Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja \(f\) ma następujące własności: jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, \(f\) jest funkcją nieparzystą, \(f\) jest funkcją ciągłą, oraz:
\(f'(x)\lt 0\) dla \(x\in(-8,-3)\), \(f'(x)>0\) dla \(x\in(-3,-1)\), \(f'(x)\lt 0\) dla \(x\in(-1,0)\), \(f'(-3)=f'(-1)=0\), \(f(-8)=0\), \(f(-3)=-2\), \(f(-2)=0\), \(f(-1)=1\).
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-8,8\rangle\), wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach.
Pochodna mówi, jak nachylona jest styczna do wykresu — a więc czy funkcja rośnie, czy maleje:
Punkty, w których $f^{\prime}(x)=0$ lub pochodna nie istnieje, nazywamy krytycznymi. Tylko tam może wystąpić ekstremum lokalne.
Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza. Ekstremum jest wtedy, gdy pochodna dodatkowo zmienia znak:
Klasyczny kontrprzykład: dla $f(x)=x^3$ mamy $f^{\prime}(x)=3x^2$, więc $f^{\prime}(0)=0$, ale pochodna jest dodatnia po obu stronach zera. Funkcja cały czas rośnie — ekstremum nie ma, jest tam punkt przegięcia.
Zbadajmy $f(x)=x^3-3x$. Pochodna:
$$f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
Miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ i $x=1$. Znak pochodnej: dodatni dla $x\lt -1$, ujemny na $(-1,\,1)$, dodatni dla $x>1$.
Zatem w $x=-1$ jest maksimum lokalne $f(-1)=2$, a w $x=1$ minimum lokalne $f(1)=-2$.
Oprócz ekstremów lokalnych sprawdzamy zawsze końce przedziału — wartość największa może być właśnie tam.
Nie myl miejsca zerowego funkcji ($f(x)=0$) z miejscem zerowym pochodnej ($f^{\prime}(x)=0$) — to zupełnie różne rzeczy. Pamiętaj też, że wnioski o monotoniczności formułujemy dla przedziałów, a nie dla pojedynczych punktów.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Podaj dziedzinę funkcji $f(x)=\tfrac{1}{x-2}$.
Podaj miejsce zerowe funkcji $f(x)=x-3$.
Zbiorem wartości funkcji $y=x^2$ jest:
Podaj wierzchołek paraboli $y=(x+1)^2-4$.
Podaj przedział, w którym $y=x^2$ jest rosnąca.
Podaj miejsca zerowe funkcji $y=x^2-4$.
Dziedzina $f(x)=\tfrac{1}{x-4}$?
Miejsce zerowe $f(x)=2x-8$?
Zbiór wartości $y=x^2$:
Wierzchołek $y=(x-3)^2+2$?
Przedział rosnący $y=x^2$?
Miejsca zerowe $y=x^2-16$?
Asymptota pionowa $y=\tfrac{1}{x-3}$?
Szkicowanie zaczynamy od:
Przedział malejący $y=x^2$?
Dziedzina $y=\sqrt{x-2}$?
Punkt przecięcia $y=2x-6$ z osią $OX$?
Wierzchołek $y=-(x-1)^2+4$ to:
Zbiór wartości $y=x^2+3$?
Naszkicuj plan analizy $f(x)=\tfrac{1}{x}$: dziedzina, asymptoty, ćwiartki.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.