ x^{4}=\left(x^{2}-1\right)^{2}+2x^{2}-1.$$

Krok 2. Podstawienie.

$$x^{4}-x^{2}-2x+3=\left(x^{2}-1\right)^{2}+2x^{2}-1-x^{2}-2x+3=\left(x^{2}-1\right)^{2}+x^{2}-2x+2.$$

Krok 3. Drugi kwadrat. Pozostałe wyrazy również zwijamy:

$$x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.$$

Ostatecznie

$$x^{4}-x^{2}-2x+3=\left(x^{2}-1\right)^{2}+(x-1)^{2}+1.$$

Sprawdzenie rozkładu: $\left(x^{2}-1\right)^{2}+(x-1)^{2}+1=x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}-2x+1+1=x^{4}-x^{2}-2x+3$ ✓

Krok 4. Uzasadnienie nierówności. Kwadraty liczb rzeczywistych są nieujemne:

$$\left(x^{2}-1\right)^{2}\ge0,\qquad (x-1)^{2}\ge0.$$

Zatem dla każdego $x$

$$x^{4}-x^{2}-2x+3\ge 0+0+1=1>0,$$

co kończy dowód. $\blacksquare$

Uwaga: najmniejszą wartość $1$ wyrażenie osiąga dla $x=1$, bo wtedy oba kwadraty znikają jednocześnie.

Każdy punkt prostej ma postać \(P=(x,8x+10)\). Wtedy

\(f(x)=|AP|^2+|BP|^2=(x-3)^2+(8x+12)^2+(x-11)^2+(8x+6)^2\).

Po rozwinięciu:

\((x-3)^2=x^2-6x+9\), \((8x+12)^2=64x^2+192x+144\),

\((x-11)^2=x^2-22x+121\), \((8x+6)^2=64x^2+96x+36\),

a po dodaniu \(f(x)=130x^2+260x+310\).

Jest to funkcja kwadratowa o dodatnim współczynniku przy \(x^2\), więc przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku:

\(x_0=-\dfrac{260}{2\cdot130}=-1\), skąd \(y_0=8\cdot(-1)+10=2\).

Odpowiedź: \(P=(-1,2)\); najmniejsza wartość sumy wynosi \(f(-1)=180\).

Krok 1. Wyrażenie $|PQ|^{2}$ przez $m$.

$$|PQ|^{2}=\left(\frac{m}{2}+\frac52-\frac{55}{2}\right)^{2}+(m-0)^{2}=\left(\frac{m}{2}-25\right)^{2}+m^{2}.$$

Krok 2. Uproszczenie.

$$\left(\frac{m}{2}-25\right)^{2}=\frac{m^{2}}{4}-25m+625,$$

$$f(m)=|PQ|^{2}=\frac{m^{2}}{4}-25m+625+m^{2}=\frac54m^{2}-25m+625.$$

Krok 3. Analiza funkcji kwadratowej. Współczynnik przy $m^{2}$ jest dodatni, a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi

$$m_w=\frac{25}{2\cdot\frac54}=\frac{25}{\frac52}=10.$$

Wierzchołek leży poza przedziałem $\langle-1,7\rangle$ (bo $10>7$), więc na całym tym przedziale funkcja jest malejąca.

Krok 4. Wartości na końcach przedziału.

$$f(7)=\frac54\cdot49-175+625=\frac{245}{4}+450=\frac{2045}{4}=511{,}25\quad(\text{najmniejsza}),$$

$$f(-1)=\frac54+25+625=\frac{5}{4}+650=\frac{2605}{4}=651{,}25\quad(\text{największa}).$$

Kontrola bezpośrednia: dla $m=7$ punkt $P=(6,7)$ i $|PQ|^{2}=21{,}5^{2}+7^{2}=511{,}25$ ✓; dla $m=-1$ punkt $P=(2,-1)$ i $|PQ|^{2}=25{,}5^{2}+1=651{,}25$ ✓

Odpowiedź: najmniejsza wartość $\frac{2045}{4}$, największa $\frac{2605}{4}$

Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy, a przez \(h\) długość krawędzi bocznej.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma 12 krawędzi podstaw i 6 krawędzi bocznych, więc

\(12a+6h=24\), czyli \(h=4-2a\).

Warunki geometryczne: \(a>0\) i \(h>0\), czyli \(a\in(0,2)\).

Pole powierzchni bocznej (sześć prostokątów \(a\times h\)):

\(P(a)=6ah=6a(4-2a)=-12a^2+24a\).

Jest to funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy \(a^2\), więc przyjmuje wartość największą w wierzchołku:

\(a_0=-\dfrac{24}{2\cdot(-12)}=1\), przy czym \(1\in(0,2)\).

Odpowiedź: krawędź podstawy ma długość \(a=1\) (wtedy \(h=2\), a \(P=12\)).

Oznaczmy \(x=|DF|\), wtedy \(|CE|=2x\), \(|CF|=1-x\) oraz \(|BE|=1-2x\).

Warunki geometryczne: \(x\ge0\) i \(2x\le1\), więc \(x\in\langle0,\tfrac12\rangle\).

Pole trójkąta \(AEF\) obliczamy, odejmując od pola kwadratu pola trzech trójkątów prostokątnych:

\(P(x)=1-\underbrace{\tfrac12\cdot1\cdot(1-2x)}_{P_{ABE}}-\underbrace{\tfrac12\cdot2x\cdot(1-x)}_{P_{ECF}}-\underbrace{\tfrac12\cdot1\cdot x}_{P_{ADF}}\),

\(P(x)=1-\tfrac12+x-x+x^2-\tfrac{x}{2}=x^2-\tfrac12x+\tfrac12\).

Jest to funkcja kwadratowa o dodatnim współczynniku przy \(x^2\), więc wartość najmniejszą przyjmuje w wierzchołku:

\(x_0=\dfrac{\tfrac12}{2}=\dfrac14\), przy czym \(\tfrac14\in\langle0,\tfrac12\rangle\).

Odpowiedź: \(x=\dfrac14\) (najmniejsze pole wynosi wtedy \(\dfrac{7}{16}\)).

a) Z różnicy wyrazów:

\(a_{11}-a_7=4r=9-1=8\), skąd \(r=2\).

Z \(a_7=a_1+6r\):

\(1=a_1+12\), czyli \(a_1=-11\).

Wzór ogólny: \(a_n=-11+2(n-1)=2n-13\).

b) Obliczamy \(a_8=2\cdot8-13=3\). Sprawdzamy warunek na ciąg geometryczny:

\(a_8^2=3^2=9\), \(\ a_7\cdot a_{11}=1\cdot9=9\).

Warunek jest spełniony, a żaden z wyrazów nie jest zerem, więc ciąg \((1,3,9)\) jest geometryczny o ilorazie \(q=3\).

c) Ciąg jest rosnący (\(r=2>0\)). Suma \(S_n\) maleje dopóki dodajemy wyrazy ujemne:

\(a_n=2n-13\lt 0\ \Longleftrightarrow\ n\lt 6{,}5\),

czyli ujemne są wyrazy \(a_1,\ldots,a_6\) (przy czym \(a_6=-1\)), a \(a_7=1>0\).

Suma jest więc najmniejsza dla \(n=6\):

\(S_6=\dfrac{a_1+a_6}{2}\cdot6=\dfrac{-11-1}{2}\cdot6=-36\).

Sprawdzenie: \(S_5=-35\), \(S_7=-35\) — obie wartości większe od \(-36\). ✅

Rano \(n\)-tego dnia skarbnik dorzuca \(a_n=25+2(n-1)=23+2n\) monet (ciąg arytmetyczny).

Po południu \(n\)-tego dnia w skarbcu jest

\(S_n=k+\sum_{i=1}^{n}(23+2i)-50n=k+23n+n(n+1)-50n=k+n^2-26n\).

W ciągu dnia stan skarbca jest najmniejszy właśnie po południu (rano monet przybywa), więc warunek zadania to

\(k+n^2-26n\ge1\) dla każdego \(n\ge1\).

Funkcja \(n\mapsto n^2-26n\) osiąga najmniejszą wartość dla \(n=13\):

\(13^2-26\cdot13=169-338=-169\).

Stąd \(k-169\ge1\), czyli \(k\ge170\), a więc najmniejsza szukana liczba to \(k=170\).

Dla \(k=170\) mamy \(S_{13}=170-169=1\), a dla pozostałych dni \(S_n>1\).

Odpowiedź: \(k=170\), a najmniejsza liczba monet (jedna) była w skarbcu 13. dnia.

Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołków łamanej:

\(A=(-3,-4)\), \(B=(-2,-4)\), \(C=(2,3)\), \(D=(4,3)\).

a) Najmniejsza wartość funkcji to \(-4\), największa \(3\), a funkcja jest ciągła, więc

\(ZW=\langle-4,3\rangle\).

b) Szacujemy argument: \(3\lt \sqrt{10}\lt 4\), więc \(1-\sqrt{10}\in(-3,-2)\). Na tym przedziale wykres jest poziomym odcinkiem \(AB\) o wartości \(-4\), zatem

\(f\left(1-\sqrt{10}\right)=-4\).

c) Współczynnik kierunkowy prostej \(BC\):

\(a=\dfrac{3-(-4)}{2-(-2)}=\dfrac74\).

Prosta przechodzi przez \(B=(-2,-4)\):

\(y+4=\tfrac74(x+2)\), czyli \(y=\dfrac74x-\dfrac12\).

d)

\(|BC|=\sqrt{(2+2)^2+(3+4)^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\approx8{,}06\).

Zapisujemy funkcję w postaci ogólnej:

\(f(x)=(2x+1)(x-2)=2x^2-3x-2\).

Wierzchołek. Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę, a wierzchołek leży w

\(x_w=\dfrac{3}{4}\in\langle-2,2\rangle\).

\(f\!\left(\tfrac34\right)=2\cdot\dfrac{9}{16}-3\cdot\dfrac34-2=\dfrac98-\dfrac94-2=-\dfrac{25}{8}\).

Wartości na krańcach przedziału.

\(f(-2)=2\cdot4+6-2=12\), \(\ f(2)=8-6-2=0\).

Odpowiedź: wartość najmniejsza wynosi \(-\dfrac{25}{8}=-3{,}125\) (dla \(x=\tfrac34\)), a największa \(12\) (dla \(x=-2\)).

Dziedzina. Liczba logarytmowana musi być dodatnia:

\(8x-x^2>0\), czyli \(x(8-x)>0\), skąd \(D_f=(0,8)\).

Najmniejsza wartość. Podstawa logarytmu \(\dfrac{\sqrt2}{2}=2^{-\frac12}\) należy do przedziału \((0,1)\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca. Zatem \(f\) przyjmuje wartość najmniejszą wtedy, gdy wyrażenie \(g(x)=8x-x^2\) osiąga wartość największą.

\(g\) jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), z wierzchołkiem w \(x_0=\dfrac{0+8}{2}=4\):

\(g(4)=32-16=16\).

Stąd

\(f_{\min}=\log_{2^{-\frac12}}16=\dfrac{\log_2 16}{\log_2 2^{-\frac12}}=\dfrac{4}{-\tfrac12}=-8\).

Odpowiedź: \(D_f=(0,8)\), a najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-8\) (dla \(x=4\)).

Rozwiązanie układu. Wyznacznik główny:

\(W=\begin{vmatrix}m&-1\\1&m\end{vmatrix}=m^2+1>0\) dla każdego \(m\), więc układ zawsze ma dokładnie jedno rozwiązanie.

\(W_x=\begin{vmatrix}2&-1\\m&m\end{vmatrix}=2m+m=3m\), \(\ W_y=\begin{vmatrix}m&2\\1&m\end{vmatrix}=m^2-2\).

Stąd

\(x=\dfrac{3m}{m^2+1}\), \(\ y=\dfrac{m^2-2}{m^2+1}\).

Najmniejsza wartość sumy. Niech

\(S(m)=x+y=\dfrac{m^2+3m-2}{m^2+1}\).

Obliczamy pochodną:

\(S'(m)=\dfrac{(2m+3)(m^2+1)-(m^2+3m-2)\cdot2m}{(m^2+1)^2}=\dfrac{-3m^2+6m+3}{(m^2+1)^2}\).

Licznik zeruje się dla \(m^2-2m-1=0\), czyli \(m=1\pm\sqrt2\). W przedziale \(\langle2,4\rangle\) leży tylko \(m_0=1+\sqrt2\approx2{,}41\), przy czym \(S'>0\) dla \(m\lt m_0\) i \(S'\lt 0\) dla \(m>m_0\) — jest to maksimum.

Wartość najmniejsza jest więc przyjmowana na krańcu przedziału:

\(S(2)=\dfrac{4+6-2}{5}=\dfrac85=1{,}6\), \(\ S(4)=\dfrac{16+12-2}{17}=\dfrac{26}{17}\approx1{,}529\).

Odpowiedź: najmniejsza wartość sumy \(x+y\) wynosi \(\dfrac{26}{17}\) i jest przyjmowana dla \(m=4\).

Z wykresu odczytujemy: miejsca zerowe \(x_1=-1\), \(x_2=3\), wierzchołek \(W=(1,4)\), a wykres przecina oś \(OY\) w punkcie \((0,3)\). Ramiona paraboli są skierowane w dół.

c) Wzór funkcji. Z postaci iloczynowej \(f(x)=a(x+1)(x-3)\) oraz warunku \(f(0)=3\):

\(a\cdot1\cdot(-3)=3\), czyli \(-3a=3\), skąd \(a=-1\).

Zatem \(f(x)=-(x+1)(x-3)\) (równoważnie \(f(x)=-x^2+2x+3\)).

a) Nierówność \(f(x)\le3\).

\(-x^2+2x+3\le3\),

\(-x^2+2x\le0\), czyli \(x^2-2x\ge0\), a więc \(x(x-2)\ge0\).

Stąd \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty)\). (Można to też odczytać wprost z wykresu: wartości nie większe niż 3 są poza przedziałem \((0,2)\).)

b) Wartości ekstremalne na \(\langle0,3\rangle\).

Wierzchołek \(x=1\) należy do przedziału, więc

wartość największa: \(f(1)=4\),

wartość najmniejsza: na krańcach \(f(0)=3\), \(f(3)=0\), czyli \(0\).

Oznaczmy przez \(x\) liczbę złotych, o którą obniżono cenę (\(x\ge0\)).

Wtedy:

• cena sprzedaży: \(160-x\) zł, zysk z jednej kurtki: \(160-x-100=60-x\) zł,

• liczba sprzedanych kurtek: \(40+x\).

Miesięczny zysk:

\(f(x)=(60-x)(40+x)=-x^2+20x+2400\).

Jest to funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy \(x^2\), więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

\(x_w=-\dfrac{20}{2\cdot(-1)}=10\).

Cena sprzedaży wynosi wtedy \(160-10=150\) zł, a zysk \(f(10)=50\cdot50=2500\) zł.

Odpowiedź: sprzedawca powinien ustalić cenę 150 zł.

1) Warunek istnienia pierwiastków rzeczywistych.

\(\Delta=(m-5)^2-4\left(m^2+m+\tfrac14\right)=(m-5)^2-\left(2m+1\right)^2\).

Ze wzoru na różnicę kwadratów:

\(\Delta=\bigl[(m-5)-(2m+1)\bigr]\bigl[(m-5)+(2m+1)\bigr]=(-m-6)(3m-4)\).

\(\Delta\ge0\ \Longleftrightarrow\ (m+6)(3m-4)\le0\ \Longleftrightarrow\ m\in\left\langle-6,\tfrac43\right\rangle\).

2) Wzór badanej funkcji. Ze wzorów Viète'a:

\(x_1+x_2=5-m\), \(\ x_1x_2=m^2+m+\tfrac14=\left(m+\tfrac12\right)^2\),

więc

\(f(m)=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{5-m}{\left(m+\tfrac12\right)^2}\), przy czym \(m\neq-\tfrac12\).

Dziedzina: \(m\in\left\langle-6,-\tfrac12\right)\cup\left(-\tfrac12,\tfrac43\right\rangle\).

3) Pochodna. Ze wzoru na pochodną ilorazu:

\(f'(m)=\dfrac{-\left(m+\tfrac12\right)^2-(5-m)\cdot2\left(m+\tfrac12\right)}{\left(m+\tfrac12\right)^4}=\dfrac{-\left(m+\tfrac12\right)-2(5-m)}{\left(m+\tfrac12\right)^3}=\dfrac{m-\tfrac{21}{2}}{\left(m+\tfrac12\right)^3}\).

Miejsce zerowe pochodnej: \(m=\tfrac{21}{2}\) — leży poza dziedziną.

4) Znak pochodnej. Licznik \(m-\tfrac{21}{2}\) jest ujemny w całej dziedzinie, więc znak \(f'\) zależy od mianownika:

• dla \(m\in\left\langle-6,-\tfrac12\right)\): \(\left(m+\tfrac12\right)^3\lt 0\), więc \(f'(m)>0\) — funkcja rośnie,

• dla \(m\in\left(-\tfrac12,\tfrac43\right\rangle\): \(\left(m+\tfrac12\right)^3>0\), więc \(f'(m)\lt 0\) — funkcja maleje.

5) Wartość najmniejsza. Kandydatami są końce przedziałów:

\(f(-6)=\dfrac{11}{\left(-\tfrac{11}{2}\right)^2}=\dfrac{11}{\tfrac{121}{4}}=\dfrac{4}{11}\),

\(f\!\left(\tfrac43\right)=\dfrac{5-\tfrac43}{\left(\tfrac{11}{6}\right)^2}=\dfrac{\tfrac{11}{3}}{\tfrac{121}{36}}=\dfrac{12}{11}\).

Ponieważ \(\tfrac{4}{11}\lt \tfrac{12}{11}\), wartość najmniejsza wynosi

\(\dfrac{4}{11}\) i jest przyjmowana dla \(m=-6\).

(Dla \(m=-6\) jest \(\Delta=0\), więc równanie ma jeden pierwiastek podwójny \(x_1=x_2=\tfrac{11}{2}\), a stosunek sumy do iloczynu wynosi \(\tfrac{11}{121/4}=\tfrac{4}{11}\).)