Symetria osiowa
Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
🧩Quizy 1
📘Teoria 1
Symetria względem osi OX
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$
Zmienia się znak drugiej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.
Symetria względem osi OY
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,y)$$
Zmienia się znak pierwszej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(-4,\,-2)$.
Symetria względem początku układu
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,-y)$$
To symetria środkowa o środku $(0,\,0)$ — zmieniają się obie współrzędne.
Symetria środkowa o dowolnym środku
Dla środka $S=(a,\,b)$ obrazem punktu $P=(x,\,y)$ jest:
$$P^{\prime}=(2a-x,\ 2b-y)$$
Wynika to z faktu, że $S$ jest środkiem odcinka $PP^{\prime}$.
Symetria względem prostej $y=x$
$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (y,\,x)$$
Współrzędne zamieniają się miejscami — tak właśnie powstaje wykres funkcji odwrotnej.
Własności symetrii
- zachowuje odległości — figura i jej obraz są przystające
- zachowuje miary kątów i pola
- symetria osiowa zmienia orientację figury, środkowa ją zachowuje
- złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach prostopadłych daje symetrię środkową
Figury symetryczne
- kwadrat ma $4$ osie symetrii i środek symetrii
- prostokąt ma $2$ osie symetrii i środek symetrii
- romb ma $2$ osie symetrii (przekątne) i środek symetrii
- trójkąt równoboczny ma $3$ osie symetrii, ale nie ma środka symetrii
- koło ma nieskończenie wiele osi symetrii i środek symetrii
Na co uważać
Łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Zapamiętaj tak: symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$; symetria względem osi OY „odbija w poziomie”, więc rusza $x$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny jest dobrym kontrprzykładem.
∑Wzory 1
Obrazy punktu w symetrii względem osi i początku układu.
Przykład: $P(3,-2)$: względem $Ox$ — $(3,2)$, względem $O$ — $(-3,2)$.
✍Zadania dodatkowe 25
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Który punkt jest obrazem punktu $P=(4,\,-2)$ w symetrii względem osi OX?
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach $A=(1,\,2)$ i $B=(5,\,6)$.
Punkt symetryczny do punktu $P=(3,-5)$ względem osi $Oy$ ma współrzędne
Obrazem punktu $A=(3,\ 5)$ w symetrii względem osi $OX$ jest:
Podaj obraz punktu $A=(-2,\ 4)$ w symetrii względem osi $OY$.
Podaj obraz punktu $A=(3,\ -7)$ w symetrii względem początku układu $O$.
Symetria względem początku układu przekształca $(x,\ y)$ na:
Punkt $A=(2,\ 3)$ i jego obraz $A'=(2,\ -3)$. Względem czego wykonano symetrię?
Obrazem punktu $(0,\ 5)$ w symetrii względem osi $OY$ jest:
Punkt $B$ jest obrazem $A=(4,\ 1)$ w symetrii środkowej względem punktu $S=(1,\ 2)$. Wyznacz współrzędne $B$.
Podaj obrazy punktu $P=(5,\ -2)$ w symetriach względem: osi $OX$, osi $OY$ i początku układu.
Który punkt jest stały w symetrii względem początku układu?
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=2x+3$ względem osi $OX$.
Obrazem punktu $(a,\ b)$ w symetrii względem prostej $y=x$ jest:
Trójkąt ma wierzchołki $A=(1,\ 1)$, $B=(4,\ 1)$, $C=(1,\ 5)$. Podaj współrzędne obrazu w symetrii względem osi $OY$.
Punkt $A'=(6,\ -1)$ jest obrazem $A$ w symetrii względem początku układu. Wyznacz $A$.
Funkcja, której wykres jest symetryczny względem osi $OY$, to funkcja:
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=3x-1$ względem początku układu.
Obrazem punktu $(2,\ 8)$ w symetrii względem punktu $S=(2,\ 8)$ jest:
Punkt $A=(3,\ -4)$ odbito względem osi $OX$, otrzymując $A'$, a następnie $A'$ odbito względem osi $OY$, otrzymując $A''$. Wyznacz $A''$ i porównaj z symetrią środkową punktu $A$.
Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do $(x-2)^2+(y-3)^2=9$ względem osi $OX$.
Punkty $A=(-3,\ 2)$ i $B=(5,\ 2)$ są symetryczne względem pewnej prostej pionowej. Wyznacz równanie tej prostej.
Wykaż, że złożenie dwóch symetrii względem osi $OX$ (wykonanych jedna po drugiej) daje przekształcenie tożsamościowe.
Obrazem punktu $P=(5,\,-3)$ w symetrii względem osi OY jest punkt:
Punkt $S=(4,\,1)$ jest środkiem symetrii. Wyznacz obraz punktu $P=(6,\,5)$.
📄Zadania z arkuszy 7
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Punkty \(A=(-5,5)\), \(C=(8,6)\) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Prosta o równaniu \(y=2x\) jest osią symetrii tego trapezu.
Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(D\) oraz pole tego trapezu.