Klasa 3 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$
W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$
Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.
$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Przykład: $a_1=1$, $q=2$, $n=6$: $S_6=\frac{1-64}{1-2}=63$.
Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez iloraz $q$.
Przykład: $a_1=2$, $q=3$: $a_5=2\cdot3^4=162$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Iloraz ciągu geometrycznego $2$, $6$, $18$, $54$, … wynosi:
Oblicz piąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym $a_1=5$ i $q=2$.
Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=1$ i $q=2$.
Liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest dodatnia wartość $x$?
Ciąg geometryczny ma $a_1=8$ i $q=\frac12$. Który wyraz jest równy $1$?
W ciągu geometrycznym $a_2=12$ i $a_4=108$. Wyznacz $a_1$ oraz $q$, zakładając $q>0$.
Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu $3$, $-6$, $12$, $-24$, …
Oblicz sumę szeregu geometrycznego $8+4+2+1+\dots$
Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy:
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Ich iloczyn wynosi $216$, a środkowa liczba to $a_2$. Wyznacz $a_2$.
Suma szeregu $1+\frac13+\frac19+\dots$ wynosi:
W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=-1$. Ile wynosi $a_{10}$?
Liczby $x-1$, $x+1$, $2x+4$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.
Piłka spuszczona z wysokości $2$ m odbija się za każdym razem na $60\%$ poprzedniej wysokości. Oblicz łączną drogę, jaką przebędzie do zatrzymania.
Wykaż, że jeżeli liczby $a$, $b$, $c$ tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich, to $b=\sqrt{ac}$. Sprawdź to dla $a=2$, $c=18$.
W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są $a_1=64$ oraz $a_2=16$. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy
Ciąg $(4,\ x,\ 9)$ jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Liczba $x$ jest równa
W ciągu geometrycznym $a_2=6$ oraz $a_5=48$. Iloraz tego ciągu jest równy
Trzywyrazowy ciąg $(48,\ 12,\ 2m+1)$ jest geometryczny. Liczba $m$ jest równa
Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_1=3$ i $q=2$, jest równa
Ciąg geometryczny $(a_n)$ spełnia warunek $a_4\cdot a_5=12$. Oblicz iloczyn $a_2\cdot a_7$.
Ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=3\cdot(-2)^n$ dla $n\ge1$ jest
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=5\cdot2^{n-1}$ dla $n\ge1$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Wyznacz wszystkie wartości $x$, dla których ciąg $(x-1,\ 2x,\ 5x+3)$ jest geometryczny.
Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2n+1$ dla $n\ge1$. Trzywyrazowy ciąg $(a_1,\ a_4,\ a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$.
Iloraz ciągu geometrycznego $5,-10,20,\dots$ jest równy
W ciągu geometrycznym $a_1=2$, $q=3$ wyraz $a_3$ jest równy
W ciągu geometrycznym $a_1=1$, $q=2$ wyraz $a_4$ jest równy
Liczby $2$, $x$, $18$ (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Liczba $x$ jest równa
W ciągu geometrycznym $a_1=3$, $q=2$. Oblicz $a_4$.
Iloraz ciągu geometrycznego $3,6,12,\dots$ jest równy
W ciągu geometrycznym $a_1=5$, $q=2$. Wyraz $a_3$ jest równy
Iloraz ciągu geometrycznego $100,50,25,\dots$ jest równy
Kwotę $1000$ zł wpłacono na $10\%$ rocznie (procent składany). Po $2$ latach na koncie będzie
W ciągu geometrycznym $a_1=3$, $q=2$. Oblicz $a_5$.
Średnia geometryczna liczb $4$ i $9$ jest równa
W ciągu geometrycznym $a_1=2$, $a_2=6$. Iloraz $q$ jest równy
W ciągu $1,2,4,8,\dots$ wyraz równy $64$ ma numer
Liczba bakterii podwaja się co godzinę. Początkowo jest ich $200$. Po $3$ godzinach będzie ich
Kwotę $2000$ zł wpłacono na lokatę $5\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile będzie na koncie po $2$ latach?
Iloraz ciągu geometrycznego $2,6,18,\dots$ jest równy
W ciągu geometrycznym $a_1=3$, $q=2$ wyraz $a_4$ jest równy
W ciągu geometrycznym $a_1=4$, $q=\tfrac12$ wyraz $a_3$ jest równy
Średnia geometryczna liczb $9$ i $16$ jest równa
W ciągu geometrycznym $a_1=2$, $q=3$. Oblicz $a_5$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). W tym ciągu \(a_1=3{,}75\) oraz \(a_2=-7{,}5\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.