Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Obrazy punktu w symetrii względem osi i początku układu.
Przykład: $P(3,-2)$: względem $Ox$ — $(3,2)$, względem $O$ — $(-3,2)$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$
Zmienia się znak drugiej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,y)$$
Zmienia się znak pierwszej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(-4,\,-2)$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,-y)$$
To symetria środkowa o środku $(0,\,0)$ — zmieniają się obie współrzędne.
Dla środka $S=(a,\,b)$ obrazem punktu $P=(x,\,y)$ jest:
$$P^{\prime}=(2a-x,\ 2b-y)$$
Wynika to z faktu, że $S$ jest środkiem odcinka $PP^{\prime}$.
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (y,\,x)$$
Współrzędne zamieniają się miejscami — tak właśnie powstaje wykres funkcji odwrotnej.
Łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Zapamiętaj tak: symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$; symetria względem osi OY „odbija w poziomie”, więc rusza $x$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny jest dobrym kontrprzykładem.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Punkt symetryczny do punktu $P=(3,-5)$ względem osi $Oy$ ma współrzędne
Obrazem punktu $A=(3,\ 5)$ w symetrii względem osi $OX$ jest:
Podaj obraz punktu $A=(-2,\ 4)$ w symetrii względem osi $OY$.
Podaj obraz punktu $A=(3,\ -7)$ w symetrii względem początku układu $O$.
Symetria względem początku układu przekształca $(x,\ y)$ na:
Punkt $A=(2,\ 3)$ i jego obraz $A'=(2,\ -3)$. Względem czego wykonano symetrię?
Obrazem punktu $(0,\ 5)$ w symetrii względem osi $OY$ jest:
Punkt $B$ jest obrazem $A=(4,\ 1)$ w symetrii środkowej względem punktu $S=(1,\ 2)$. Wyznacz współrzędne $B$.
Podaj obrazy punktu $P=(5,\ -2)$ w symetriach względem: osi $OX$, osi $OY$ i początku układu.
Który punkt jest stały w symetrii względem początku układu?
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=2x+3$ względem osi $OX$.
Obrazem punktu $(a,\ b)$ w symetrii względem prostej $y=x$ jest:
Trójkąt ma wierzchołki $A=(1,\ 1)$, $B=(4,\ 1)$, $C=(1,\ 5)$. Podaj współrzędne obrazu w symetrii względem osi $OY$.
Punkt $A'=(6,\ -1)$ jest obrazem $A$ w symetrii względem początku układu. Wyznacz $A$.
Funkcja, której wykres jest symetryczny względem osi $OY$, to funkcja:
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=3x-1$ względem początku układu.
Obrazem punktu $(2,\ 8)$ w symetrii względem punktu $S=(2,\ 8)$ jest:
Punkt $A=(3,\ -4)$ odbito względem osi $OX$, otrzymując $A'$, a następnie $A'$ odbito względem osi $OY$, otrzymując $A''$. Wyznacz $A''$ i porównaj z symetrią środkową punktu $A$.
Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do $(x-2)^2+(y-3)^2=9$ względem osi $OX$.
Punkty $A=(-3,\ 2)$ i $B=(5,\ 2)$ są symetryczne względem pewnej prostej pionowej. Wyznacz równanie tej prostej.
Wykaż, że złożenie dwóch symetrii względem osi $OX$ (wykonanych jedna po drugiej) daje przekształcenie tożsamościowe.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu
\(\mathcal{O}:\;(x+1)^2+(y-2)^2=9\)
Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) układu współrzędnych.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \((x-1)^2+(y+2)^2=5\).
Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg \(\mathcal{K}\) jest określony równaniem
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(-1,-4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S=(2,2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa
Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu \((x-16)^2+y^2=4\) jest okrąg o równaniu \((x-6)^2+(y-4)^2=16\), a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.
Punkty \(A=(7,8)\) i \(B=(-1,2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle BCA|=90^\circ\).
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka \(C\), wiedząc, że leży on na osi \(OX\).
b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) w jednokładności o środku w punkcie \(P=(1,0)\) i skali \(k=-2\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.